高中數(shù)學(xué)必修-不等式復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)二

1、（二）第三節(jié).元一次不等式（組）及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題基礎(chǔ)頰煙要打牢J T C H U Z H 0 $ H I Y A就雙基 固率建得基礎(chǔ)分I掌握超度高中數(shù)學(xué)必修5第三章不等式復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)知識(shí)能否憶起.二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域（1）在平面直角坐標(biāo)系中二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域:不等式表示區(qū)域Ax+By+C0直線Ax+By+C=0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包括邊界直線Ax+ By+ O0包括邊界直線不等式組各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分（2）二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定：二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的確定，一般是取不在直線上的點(diǎn) （刈，y（）作為測(cè)試 點(diǎn)來

2、進(jìn)行判定，滿足不等式的，則平面區(qū)域在測(cè)試點(diǎn)所在的直線的一側(cè)， 反之在直線的另一 側(cè).2.線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x, y組成的不等式（組）線性約束條件由x, y的一次不等式（或方程）組成的不等式（組）目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x, y的函數(shù)解析式，如 z 2x+3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x, y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解（x, y）可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題1.確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時(shí)，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點(diǎn)定域”的方法.直

3、線定界，即若不等式不含等號(hào)，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號(hào)，把直 線畫成實(shí)線；（2）特殊點(diǎn)定域，即在直線 Ax + By+C=0的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)（X0, y0）作為測(cè)試點(diǎn)代入不等式檢驗(yàn)，若滿足不等式，則表示的就是包括該點(diǎn)的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè).特別地，當(dāng) C W0時(shí)，常把原點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn)；當(dāng)C = 0時(shí)，常選點(diǎn)（1,0）或者（0,1）作為測(cè)試點(diǎn).最優(yōu)解問題如果可行域是一個(gè)多邊形， 那么目標(biāo)函數(shù)一般在某頂點(diǎn)處取得最大值或最小值，最優(yōu)解就是該點(diǎn)的坐標(biāo)，到底哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解， 只要將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng)， 最先通過或最 后通過的頂點(diǎn)便是.特別地，當(dāng)表示線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域的

4、某條邊平行時(shí)，其最優(yōu)解可能有無數(shù)個(gè).高頻考點(diǎn)委通關(guān)抓營點(diǎn) 學(xué)技法 得技商分|3程虔fad. -、KAOIMAV YAL3TONGGUAN J.元一次不等式（組）表示平面區(qū)域1典題導(dǎo)入x x 0, y0,一一例1 （2011湖北局考）直線2x+ y10=0與不等式組表布的平面區(qū)x- y 2，L4x+3y 20 TOC o 1-5 h z 域的公共點(diǎn)有（）A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D.無數(shù)個(gè)自主解答由不等式組畫出平面區(qū)域如圖（陰影部分）./直線 2x+ y10=0 恰過點(diǎn) A（5,0）,且斜率 k= - 2 0,1. (1)(2012海淀期中)若滿足條件ix+ y-2a指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)

5、，則整數(shù)a的值為()- 3- 2 10 x+ y0,(2)(2012北京朝陽期末)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組ix-y + 40,所表示的平面x a區(qū)域的面積是9,則實(shí)數(shù)a的值為解析：(1)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng)a=0時(shí)，只有4個(gè)整點(diǎn)(1,1), (0,0), (1,0), (2,0);當(dāng)a=1時(shí)，正好增加(一1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1)5 個(gè)整點(diǎn),故選C.(2)不等式組所表示的平面區(qū)域是如圖所示的ABC,且A(2,2), B(a, a + 4), C(a, -a),若 a 0,則有 ABC 的面積 SaBc0, BC 的長為1

6、2a+4,由面積公式可得 ABC的面積SzABC = (a+2) (2a+4)= 9,解得a= 1.答案：(1)C (2)1求目標(biāo)函數(shù)的最值1典題導(dǎo)入rxy 1, 1 x+ y0,Ly0,取值范圍為.(2)(2012廣州調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x, y滿足JyW1,若目標(biāo)函數(shù) z=ax+y(aw0)匕x2y+ K0,取得最小值時(shí)的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則實(shí)數(shù) a的值為.自主解答(1)依題意，畫出可行域，如圖陰影部分所示，顯然，1 z當(dāng)直線y=y2過點(diǎn)B(1,2)時(shí)，z取得最小值為一3;當(dāng)直線過點(diǎn) A(3,0)時(shí)，z取得最大值為3,綜上可知z的取值范圍為3,3.ax+ y= 0,可知當(dāng)(2)畫出平面區(qū)域所表示的

7、圖形，如圖中的陰影部分所示，平移直線平移到與直線2x2y+1=0重合，即a=1時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z= ax+ y的最小值有無數(shù)多個(gè).答案(1)3,3 (2)-1一題多變 * ,若本例(2)條件變?yōu)槟繕?biāo)函數(shù)z= ax+y(aw 0)僅在點(diǎn)g, 1 j處取得最小值，其它條件不變，求a的取值范圍.解：由本例圖知，當(dāng)直線 ax+y=0的斜率k= a1,即av1時(shí)，滿足條件，所求a的取值范圍為(一00, 1).2由題悟法.求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求.其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解 目標(biāo)函數(shù)的意義.常見的目標(biāo)函數(shù)有：(1)截距型：形如 z=ax+by.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z= ax+ by

8、轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y= - ax+ 7,通過求b b直線的截距z的最值間接求出z的最值.b(2)距離型：形如 z=(x-a)2+(y-b)2.（3）斜率型：形如z=y5注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義.曷以題試法x+y0,2. (1)設(shè) z= 2x+ y,其中 x,y 滿足*xyW0,QWyWk,若z的最大值為6,則k的值為z的最小值為+y2,（2）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1,0）,若點(diǎn)M（x, y）為平面區(qū)域ix 1,yw 2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則 oA+oM 的最小值是解析：（1）在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線2x+ y=6,結(jié)合圖形分析可知，要使 z= 2x+ y的最大值是6

9、,直線y=必過直線2x+ y=6與x y = 0的交點(diǎn)，即必過點(diǎn)（2,2）,于是有k=2;y軸上的截距達(dá)平移直線2x+ y=6,當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（一2,2）時(shí)，相應(yīng)直線在到最小，此時(shí)z= 2x+ y取得最小值，最小值是 z= 2X（ 2） + 2=2.T TT T(2)依題意得，OA + OM =(x+1, y) , |OA + OMM（x+ 1 j + y2可視為點(diǎn)（x, y）與點(diǎn)（1,0）間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)中，由點(diǎn)（一1,0）向直線x+y= 2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，且與點(diǎn)（一1,0）的距離最小，因此|

10、OA + OM |的最小值是|1 + 02i 3v2答案：(1)2 -2 (2)呼線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用1典題導(dǎo)入1桶需耗A例3 （2012四川高考）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是 400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是（）A. 1 800 元B. 2 400 元C. 2 800 元D. 3 100 元自主解答設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x桶，乙產(chǎn)品y桶，相

11、應(yīng)的fx+2y 12,禾I潤為z元，則（2x+ y0, y0,出該不等式組表示的平面區(qū)域及直線300 x+ 400y = 0,平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A（4,4）時(shí)，相應(yīng)直線在 y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z=300 x+400y取得最大值，最大值是z=300X 4+400X4=2 800,即該公司可獲得的最大利潤是2 800元.答案C2由題悟法與線性規(guī)劃有關(guān)的應(yīng)用問題，通常涉及最優(yōu)化問題.如用料最省、獲利最大等，其解題步驟是：設(shè)未知數(shù)，確定線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)； 轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；解該線性規(guī)劃問題，求出最優(yōu)解；調(diào)整最優(yōu)解.3以題試法（2012南通模擬）鐵礦石A和B的含鐵率a

12、,冶煉每萬噸鐵礦石的 CO2的排放量b及 每萬噸鐵礦石的價(jià)格 c如下表：ab（萬噸）c（白力兀）A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn) 1.9（萬噸）鐵，若要求CO?的排放量不超過2（萬噸），則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為 百萬元.解析：可設(shè)需購買 A鐵礦石x萬噸，B鐵礦石y萬噸,x 0,y0, 則根據(jù)題意得到約束條件為0.5x+0.7y1.9,x+ 0.5y0. b0.等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)取等號(hào).二、幾個(gè)重要的不等式a四、利用基本不等式求最值問題已知x0, y0,則：(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí).x+y有最小值是2vp.(簡(jiǎn)記：積定和最 小) (2)如果和

13、x+ y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng) 上時(shí)，xy有最大值是).(簡(jiǎn)記：和定積最大)+b22ab(a, bC R)； b+a2(a, b 同號(hào)).a b 一ia+ b 2ia+ b 2 a2+ b2ab三j-2i(a, bCR)；/三2(a, bC R).三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0, b0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為三，幾何平均數(shù)為相，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).為正；二定一一積或和為定值；三相等一一等號(hào)能否取得,若忽略了某個(gè)條件， 就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.對(duì)于公式 a+ b2-7ab, ab2ab 逆用、a2+b2 a+b，、一、就是 abqOB(a, b0)逆用就是

14、ab0)等.還要注意“添、拆考點(diǎn)要通關(guān)OF! N K AOI) I A X Y AC.J抓考點(diǎn)%學(xué)技法得點(diǎn)高分掌握程度利用基本不等式求最值1典題導(dǎo)入例1 (1)已知x0,則f(x)=2 + 4+x的最大值為 x(2)(2012浙江高考)若正數(shù)x, y滿足x+ 3y=5xy,則3x+4y的最小值是()24A.y28B.yC. 5D.自主解答(1) .x0,. f(x) = 2+4+x=2-x)x -x, 4+(-x)2V4=4,當(dāng)且僅當(dāng)一 xx=,即x= 2時(shí)等號(hào)成立.-x4 .f(x) = 2- Jx)0, y0,1 3x , , 12y1317 一+ 4+9 + /= -f + -5 yx5

15、5叼x 55本例(2)條件不變，求xy的最小值.解：.X0, y 0,貝U 5xy= x+ 3yA2yx 3y,- xy12-,當(dāng)且僅當(dāng)x= 3y時(shí)取等 2512解析:xy的最小值為:基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 叫I典題導(dǎo)入例2 (2012江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy, x軸 /千米在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐/廠 一，、 .標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在萬程y= kx-20(1 +k2)x2(k 0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，

16、試問它的橫坐標(biāo) a 不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由. TOC o 1-5 h z .一 1自王解答(1)令y=0,得kx 120(1 + k)x =0,由實(shí)際意乂和題設(shè)條件知 x 0, k0,故x=N*=N/w=10,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào).1+k 丘12k+k所以炮的最大射程為 10千米.12 2,(2)因?yàn)閍0,所以炮彈可擊中目標(biāo) ？存在k 0,使3.2=ka-0(1 + k)a成立?關(guān)于k的方程a2k220ak+a2+64=0有正根?判別式 A= (- 20a)2- 4a2(a2+ 64) 0? a6.所以當(dāng)a不超過6千米時(shí)，可擊中目標(biāo).2由題悟法利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的

17、方法(1)問題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問題，如“物價(jià)、銷售、稅收、原材料”等，題 目往往較長，解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解,以題試法2. (2012福州質(zhì)檢)某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不 低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改

18、革，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入q（x2600）萬元作為技改費(fèi)用，投入 501萬兀作為固定宣傳費(fèi)用，投入 1x萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a5至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).解：（1）設(shè)每件定價(jià)為t元， TOC o 1-5 h z t-25依題意，有8-X 0,2 產(chǎn)25* 8,1整理得 t2-65t+ 1 000W0,解得 25t 25時(shí)，不等式 ax25X8+ 50 + 6（x2600） + %有解，等價(jià)于x25時(shí)，a+1x+ J有解.x 65150 1150 1 + 6x2、/-7鏟=10（當(dāng)且僅當(dāng)x=

19、30時(shí)，等號(hào)成立）,. a10.2.因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元.練習(xí)題小題能否全取.（教材習(xí)題改編）如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分），用不等式表示為）A. 2x-y-30C. 2x-y-3 0解析：選B 將原點(diǎn)（0,0）代入2xy3得2X003= 3V0,所以不等式為2x- y-30.1,則此不等式組表示的平面區(qū)域的面.（教材習(xí)題改編）已知實(shí)數(shù)x、y滿足SyW2,x - y w 0,積是（）A. 2BlC. 11D.811解析：選A 作出可行域?yàn)槿鐖D所本的三角形，SA= 1X1X1 =21.3.

20、 （2012安徽高考）若x, y滿足約束條件0,ix+ 2y 3,則2=* y的最小值是（）2x+yw 3- 30C3C.2D. 3解析：選A/ *一尸0/-I1x0,根據(jù)彳x+2y3,得可行域如圖中陰影部分所示，根據(jù)z= x-丫得丫=乂z,平移直線Zx+yw 3y = x,當(dāng)其經(jīng)過點(diǎn)（0,3）時(shí)取得最小值一3.4.寫出能表示圖中陰影部分的次不等式組是fx0,解析：由可行域知不等式組為 0y0.x05.完成一項(xiàng)裝修工程需要木工和瓦工共同完成.請(qǐng)木工需付工資每人 50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算 2 000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則所請(qǐng)工人數(shù)的 約束條件是.答案:50 x+

21、40y 2000,$xC N ,*yC NA級(jí)i全員必做題1. (2012三明模擬)已知點(diǎn)(一3, 1)和點(diǎn)(4, - 6)在直線3x-2y-a=0的兩側(cè)，則 a 的取值范圍為()A. (-24,7)B. (-7,24)C. (8, 7) U (24, +8 )D. (8, 24) U (7, +0o )解析：選B 根據(jù)題意知(9+2 a) (12 + 12a)0.即(a+7)(a24)v 0,解彳導(dǎo)一7a1, 則2x+y取最小值時(shí)的最優(yōu)解是（）,x- y0,63C. (2,2)D. (1,1)解析：選D 約束條件表示的可行域如圖中陰影三角形，令 z= 2x+y, y=-2x+z,作初始直線l

22、: y= - 2x,作與l0平行的直線l,則直線經(jīng)過點(diǎn)（1,1）時(shí)，（2x+y）min=3.3. （2012山東高考）設(shè)變量x,x+ 2yA 2,y滿足約束條件i2x+y 4, _4x - y ) 一 1,則目標(biāo)函數(shù)z=3xy的取值范圍是()A.-2，6B.-1 i一_ 31C. -1,6D. -6, 2 1解析：選A 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線在y軸上截距的相反數(shù)，其最大值在點(diǎn)A(2,0)處取得，最小值在點(diǎn)B, 3 處取得，即最大值為6,最3小值為一2.x-y0, ywa是()A. 1C. 3D. 4解析：選A 如圖所示，作出可行域，是一個(gè)三角形區(qū)域，而由圖可知

23、，目標(biāo)函數(shù) z= x + 2y在點(diǎn)A(a, a)處取得最值，故 a+2a=3, 解得a= 1.2x-y+20,. （2012石家莊質(zhì)檢）已知點(diǎn)Q（5,4）,動(dòng)點(diǎn)P（x, y）滿足，x+y2W0,則|PQ|的最小,y-10, TOC o 1-5 h z 值為（）A. 5B-3C. 2D. 7Q（5r4）解析：選A 不等式組所表示的可行域如圖所示，直線 AB的 方程為x+y2=0,過Q點(diǎn)且與直線 AB垂直的直線為y-4=x- 5, 即xy1=0,其與直線x+y2=0的交點(diǎn)為|,；而B(1,1),3A(0,2),因?yàn)?1,所以點(diǎn)Q在直線x+ y2=0上的射影不在線段AB上，則|PQ|的最小值即為點(diǎn)

24、Q到點(diǎn)B的距離，故|PQ|min = /(5- 1f+(4-1 f =5.6. (2013山東煙臺(tái)模擬)已知A(3, V3) , O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)滿足Mx y0,A.書，/3 3,3-/3, 3-3,木y晶廠。A工密+2=0解析：選B 約束條件所表示的平面區(qū)域如圖.OA在OPcos a。為OA與OP的夾角），上的投影為|OA | cos 0= 2g3. / xOA=30, / xOB=60,.243cos 長3,3.（2013成都月考）若點(diǎn)P（m,3）到直線4x-3y+1 = 0的距離為4,且點(diǎn)P在不等式2x + yv 3表布的平面區(qū)域內(nèi)，則 m =.|4m9+ 1|-,一

25、 ,r_r Z =4,解析：由題息可得55解得m = 3.,2m + 33,答案：3y-20,則x2+y2的最大值為l_x y 1 w 0,解析：作出如圖所示的可行域.x2+ y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，易知在點(diǎn)4）處取最大值（3）2+（4）2= 25.答案：25（2012上海高考）滿足約束條件|x|+2|y| 0 ,.畫出不等式組x+y0, 表示的平面區(qū)域，并回答下列問題:xW3(1)指出x, y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內(nèi)有多少個(gè)整點(diǎn)？解：(1)不等式x y+50表不直線xy+5 = 0上及右下方的點(diǎn)的集合.x+y0表示直線x+y= 0上及右上方的點(diǎn)的集合，xW3表示直線x=

26、3上及左方的點(diǎn)的集合.x y+ 5A 0,所以，不等式組x x+y0,表示的平面區(qū)域如圖所示.、xW3結(jié)合圖中可行域得xC 5 3 L yq-3,8.x yx+ 5,(2)由圖形及不等式組知金-2x 3,且x&.當(dāng)x=3時(shí)，一3y0,tx0, y0, x&, yZ,fx+3y200,整理得x x+y0, y0, xyZ,目標(biāo)函數(shù)為 W= 2x+3y+300,如圖所示，作出可行域.初始直線10： 2x+3y=0,平移初始直線經(jīng)過點(diǎn) A時(shí)，W有最大值x+3y=200,x=50,由5得%最優(yōu)解為A(50,50),x+ y= 100,y= 50,所以 Wmax= 550(元).550 元.答：每天生產(chǎn)

27、衛(wèi)兵 50個(gè)，3兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤最大，為x 一 4y + 3 w 0,.變量 x、y 滿足，3x+5y25W 0,1.設(shè)z=y,求z的最小值；(2)設(shè)z=x2+y2,求z的取值范圍.,x 4y+ 3 1x= 1,I Il_3x+5y-25=0,解得a i, 22 .x= 1,由f解得C(1,1).x-4y+3=0,x-4y+3=0,由1解得B(5,2).|_3x+ 5y-25=0,y y-0(1)z=：= -0表木的幾何意義是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率.2觀祭圖形可知 Zmin = koB = 7. 5(2)z=x2+y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方.結(jié)合圖形可知，

28、可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin = |OC| = V2 ,dmax = |OB|= ,29.故z的取值范圍為2,29.小題能否全取.(教材習(xí)題改編)函數(shù)y=x+1(x0)的值域?yàn)?)xA. ( 8, 2 U 2 , +8)B. (0, +8)C. 2, +oo )D. (2, +oo )解析：選C 0, .y=x+12,當(dāng)且僅當(dāng)x= 1時(shí)取等號(hào). x.已知 m0, n0,且mn=81,則m+n的最小值為()B. 36A. 18C. 81D. 243解析：選A/m0, n0,小+門24=18.當(dāng)且僅當(dāng) m=n=9時(shí)，等號(hào)成立.1B.2.（教材習(xí)題改編）已知0Vx4+1 = 5.當(dāng)且僅當(dāng)x-

29、1=-,即x= 3時(shí)等號(hào)成立. x 1答案：52 5.已知 x 0, y 0, lg x+ Ig y= 1,則 z=; + q的取小值為 解析：由已知條件Ig x+lg y=1,可得xy= 10.則x+22,故y in = 2,當(dāng)且僅當(dāng)2y = 5x時(shí)取等號(hào).又xy = 10,即x= 2, y= 5時(shí)等號(hào)成立.答案：2副解題訓(xùn)練要高效J|E T I X u N I I A N YA O瓶速度抓就范掌握程度全員必做題1.已知 f（x）=x+ -2（x 0）,則 f（x）有（）xA.最大值為0B,最小值為0C.最大值為4D.最小值為一4解析：選 C . x0,，f(x)= 1-x廿f (x-2-2

30、-2=- 4,當(dāng)且僅當(dāng)一x=, x即x= 1時(shí)取等號(hào).2. （2013太原模擬）設(shè)a、bC R,已知命題p： a2+b2w2ab;命題 q:11ya + b a2+ b2則p是q成立的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：選B 命題p： （a-b）20.顯然，由p可得q成立,但由q不能推出p成立，故p是q的充分不必要條件.3.函數(shù)y=x2+ 2二1（八1）的最小值是（）A. 23+2B, 273-2 TOC o 1-5 h z C. 2%；3D. 2解析：選 A - x1 , - x- 10.x2+2 x22x+2x+2 x2-2x+1+2(x-

31、 1 計(jì) 3 y =x 1 x 1x 1(什斗13 *1 - 2x 1x 1+ 2 = 2*73+2.當(dāng)且僅當(dāng)x1=一,即x= 1 十寸3時(shí)，取等號(hào) x 1 （2012陜西高考）小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b（ab）,其全程的平均時(shí)速為v,則（）A . avVabB. v= VabC. aba+ ba+ b2s s所需時(shí)間為-,又因?yàn)閍-2b-= a,即 av 表 6當(dāng)且僅當(dāng)4mn=m時(shí)等號(hào)成立.1 k TOC o 1-5 h z 6,設(shè)a0 , b0,且不等式一十： +；70恒成立，則頭數(shù) k的取小值等于（）a b a+bA. 0B. 4C. - 4D. -2 , 1 1 k （a+

32、b）（a+b）ba一 .一解析：選C 由1+b+。得k一，而七一 = + b+24（a=b時(shí)取等號(hào)）,所以一、十0、_ 4,因此要使kn 十 f恒成立 應(yīng)有 k 4,即實(shí)數(shù)k的最小值等于 abab一 4.7.已知x,y為正實(shí)數(shù)，且滿足 4x+3y=12,則xy的最大值為x=2,即 27=2時(shí)xyi、” 一，一、” 4x=3y，解析：.12=4x+ 3y24xx 3y,，xyW3.當(dāng)且僅當(dāng) f4x+3y= 12,取得最大值3.答案：38.已知函數(shù)f(x) = x+1p彳(p為常數(shù)，且p0)若f(x)在(1 , +)上的最小值為4,則實(shí) 數(shù)p的值為.解析：由題意得x- 10, f(x) = x-1

33、+p-+ 127p+1,當(dāng)且僅當(dāng)x = gp+1時(shí)取等x- 19萬，因?yàn)閒(x)在(1 , + 8)上的取小值為4,所以25+1=4,解得p = 4. (2012朝陽區(qū)統(tǒng)考)某公司購買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品 可獲得的總利潤 y(單位：萬元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x N*).則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn) 年時(shí)，年平均利潤最大，最大值是 萬元.解析：每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為x= 18- x+ 25 !,而x0,故；W182425 =8,當(dāng)且僅當(dāng)x= 5時(shí)，年平均利潤最大，最大值為8萬元.答案：5 8.已知x0, a為大于2x的常數(shù)，(1)求

34、函數(shù)y= x(a 2x)的最大值；(2)求y= a 12x-x的最小值.解：(1) .x 0, a2x,_1. y=x(a- 2x) = 2* 2x(a- 2x)W1X |2x+2x)2 = a，當(dāng)且僅當(dāng)x= a時(shí)取等號(hào)，故函數(shù)的最大值為Or. 22 J 848(2)y=1a 2x+ -a 2x2當(dāng)且僅當(dāng)x=al時(shí)取等號(hào).故y = x的最小值為亞一a a 2x2一” 1.9 ,.正數(shù)x, y滿足x + y= 1.求xy的最小值；(2)求x+2y的最小值.解：(1)由1 = 1+92、2得xy 36,當(dāng)且僅當(dāng)-=-,即y = 9x= 18時(shí)取等號(hào)，故xy x y ； x yx y的最小值為36.(2)由題意可得 x+ 2y= (x+2y)(+ ：尸 19+與19+2竽=19+ 6y2,當(dāng)且僅 當(dāng)2=岸，即9x2 = 2y2時(shí)取等號(hào)，故x+2y的最小值為19+672.為了響應(yīng)國家號(hào)召， 某地決定分批建設(shè)保障性住房供給社會(huì).首批計(jì)劃用100萬元購得一塊土地，該土地可以建造每層1 000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān)，樓房每升高一層，整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高20元.已知建筑第5層樓房時(shí)，每平方米建筑費(fèi)用為 800元.(1)若建筑第x層樓時(shí)，該樓房綜合費(fèi)用為y萬元(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和)