高中奧林匹克競(jìng)賽數(shù)學(xué)平面幾何100題-珍藏版

1、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽難度幾何題100道 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13題題題題題題題題題 二三四五六七八九十 十十十十十十十十二二 第第第第第第第第第證明線段相等 . 證明角相等 證明線段的二次等式151617181920212223 25 26 27 28 29 30 31 32 33第三十一題：證明線段相等 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 第四十一題：證明中點(diǎn) 44 HYPERLINK l bookmark78 o Current Docume

2、nt 第四十二題：證明中點(diǎn) 45 HYPERLINK l bookmark74 o Current Document 第四十三題：證明角相等 46 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 第四十四題：證明垂直 47 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 第四十五題：證明角相等 48 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 第四十六題：證明垂直 49 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 第四十七題：證明四點(diǎn)共圓 50第

3、四十八題：證明四點(diǎn)共圓 51第四十九題：證明四點(diǎn)共圓 52 HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 第五十題：證明角平分 53 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 第五十一題：證明線段相等 54第五十二題：證明兩圓外切 55 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 第五十三題：證明垂直 56第五十四題：證明垂直 57第五十五題：證明垂直 58第五十六題：證明垂直 59 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 第五十七題

4、：證中點(diǎn) 60 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 第五十八題：證明角相等 61第五十九題：證明角相等 62 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 第六十題：證明四點(diǎn)共圓 63 HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 第六十一題：證明四點(diǎn)共圓 64 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 第六十二題：證明四點(diǎn)共圓 65 HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 第六十三題：

5、證明角相等 66 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 第六十四題：證明角的倍數(shù)關(guān)系 67第六十五題：證明中點(diǎn) 68第六十六題：偽旁切圓 69 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 第六十七題：證明垂直 70 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 第六十八題：證明平行 71第六十九題：證明圓心在某線上 72第七十題：證明三線共點(diǎn) 73 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 第七十一題：證明垂直 74第七十二題：證明

6、垂直 75第七十三題：證明中點(diǎn) 76第七十四題：證明垂直 77第七十五題：證明垂直 78第七十六題：證明三線共點(diǎn) 79第七十七題：證明平行 80第七十八題：證明平行 81第七十九題：證明三線共點(diǎn)、證明垂直 82第八十題：證明三點(diǎn)共線（牛頓定理） 83 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 第八十一題：證明角平分 84 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 第八十二題：證明角相等 85第八十三題：證明三點(diǎn)共線 86第八十四題：證明四圓共點(diǎn) 87 HYPERLINK l bookmark60 o Curre

7、nt Document 第八十五題：證明角平分 88 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 第八十六題：證明線段相等 89 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 第八十七題：證明角相等 90 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document 第八十八題：證明線段相等 91 HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 第八十九題：證明線段相等 92 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document

8、第九十題：證明線段相等 93 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document 第九十一題：證明中點(diǎn) 94第九十二題：證明四點(diǎn)共圓 95第九十三題：證明西姆松定理及逆定理 96第九十四題：證明線段的和差關(guān)系等式 97第九十五題：證明角相等 98第九十六題：證明托勒密定理及逆定理 99第九十七題：證明線段的和差關(guān)系等式 100第九十八題：證明角相等 101第九十九題：證明四點(diǎn)共圓 102第一百題：證明兩三角形共內(nèi)心 103第一題：證明角平分已知PE、PF是。O的切線，A、B是一組對(duì)徑點(diǎn)， PB交。O于另一點(diǎn)C ,直線AF、BE交于D點(diǎn)。求證： PCD PCEoO

9、切線,D四點(diǎn)第二題：證明四點(diǎn)共圓如圖，AB是。的直徑，C,D是圓上異于 A、B,且在AB同側(cè)的兩點(diǎn)，分別過C、D作。的 它們交于點(diǎn)E,線段AD與BC的交點(diǎn)為F ,線段AB與EF的交點(diǎn)為M ,求證：E、C、M、 共圓。第三題：證明角的倍數(shù)關(guān)系如圖，PE、PF是以AB為直徑圓的切線 E、F是切點(diǎn)，PB交圓于C點(diǎn)，AF、BE交于D點(diǎn)，AB是直徑。求證： DPE 2 ACD。第四題：證明線與圓相切已知： ABC中， A 90 , AD切。ABC, AD交BC延長(zhǎng)線于 D, E是A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn), AY BE于Y, X是AY中點(diǎn)，延長(zhǎng)BX交。ABC于J ,求證：BD切 AJD外接圓。第五題：證明垂直已

10、知四邊形 ABCD內(nèi)接于以BD為直徑的圓，設(shè) A為A關(guān)于BD為對(duì)稱點(diǎn)，B是B關(guān)于AC對(duì)稱點(diǎn)，直線AC交DB于Q ,直線DB交CA于P。求證：PQ AC。AJFGOE第六題：證明線段相等BDCA已知：BC、BD是。O切線，C、D是切點(diǎn)，BJA是割線,A、J在圓上，J離B較近,DE AO于E,交AB于F, AC交DE于G,求證：DFFG 。第七題：證明線段為比例中項(xiàng)已知 ABC中，AC BC , M是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)G經(jīng)過點(diǎn)M ,且 CFG與 ABC有相同的內(nèi)心。求證：AM 2 FM GM o第八題：證明垂直已知： ABC為非直角三角形， AD平分 BAC, D在BC上，DF AC于F , DE A

11、B于E, CE 交BF于P。求證：AP BC。APEF第九題：證明線段相等過圓O外一點(diǎn)P作圓O的兩條切線 PC、PD ,切點(diǎn)分別為 C、D,過劣弧CD上一點(diǎn)E作圓O的另 條切線分別交 PC、PD于A、B,連結(jié)OE交CD于點(diǎn)N ,連結(jié)PN交AB于點(diǎn)M。求證：MA MB。第十題：證明角平分AB于F ,連接DF、已知PA、PB是。O切線，DE是過C的切線,D、E分別在AP、PB上，CFEF 。求證： DFCEOAP第十一題：證明垂直AC CE。BC設(shè)PAB是圓O的割線，PC是切線，CD是圓O的直徑，DB、OP相交于E。求證D第十二題：證明線段相等設(shè)C、D是以O(shè)為圓心AB為直徑的半圓上兩點(diǎn)，過 B做圓

12、O的切線交CD于P ,直線PO交直線CA、 AD分別于E、F。求證：OE OF。第十三題：證明角相等如圖， ABC中，D、E分別為 AB、AC上一點(diǎn)，且 DE BC , BE、CD交于點(diǎn)F , BDF的外接 圓。O ,與 CEF的外接圓。P交于點(diǎn)G ,求證： BAF CAG。第十四題：證明中點(diǎn)如圖，。O、。P交于A、B兩點(diǎn)，BO、PA延長(zhǎng)線交于點(diǎn) C, CD、CE分別切。O、。P于D、E, 連接DE交AB于F ,求證：F為DE中點(diǎn)。CFOEPDB第十五題：證明線段的二次等式如圖，半徑不相等的兩圓。 O、OP交于A、B兩點(diǎn), 延長(zhǎng)線交。P于F, DB延長(zhǎng)線交。于E,AG2 EG2 AC AD過A

13、的直線CD分別交。O、。P于C、D , CB 過A作CD垂線交EF中垂線于G,求證：第十六題：證明角平分如圖，ABC內(nèi)接于。O, D為BC中點(diǎn), CG AC,交 AE于 G。求證： AGCAD交。于E ,過E作EF / BC，交。于F ,過C作 FGC 。第十七題：證明中點(diǎn)如圖,ABC內(nèi)切圓。I切BC于D ,過I作IEAD交BC于E ,過E作。I切線，分別交 AB、AC于F、G。求證：E為FG中點(diǎn)。BD第十八題：證明角相等如圖，如圖，。P、OQ交十A、B兩點(diǎn)，它們的外公切線 CD分別切。長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EC交。P于F,ED交。Q于G,AH平分 FAG交FG 1feP、OQ 于 C、D , E 為

14、BA延二 H。求證：FCHGDH 。第十九題：證明中點(diǎn)如圖，。為 ABC外接圓，I、E分別為 ABC的內(nèi)心和一個(gè)旁心，BAC的外角平分線交 BC延長(zhǎng)線于D, IF DE于F ,交。于G。求證：G為IF中點(diǎn)。第二十題：證明線段相等如圖，在銳角 ABC中， B C, F是BC的中點(diǎn)，BE、CD是高。G、H分別是FD、FE的中 點(diǎn)，若過 A且平行于BC的直線交GH于I。求證：IA IFEHGDI第二十一題：證明垂直如圖，D是 ABC邊BC上一點(diǎn)，DAC 人8口，。0過點(diǎn)8、D分別交 AB、AD于E、F,直線BF交DE于G, M是AG中點(diǎn)。求證：CM AO。第二十二題：證明角相等BD如圖，如圖，CD為

15、。O直徑，PC、PE分別切。O于C、E,割線PBA交。O于A、B , AC、交于點(diǎn)F , DE交AB于G,求證： GFE ADE。第二十三題：證明四點(diǎn)共圓DE于F , L、M、N分別為DE、如圖，O為 ABC外心，D、E分別為AB、AC上一點(diǎn)，OFBE、CD中點(diǎn)。求證：F、L、M、N四點(diǎn)共圓。GFIOD第二十四題：證明兩圓相切E CDF交。I于G ,作 BCG的A如圖， ABC內(nèi)切圓。I切BC于D, AE BC于E , F為AE中點(diǎn),外接圓。O,求證：。O、。I相切于點(diǎn)G。B第二十五題：證明線段相等JKIOG如圖， ABC內(nèi)接于。O,內(nèi)切圓。I分別切AB、AC于J、K, AO交。于D ,連接D

16、I ,延長(zhǎng)CA 到F ,使得AF BJ ,過F作DI的垂線交BA延長(zhǎng)線于G ,求證：AG CK 。FBCOEBD 交 AB 于 E, OFCD 交 AC 于 GE GF CF 。第二十六題：證明四條線段相等如圖，O O為 ABC外接圓，AD平分 BAC交。于D,F, H為 ABC垂心，HGAD交BC于G ,求證：BE第二十七題：證明線段比例等式ACD外接圓。O2交AB于E,如圖，四邊形 ABCD中，AB AC, ABD外接圓。O1交AC于F,BG BDBF、CE交于點(diǎn)G ,求證：。CG CDDCB ,FO ,求證:DAC DCB , E 為 AD 中AFD 2 OFC。第二十八題：證明角的倍數(shù)

17、關(guān)系如圖，O為 ABC外心，D為 ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得 DAB 點(diǎn)，過E作EF AD交CB延長(zhǎng)線于F ,連接FA、FD、OBGCHP第二十九題：證明三線共點(diǎn)如圖，O O的內(nèi)接四邊形 ABCD , AB、DC交于點(diǎn)E , AD、BC交于點(diǎn)F , EFC的外接圓。P交。于G, AG交EF于H , HC交。于I ,求證AI、GC、FE三線共點(diǎn)。FIDN第三十題：證明平行如圖， ABC中，D為BC中點(diǎn)，O為外心，H為垂心，E、F分別為AB、AC上一點(diǎn)，使得AE AF , 且D、H、E三點(diǎn)共線，P為AEF外心，求證：OPHD。第三十一題：證明線段相等如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于。O, E為四邊形內(nèi)一點(diǎn)，使

18、得EAB ECO, EBA EDC ,過點(diǎn)E的直線FG平分 BEC,交。O于F、G兩點(diǎn)，求證：EF EG。第三十二題：證明四點(diǎn)共圓如圖，在 ABC中，AD、BE、CF是三條高線，點(diǎn) P為 ABC內(nèi)部一點(diǎn)，P關(guān)于BC、CA、AB的 對(duì)稱點(diǎn)分別為L(zhǎng)、M、N ,線段AP的中點(diǎn)為G ,求證：D、E、G、F四點(diǎn)共圓的充要條件為 A、 M、L、N四點(diǎn)共圓。第三十三題：證明三角形相似如圖，。O1、。02半徑分別為r1、r2 ,。O1、。O2交萬PC r1C, PD切。O2于D,且 ，求證： PCAsPD r2二A、B兩點(diǎn)，P為平面上一點(diǎn)，PC切。Oi于PBD。P第三十四題：證明角相等如圖，平行四邊形 ABC

19、D中，E為BD上一點(diǎn)，使得 ECB ACD , AC交 ABD外接圓。O于F, 連接EF ,求證： BFE AFD。EOCAD第三十五題：證明內(nèi)心如圖，I是 ABC內(nèi)心，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為弧BC中點(diǎn)，EF中點(diǎn)為N , BI中點(diǎn)為M , MN交BC于 D ,連接AD ,求證：M為 ABD內(nèi)心。第三十六題：證明角平分如圖，。為 ABC的外接圓， AF平分 BAC交。于F, H為 ABC的垂心，CE AB于E , BD AC于D, ADE的外接圓。P交。于G。GF交BC于I ,求證：IH平分 BHC。AO第三十七題：證明垂直NM在 ABC中，O為外心，三條高 AD、BE、CF交于點(diǎn)H ,直線ED和AB交于點(diǎn)M ,直線FD和AC交于點(diǎn) N ,求證：(1) OB DF ; (2) OC DE ; (3) OH MN 。BDC第三十八題：證明面積等式如圖， ABC和 ADE均為等腰直角三角形，BAC AED 90 ,連接BD、CE ,取CE的中點(diǎn)F ,3 s ACE1連接 DF、BF ,求證：S BDF = S abc S ade 2第三十九題：證明角平分如圖， ABC中，旁切圓。P分別切CB、CA延長(zhǎng)線于D、E,旁切圓。Q分別切BC、BA延長(zhǎng)線于F、G, DE、FG分別交PQ于M、N , BN、CM交于點(diǎn)L ,求證：AL