高中物理競賽輔導(dǎo)靜力學(xué)力和運(yùn)動(dòng)共點(diǎn)力的平衡

1、高中物理競賽輔導(dǎo)（2）靜力學(xué)力和運(yùn)動(dòng)共點(diǎn)力的平衡n個(gè)力耳、%凡同時(shí)作用在物體上，若各力的作用線相交于一點(diǎn),則稱為共點(diǎn)力，如圖1所示。作用在剛體上的力可沿作用線前、后滑移而不改 變其力學(xué)效應(yīng)。當(dāng)剛體受共點(diǎn)力作用時(shí)，可把這些力沿各 自的作用線滑移，使都交于一點(diǎn)，于是剛體在共點(diǎn)力作用 下處于平衡狀態(tài)的條件是：合力為零。%=。a (D用分量式表示:(2)圖瑪=0工時(shí) = 0,心=0 3-1JU例1半徑為R的剛性球固定 在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀2 m依=均勻彈性細(xì)純?nèi)?，原長為2 ,繩圈的彈性系數(shù)為k0將圈從球的正上 方輕放到球上，并用手扶著繩圈使其保 持水平，最后停留在平衡位置。考慮重 力，不

2、計(jì)摩擦。設(shè)平衡時(shí)純?nèi)﹂L2描由=岳，求k值。若去耍,求純?nèi)Φ钠胶馕恢梅治觯涸O(shè)平衡時(shí)純?nèi)ξ挥谇蛎嫔舷鄳?yīng)于 9角的緯線上。在繩圈上任取一AM = W小元段，長為,質(zhì)量為2族,今將這元段作為隔離體，側(cè)視圖和俯 視圖分別由圖示（a）和（b）表示。元段受到三個(gè)力作用：重力 &四方向豎直向下；球面的支力 N方向沿半徑R指向球外；兩端張力二42寓8-4）,張力的合力為2Tsin * 74? = 2戒（g - a）2位于純?nèi)ζ矫鎯?nèi)，指向純?nèi)χ行?。這三個(gè)力都在經(jīng)N4線所在平面內(nèi)，如圖示（c）所示。將它們沿經(jīng)線的切向和法向 分解，則切向力決定繩圈沿球面的運(yùn)動(dòng)。解：（1）由力圖（c）知：合張力小沿經(jīng)線切向分 力為：網(wǎng)

3、=72ip cosd = 2成(b -0)% cos = 2成(R sin 8 -衣 sin 0)Acos重力沿徑線切向分力為: 鳥=%降1 口 2 *(2-2)當(dāng)純?nèi)υ谇蛎嫔掀胶鈺r(shí)，即切向合力為零。片-瑪=。，（2-3） 由以上三式得 國內(nèi)仃口出-.呦（2-4）4 /骸C式中由題設(shè):nMg q 二 Mb 二-j2a = -R22。把這些數(shù)據(jù)代入（2-4）式得C-2（1斗3）。于是2/衣k =Asm =(2)若 2討R時(shí)，C=2,而 2。此時(shí)(2-4)式變成tg 0 =2sin 0 -1,即 sin 0 +cos 0 =sin2 0 ,平方后得過口,汨102/-1 = 0。在任9T的范圍內(nèi)12

4、 sm 2日之口，上式無解，即此時(shí)在球面上不存在平衡 位置。這時(shí)由于k值太小，繩圈在重力作用下，套過球體落在桌面上。例2四個(gè)相同的球靜止在光滑的球形碗內(nèi)，它們的中心同在一水平面內(nèi)，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半徑大于球的半徑k倍時(shí)，則四球?qū)⒒ハ喾蛛x。試求k值。my半彳全為r ,下面四個(gè)球的相互作用力為 N,圖3分析：設(shè)每個(gè)球的質(zhì)量為 如圖示(a)所示。又設(shè)球形碗的半徑為R, O為球形碗的球心，過下面四球的 球心聯(lián)成的正方形的一條對(duì)角線 AB作鉛直剖面。如圖3 (b)所示c 當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，每個(gè)球所受的合力 為零。由于所有的接觸都是光滑 的，所以作用在每一個(gè)球上的力必 通過該球球心。上面的

5、一個(gè)球在平衡時(shí)，其重力與下面四個(gè)球?qū)λ闹Яο嗥胶狻Ｓ捎诜植际菍?duì)稱的，它們之間的相互作用力 N,大小相等以M表示，方向均與鉛垂線成45角下面四個(gè)球，由于分布的對(duì)稱性，每個(gè)球受另外兩個(gè)球的合作用力是一 個(gè)水平力 度N 方向垂直于碗的軸線O。除水平力 收兇外,還有重力mg碗 對(duì)球的支力 彷，上球的壓力 跖，這四個(gè)力都通過該球球心，并位于同一平面內(nèi)， 如圖3(b)所示。解：以A球?yàn)楦綦x體，把它所受的力分解為水平分量和垂直分量心葡 + 葡= 0,(2 -1) cosdf - wg-跖 sin 450 = 0,(2 - 2)以上球?yàn)楦綦x體4yicos45& = wgJ(2-3)聯(lián)立以上三式解出：篝加）。

6、Aga = - tga -當(dāng)下面四球之間的相互作用為零，即N=0,得 5。如 5時(shí)，下sina , 1 /門 .、崢=/3 = 32戶。解：考慮薄片4穌，以用為支點(diǎn)的力矩平衡方程P 3“門人P 解出：420一 十 演且32尸=0 例4 一鎖鏈由2n個(gè)相同的鏈環(huán)組成，每兩個(gè)鏈環(huán)間的接觸是光滑的, 鎖鏈兩端分別在一不光滑的水平鐵絲上滑動(dòng)，它們的 摩擦系數(shù)小。證明：當(dāng)鎖鏈在鐵絲上相對(duì)靜止時(shí)，末 個(gè)鏈環(huán)與鉛垂線交角為分析：如圖5 (a)所示，由于對(duì)稱性，鎖鏈兩端與鐵絲接觸點(diǎn)0, O的垂直作用力N=nmgm是每個(gè)鏈環(huán)的質(zhì)量。鐵絲對(duì)鎖鏈端點(diǎn)的摩擦力/ = /= /0解：設(shè)鏈環(huán)的長為l,重心在其中心，取右端

7、第一個(gè)鏈環(huán)為隔離體，當(dāng)它mg sin 聲 fl cos 加一 N sin 產(chǎn)=0圖53平衡時(shí)對(duì)通過A點(diǎn)垂直于紙面的軸的合力矩為零之，以N、f之值代入，即可解得:3、物體平衡的種類下面討論物體在重力和支力作用下所處的各種平衡狀 態(tài)，圖6表小放在凹面底端、凸面頂端和平面上的小球，它們所受的重力和 支力等值反向，都處在平衡位置。由于某種因素，小球稍稍偏離平衡位置，在凹面底部的小球重心升高， 重力勢(shì)能增大，重力mg和支力N不再保持平衡，合力指向原來的平衡位置，小球 會(huì)恢復(fù)平衡，這種平衡叫做穩(wěn)定平衡。位于凸面端的小球稍微偏離平衡位置后， 重心降低，重力勢(shì)能減少，重力和支力也不再平衡，合力指向遠(yuǎn)離原來平衡

8、位置 的方向，這種平衡叫做不穩(wěn)定平衡。平面上的小球偏離原來位置后，重心的高度 和重力勢(shì)能不變，小球仍保持平衡，這種平衡叫做隨遇平衡。分析：當(dāng)A稍微偏離平衡位置，接觸點(diǎn)相對(duì)于D例5任意橫截面的柱體A靜止在固定柱體A上面，如圖7 (a)所示。G 是A的重心，G到接觸點(diǎn)的距離是h, D D是這兩個(gè)截面 接觸點(diǎn)的曲率中心；P、P是相應(yīng)的曲率半徑，求：h、p、 p滿足什么關(guān)系時(shí)，A處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)？并加以討論。轉(zhuǎn)過角度而DGf DD相交9角，如圖7(b)所示，歹和9都是很小的角度，顯然PQ=PQ。設(shè)A的質(zhì)量為m,由圖7(b)知質(zhì)心G到D的垂直距離H=(P+P)COS-(p-h)=COS( 9 +6)。若

9、以D為零勢(shì)能的參考點(diǎn)，則當(dāng)A稍微偏離平衡位置時(shí)，其重力勢(shì)能為Uf 娟二困 O+ /)2 為(hT) 8式冉好(5-2 )當(dāng)A在平衡位置時(shí)，重力勢(shì)能是 TOC o 1-5 h z % 二蜂（近+/）（5-3）解：由于白,和9是小量，COS 產(chǎn)* 1 - 7cos（+ 產(chǎn)）* 1 一 ,22 因u =冽且（ 匐（冉 ）2/）盧+附gg + /）此，（5-2）可寫作 2(5-4)：0 _ 4 =：濯g 齊(4一血)(1+ (+ ,刃 2Q于是u-Uq）。,勢(shì)能增加，相應(yīng)于穩(wěn)定平衡；口-540,勢(shì)能減少, 相應(yīng)于不穩(wěn)定平衡。因此（圖-防口 + Ny-O+/）0,穩(wěn)定平衡 夕（4-山）（1 + /產(chǎn)-/

10、） + 一即穩(wěn)定平衡的條件為：（5-5）不穩(wěn)定平衡條件為以 點(diǎn)/ （5-6）如果上面物體A的接觸面為平面尸tb,于是穩(wěn)定平衡條件為:,否 則是不穩(wěn)定平衡。如果物體A放置在平面上，則爐T8 ,穩(wěn)定平衡的條件為Q內(nèi), 否則就是不穩(wěn)定平衡。4、運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決具體問題時(shí)，首先要明確討論的是哪一個(gè)（或哪 一些）物體的運(yùn)動(dòng)，畫出隔離體力圖。其次要討論物體的運(yùn)動(dòng)情況特別要注意加 速度，因?yàn)樗鹬鴮⑦\(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)聯(lián)結(jié)起來的作用。對(duì)隔離體分析了受力情 況和運(yùn)動(dòng)情況后，就可列出矢量式，但要求出結(jié)果還必須建立坐標(biāo)系，寫出運(yùn)動(dòng) 方程的分量式。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)問題大致分成兩類：（1）已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，

11、求其它物體 施于該質(zhì)點(diǎn)的作用力；（2）已知其它物體施于質(zhì)點(diǎn)的作用力，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況。例6圖8 （a）所示。兩個(gè)木塊A和B,質(zhì)量分別為冽才所緊挨著并排B國8放在水平桌面上，A B間的接觸面垂直于紙面且與水平成 8角，A、B間接觸面 是光滑的，但它們與桌面存在摩擦，靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為 小，開始時(shí) A B都靜止，現(xiàn)施一水平推力F于A,要使A、B向右加速運(yùn)動(dòng)且A、B之間不發(fā) 生相對(duì)滑動(dòng)。則（1）叱的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？ （ 2）推力F的最大值不能超過 多少？（只考慮平動(dòng)）？分析：A B的受力圖如圖8（b） 所示。由于A B間接觸面是光滑的，它 們之間相互作用力N垂直于接觸面。解：（1）若A、B之間不發(fā)生相 對(duì)滑動(dòng)，則A在豎直方向的加速度為零，即 Ncos 八%g。（6-1）B以加速度a0向右運(yùn)動(dòng)ATsin 3rL 邕= 二 丁 十）伊 2M +5Ms l度為c,證明：蛋尖的一端可以在不光滑 的水平面上穩(wěn)定直立。如圖17所示。并尸產(chǎn)一求碗的半徑r o - ； ：,9. A、B、C三物體，質(zhì)量分別為施下雁“周乂+耀巴a、B疊