【學習課件】第07章地球橢球與橢球計算理論

1、第七章 地球橢球與橢球計算理論本章提要7.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關系 7.2 橢球面上的常用坐標系及其相互關系 7.3 幾種主要的橢球公式 7.4 橢球面上的弧長計算 7.5 大地線 7.6 將地面觀測值歸算至橢球面 7.7 將地面觀測的長度歸算到橢球面 7.8 橢球面上三角形的解算 7.9 大地主題解算的高斯平均引數(shù)公式 習題 精選課件本章提要 本章講述地球橢球與參考橢球的概念，進而介紹橢球的基本幾何參數(shù)，基本坐標系及其相互關系。同時，講述橢球面同地面之間的關系，如何將地面觀測元素（水平方向及斜距等）歸算至橢球面上。在對本章的學習中，要建立起空間的概念，只有建立了地球橢球的這些基

2、本空間概念后，才能更好地學習大地測量的內業(yè)數(shù)據(jù)處理等相關知識。 精選課件 1地球橢球的定義及其幾何意義； 2常用測量坐標系統(tǒng)的建立及其在大地測量中的應用； 3各種測量坐標系統(tǒng)之間的相互轉換； 4橢球面上幾種曲率、弧長、大地線的計算； 5地面測量值（水平方向和邊長）歸算到橢球面的方法。知識點及學習要求難點在對本章的學習中，有大量的公式推導與應用。各種常用測量坐標系統(tǒng)的建立與相互轉換；幾種常用的橢球計算公式；地面觀測值歸算到橢球面的方法與計算。 返回本章首頁精選課件7.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關系1.地球橢球的基本幾何參數(shù) 橢圓的長半軸： a橢圓的短半軸： b橢圓的扁率： (橢圓的第一偏心率

3、： 橢圓的第二偏心率： 五個基本幾何參數(shù) a、b稱為長度元素扁率反映了橢球體的扁平程度 e和e反映橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁 精選課件克拉索夫斯基橢球1975國際橢球WGS-84系橢球a637824563781406378137b6356863.01877304736356755.28815752876356752.3142c6399698.90178271106399596.65198801056399593.62581/298.31/298.2571/298.257223563e20.0066934216229660.0066943849995880.0066943799013

4、e20.0067385254146830.0067395018194730.00673949674227我國所采用的的1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)；以后采用的1980國家大地坐標系應用的是1975國際橢球參數(shù)；而GPS應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。 精選課件由前面式子得： 并得： 推得： 同理可得：2.地球橢球參數(shù)間的相互關系 精選課件7.2 橢球面上的常用坐標系及其相互關系1.常用的幾種坐標系 天文坐標系大地坐標系空間直角坐標系（大地測量中兩種基本坐標系）子午平面直角坐標系大地極坐標系 精選課件(1)天文坐標系 在圖中，O為地球質心，OP為地球自轉軸，P點假定為北極點，

5、K點為大地水準面上任意一點，KK為K點的垂線方向。包含K點垂線方向并與地球自轉軸OP平行的平面稱為K點的天文子午面。G點為英國格林尼治平均天文臺(某一特殊定義的點)。過G點包含OP的平面稱為起始天文子午面。過地球質心并與OP正交的平面稱為地球赤道面。子午面、赤道面與大地水準面的交線分別稱為子午線和赤道。精選課件精選課件 K點的垂線方向與赤道面交角稱為K點的天文緯度，K點的天文子午面與起始子午面的夾角稱為K點的天文經(jīng)度， 、定義為K點的天文坐標，這樣建立的坐標系稱為天文坐標系，它是可以通過天文觀測直接測定點位坐標的一種“自然”坐標系。天文坐標給定一點的垂線方向，因此它不僅包含點位信息，而且包含重

6、力場信息。天文坐標系在研究大地水準面形狀中起著重要的作用。精選課件(2)大地坐標系 P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構成的二面角叫做P點大地經(jīng)度，P點的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的位置用L、B表示 精選課件 (3)地心緯度坐標系 在圖中，橢球面上任意一點K，其與橢球中心O以一直線連結,該直線與橢球赤道面的夾角叫做地心緯度。該點的大地經(jīng)度L與地心緯度構成地心緯度坐標系。精選課件(4)地心空間直角坐標系 地心空間直角坐標系是在大地體內建立的坐標系O-XYZ，它的原點與地球質心重合，坐標軸系的配置方法如圖所示。Z軸與地球自轉軸重合，X軸與地球赤道面和起始子午面的交線重合，Y

7、軸與XZ平面正交，指向東方，X、Y、Z構成右手坐標系，一點K的地心空間直角坐標用(z、y、z)表示。地心坐標系是唯一的，因此這一坐標系確定地面點的“絕對坐標”，它在衛(wèi)星大地測量中獲得廣泛應用。精選課件(5)參心空間直角坐標系 以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉軸為Z軸，構成右手坐標系O-XYZ，在該坐標系中，P點的位置用X、Y、Z表示 。精選課件(6)子午面直角坐標系 設P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x，y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L，x，y表示 精選課件(7)大地極坐標系 M為

8、橢圓體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S為連結MP的大地線長，A為大地線在M點的大地方位角。以M為極點、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構成了大地極坐標系。P點位置用S、A表示。 精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系1、相對于參考橢球的大地坐標系定義7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系參考橢球參考橢球的中心：O參考橢球的北極：N參考橢球的南極：S 參考橢球的赤道：起始大地子午面：NGS測站大地子午面：NP0S 基本概念精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系1、相對于參考橢球的大地坐標系定義7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關

9、系參考橢球地面點大地經(jīng)度：L，0o360o或0o180o地面點大地維度：B，0o90o地面點大地高：H，可正可負。 大地坐標（B，L，H）精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系2、相對于參考橢球的大地空間直角坐標系定義7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系參考橢球原點：OZ軸：與橢球短軸重合，指 向北極方向X軸：指向起始大地子午面與橢球赤道的交點方向Y軸：與Z、X軸構成右手坐標系 基本概念精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系2、相對于參考橢球的大地空間直角坐標系定義7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系地面點X坐標： 大地空間直角坐

10、標 （X，Y，Z）地面點Y坐標：地面點Z坐標：參考橢球精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系3、幾點說明7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系 一個參考橢球（大小+定位）可以確定一套大地坐標系和一套大地空間直角坐標系，這些坐標系之間必有一定的關系，坐標系的關系也即同一點的兩套坐標之間的關系。參考橢球精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系3、幾點說明7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系 大地測量學中，所說的地面點的大地坐標和大地空間直角坐標都隱含著一個橢球，沒有橢球也就沒有這些坐標。參考橢球精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地

11、空間直角坐標系3、幾點說明7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系 實用中，經(jīng)常說的某個點的某一坐標系下的坐標，也意味著有一個橢球，坐標是相對該橢球的。參考橢球精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系3、幾點說明7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系 地面上每點沿法線在參考橢球面上都相應有一個投影點，這兩點的B、L相同，因此，如果知道了投影點的B、L，也就知道了地面點的水平坐標，這就是在橢球面上推算坐標的思想。參考橢球精選課件一、相對于參考橢球的大地坐標系與大地空間直角坐標系3、幾點說明7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系 相對參考橢球的坐標系也

12、稱為參心坐標系、相對坐標系，相對總地球橢球的坐標系也稱為地心坐標系、絕對坐標系。參考橢球精選課件二、子午平面直角坐標系同大地坐標系的關系7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系參考橢球精選課件二、子午平面直角坐標系同大地坐標系的關系7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系大地子午面精選課件二、子午平面直角坐標系同大地坐標系的關系7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系大地子午面精選課件二、子午平面直角坐標系同大地坐標系的關系7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系大地子午面精選課件二、子午平面直角坐標系同大地坐標系的關系7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系

13、的關系參考橢球精選課件三、空間直角坐標系與子午面直角坐標系的關系7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系精選課件四、同一參考橢球下大地坐標與空間直角坐標的轉換7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系參考橢球1、（B，L，H）（X，Y，Z）精選課件四、同一參考橢球下大地坐標與空間直角坐標的轉換7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系參考橢球2、（X，Y，Z） （B，L，H）精選課件迭代求解法，初始值：收斂條件為：迭代收斂解為：四、同一參考橢球下大地坐標與空間直角坐標的轉換7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系參考橢球2、（X，Y，Z） （B，L，H）說明：1）為

14、一小正數(shù)，如=510-10 ；2）J 為迭代收斂時的迭代次數(shù)。精選課件四、同一參考橢球下大地坐標與空間直角坐標的轉換7.2.2 大地坐標系與大地空間直角坐標系的關系參考橢球2、（X，Y，Z） （B，L，H）精選課件7.3 橢球面上的幾種曲率半徑子午圈曲率半徑B說 明B=0（在赤道處）0B90B=90（在極點處）M小于赤道aM隨B的增大而增大M等于極點曲率半徑精選課件卯酉圈曲率半徑 BN說明B=00卯酉圈變?yōu)槌嗟?0BR M只有在極點上，它們才相等，且均等于極曲率半徑c，即： 精選課件7.4 橢球面上的弧長計算1.子午線弧長計算公式將積分因子按二項式定理展開為級數(shù)形式將正弦的指數(shù)函數(shù)化為余弦的倍

15、數(shù)函數(shù) 精選課件精選課件2.平行圈弧長公式 旋轉橢球體的平行圈是一個圓，其半徑就是圓上任意一點的子午面直角坐標x：如果平行圈上有兩點，其經(jīng)差 ，可寫出平行圈弧長公式： 精選課件3.子午線弧長和平行圈弧長變化的比較923 29.87626.80221.90215.5008.0280.00036m1792.541608.131314.14930.02481.710.00111321m10755296488788485580128902030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.0271842.941844.261847.711852.391857.041860.

16、421861.60110576m110656110863111143111423111625111696015304560759011L=111平行圈弧長子午線弧長B 單位緯差的子午線弧長隨B的增大而緩慢地增大；而單位經(jīng)差的平行圈弧長則隨B的增大而急劇縮短。同時還知，子午弧長1約為110KM，1約為1.8KM，1約為30M；而平行圈弧長僅在赤道附近才與子午線弧長大體相當，隨著B的增大它們的差值愈來愈大。精選課件7.5大地線 1.相對法截線 三角測量觀測所形成的法截線，如圖所示，A、B為橢球面上兩點，設B點的緯度高于A點的緯度，并設它們的法線Ana與Bnb與短軸交于na、nb，當由A點向B點觀測

17、時，橢球面上所得方向就是由包含A點法線，并通過B點的法截面AnaB與橢球面截出的法截弧AaB的方向。精選課件 同樣，自B點向A點觀測時，所得方向就是由包含B點的法線，并通過A點的法截面BnbA與橢球面截出的法截弧BbA的方向，這兩個法截面的交線AB位于A、B兩點間橢球面的曲面以下。我們稱AaB為A點的正法截弧，或B點的反法截弧(又稱逆法截弧)；稱BaA為B點的正法截弧,或A點的反法截弧(逆法截弧)，我們統(tǒng)稱這兩條法截弧為A、B兩點的相對法截弧。 精選課件 在通常情況下，兩點間相對法截弧是不重合的(除兩點位于同一子午圈或同一平行圈上)，要證明相對法截弧不重合，只要證明過兩點的法線和短軸的交點na

18、、nb不重合就行了。可以證明：OnbOna。這就證明了在橢球面上不同緯度的兩點法線和短軸的交點不重合，這兩條法線是在空間交錯的直線，不可能位于同一平面，所以其相對法截弧也就不重合。對于我們北半球而言，緯度愈高，法線與短軸交點愈靠下，即愈遠離橢球中心。所以緯度高的點的正法截弧在緯度低的點的正法截弧之上。精選課件 正、反法截線彼此不重合，實質上說明兩點間的對向觀測不是沿著同一方向進行，這樣就給三角測量結果帶來問題。如圖所示，我們所量測的三個水平角實際上并不是一個閉合的三角形頂角，所以就無法確定三角形，也無法進行解算。要解決這個問題，必須設法找出橢球面上兩點之間唯一的一條邊，這條唯一的邊就是大地線。

19、 當然，由于地球橢球體的扁率很小，相對法截弧不重合，其夾角并不大，一般情況下是覺察不出來的，也不必要顧及它，但對于要求顧及千分之幾秒的一等三角測量就必須考慮此項影響。精選課件正反法截線之間的夾角，可以用下式表示： s l00km 0.042 60 0.015 30 0.004精選課件 可見，數(shù)值很小。在有限范圍的控制測量中，完全可以忽略其影響。然而在長距離的大地測量中，就給測量計算帶來不便。圖所示，在橢球面上的 ABC中，觀測角為A、 B 、 C ，由于相對法截線的不重合性，由對向觀測所得的3個內角就不能組成閉合三角形。要解決這個問題，就需要在兩點間另外選出一條單一的曲線，這就是大地線。精選課

20、件2大地線的定義和性質 橢球面上兩點間的最短曲線叫做大地線。在微分幾何中，定義為“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間的曲面曲線。大地線是兩點間唯一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為： 精選課件 大地線和法截線的方向差異如圖所示。橢球面上B、A兩點既不在同一子午圈也不在同一平行圈上，2點之間的大地線居于相對法截線之間，呈為一條雙曲率的曲線。大地線BLA和正法截線BEA之間的角度，等于正反法截線之間角度的三分之一?？梢钥闯?，當大地線2端點位于同一子午圈上時，方位角A等于00或1800，大地線與法截線重合，角度等于零

21、； 精選課件 當2端點位于同一平行圈上時，方位角近于900或2700，正反法截線合二為一，大地線位置比法截線稍微偏北，這時大地線和法截線在端點處相切，等于零。 大地線和法截線的長度差異甚微，當長度達600km時，二者差異僅0.007mm，所以在各種測量計算中，二者的長度均可不加區(qū)分。 精選課件3大地線的微分方程和克萊洛(克萊勞)方程 大地線微分方程: 利用這個關系式可以檢查緯度與方位角計算的正確性 精選課件7.6將地面觀測的方向值歸算到橢球面 我們已經(jīng)知道。大地測量的野外觀測值是在不同高度的地面上(即各點的水準面上)，以垂線為基準獲得的。在地球重力場的作用下。各點的垂線方向是不一致的(見圖)。

22、過各點的水準面形狀很不規(guī)則。它們不是數(shù)學曲面，不能作為大地測量外業(yè)成果計算的基準面。 精選課件精選課件所以，為了處理測量成果，傳統(tǒng)的辦法是將地面上大地測量觀測值，歸算至選定的并經(jīng)定位后的某一參考橢球的橢球面上(關于橢球定位原理后面要講)。換句話說，就是要把地面觀測值(主要包括水平方向值，地面距離和天文方位角)加上改正數(shù)，將其轉化為橢球面上的觀測值。而后在隨球面上再進行測量解算，求出各大地點的大地坐標。精選課件 可見，觀測值的歸算是一項非常重要的計算工作，它不僅為在橢球面上進行計算提供數(shù)據(jù)，且歸算的正確與否，歸算的精密程度，都將直接影響點位的精度。換句話說，假如歸算不正確或歸算精度差，那末最精密

23、的大地測量外業(yè)成果也會失去應有的價值和意義。精選課件 嚴密的歸算方法，就是把地面上以垂線為準的觀測值沿橢球面的法線方向歸算到橢球面上，歸算應顧及因地面點垂線與橢球面法線不重合而產生的垂線偏差改正和因地面點離開橢球面有一定高度的大地高影響改正，這就可把地面上建立的大地控制網(wǎng)轉換成橢球面上的大地控制網(wǎng)。如圖所示，橢球面上的大地控制網(wǎng)是由大地線構成的，所以歸算工作就包括把地面方向值歸算成大地線方向值(先把地面上的方向值歸算成橢球面上法截線的方向，再歸算成大地線方向)；把地面上兩點之間的距離(水平距離或傾斜距離)歸算成大地線長度；把地面上實測的天文方位角歸算成大地方位角。這種歸算方法稱為投影法。 精選

24、課件 歸算時如不顧及垂線偏差和大地高的影響，而把地面觀測值沿垂線歸算到大地水準面上，作為是橢球面上的結果進行測量計算的話，這樣的歸算就稱為近似法，又稱平展法。 通常應用投影法歸算。但當不知道大地網(wǎng)點的垂線偏差和大地水準面差距(即求不出正確的大地高)，或是低等級、小范圍的測量工作，可采用平展法。 如圖所示，橢球面上的大地控制網(wǎng)是由橢球面三角形組成的，而解算橢球面三角形無現(xiàn)成的公式，為此應研究橢球面三角形的解算問題。精選課件垂線偏差改正的計算公式 1）垂線偏差改正 把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應加的改正數(shù)稱為垂線偏差改正。精選課件2）標高差改正標高差改正：由照準

25、點高度引起的改正前面已得出結論：不在同一子午面或不在同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。因此，當進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢球面某一高度，則照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差的改正稱標高差改正，以 表示。 照準點大地緯度 測站點至照準點的大地方位角 與照準點的緯度B2對應的子午圈曲率半徑 照準點的覘標高 標高差改正主要與照準點的高程有關。 令：精選課件3）截面差改正將法截弧方向化為大地線方向應加的改正叫截面差改正 測站點大地緯度 與測站點的緯度B1對應的 卯酉圈曲率半徑 截面差改正主要與測站點至照準點間的距離S有關。令：精選課件4）三差改正的計算各等三角測量

26、在歸算時對取位的要求： 一等需算至0.001； 二等為0.01； 三等和四等為0.1。 在一般情況下，一等三角測量應加三差改正；二等三角測量應加垂線偏差改正和標高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量只有在 或H2000m時，才分別考慮加垂線偏差改正和標高差改正。 精選課件2、將天文方位角歸化為大地方位角-起始方位角（了解） 背景：在布設國家天文大地網(wǎng)時，為了控制三角網(wǎng)中方位角傳算誤差的積累，要求在一等三角鎖的兩端和中央，以及二等網(wǎng)的中間等處，都要在起始邊的兩個端點上，用天文觀測的方法測定它們的天文經(jīng)度、天文緯度和該邊的天文方位角(包含測站垂線的子午面與測站垂線和照準面所張成的垂直面的夾角

27、) 。在特種工程測量控制網(wǎng)中，有時也有這樣的要求。天文方位角是以測站的垂線為依據(jù)的，因此必須將它歸算至橢球面以測站點相應的法線為依據(jù)的大地方位角A，這種歸算又稱起始方位角的歸算。 測站點到照準點的大地方位角測站點處相應方向的天文方位角測站點的天文經(jīng)度測站點的大地經(jīng)度測站點的天文緯度垂線偏差改正數(shù) 當照準點目標高度不大時，天頂距Z接近于90時，垂線偏差改正數(shù)可勿略不計，因此上式可寫為： 上式又稱為拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角點上觀測天文經(jīng)度、天文緯度時，該點叫拉普拉斯點。 精選課件3、觀測天頂距受垂線偏差影響的改正（了解）垂線偏差在測線上的分量：A為測站點至照準點的大地方

28、位角。大地天頂距的計算公式 利用上式公式計算出的大地天頂距Z可用于計算高差，此高差稱為大地高差。三角高程測量的精度是有限的，若提高其計算精度，必須設法克服大氣折光的影響，同時要在天頂觀測值中引入垂線偏差改正數(shù)。 精選課件7.7將地面觀測的長度歸算到橢球面 地面電磁波測距的結果，是2端點之間的直線長。空間直線長與端點的鉛垂線沒有關系，可以直接沿端點的法線歸算到橢球面上。 精選課件 圖中用球面弧長代替了橢球面上的法截線弧長。因為當法截線弧長達600km時，用適宜半徑的球面弧長代替法截線弧長，其相對誤差只有1:2 500 000，此時球面半徑按式 精選課件 若A、B兩點的大地高分別為H1和H2，則由

29、三角形AOB按余弦公式可以寫出 d2= (RA+H1)2+(RA+H2)2-2(RA+H1)(RA+H2)COS由此得ab間弦長：精選課件再將弦長S0換算為弧長S 上式右端第一項實際是測距儀與反射鏡平均高程面上的水平距離；第二項是水平距離換算成橢球面上相應弦長的改正數(shù)；第三項是弦長換算成橢球面上弧長的改正數(shù)。 因為橢球面上的法截弧與大地線長度相差甚微，二者可不加區(qū)別，所以經(jīng)過上列換算后的長度，可以視為橢球面上的大地線長度。精選課件7.8橢球面上三角形的解算 按照上面所講的方法，我們可以把地面上三角網(wǎng)的方向值、起始邊長、起始方位角歸化至橢球面上。從而在橢球面上得到由大地線組成的三角網(wǎng)。該網(wǎng)中少數(shù)

30、的起始邊長值是知道的，其余各邊的長度還需通過計算才能得出。對一個三角形而言，若已知一條邊的長度，并觀測了三角形的三個內角，求定其它兩條邊的長度稱作三角形的解算。三角網(wǎng)是由一系列三角形組成，每個三角形都一一解算之后，則三角網(wǎng)的所有邊長值就都知道了。精選課件 橢球面上的三角形是由大地線組成，大地線是一條空間曲線，該曲線上各點的曲率半徑不相等，因而解算三角形就十分復雜。大地測量計算工作有兩個要求，其一是要有足夠的計算精度，其二是計算工作相對來說越簡單越好。由于參考橢球的扁率很小(l300)。大地網(wǎng)中三角形邊長一般在30km左右，特殊情況下，也很少超過4050km。因此可用球面代替橢球面。精選課件 據(jù)

31、研究表明，橢球面上半徑約140km范圍內，都可當作球面，即如果在半徑為140km的圓內繪出一個內接等邊三角形，則每邊的長度為240km。這就是說，只要三角形的邊長小于240km，都可以把它當作球面三角形來解算(此時圓球的曲率半徑可取與三個頂點平均緯度相對應的平均曲率半徑)，此時兩者對應邊長相等，相應角值差別小于0.001。實際上一等三角形的平均邊長僅為25km，所以把它當作球面三角形來解算，精度完全可以保證。精選課件 解算球面三角形采用勒讓德爾定理是比較方便的，該定理是：一個球面三角形可以作為平面三角形來解算，只要對應邊相等，把球面三角形的各角減去球面角超的l3，化為相應的平面三角形的內角，此

32、時由平面三角形算出的邊長就是球面邊長。精選課件精選課件 假定在圖中，ABC為一球面三角形，其邊長分別為a、b、c，三個頂角為、，該三角形的球面角超為。設想有一個平面三角形ABC，其邊長與球面三角形邊長對應相等。也為a、b、c ，平面三角形三個內角為、 ，它們與球面三角形的內角關系為精選課件 可以看出，計算平面角需要球面角超，而球面角超的計算又需要平面角，因此直接用球面角計算球面角超時將會產生誤差。據(jù)研究，如果要使這種誤差小于0.0005，則球面角超本身的數(shù)值應小于17 ，這約相當于邊長為90km的情況。對于一般大地控制網(wǎng)的計算，這是可以滿足的。 精選課件 按式求出平面角(也稱平面歸化角) 、之

33、后，若還已知三角形一條邊的長度a，便可按平面三角形正弦定理求出其余兩條邊的長度b、c，由此求得的平面邊長6、c即球面邊長，或即橢球面邊長，這就達到解算橢球面三角形的目的。精選課件7.9大地主題解算的高斯平均引數(shù)公式 將地面上的觀測值(水平方向，距離，方位角)歸算至參考橢球面并進行橢球面三角形的解算之后，就可以根據(jù)起算點(例如大地基準點)的大地坐標和已知的大地方位角以及大地線的長度逐點推算各三角點的大地坐標。 如圖所示，已知P1點的大地坐標（ ），P1至P2點的大地線長S及其大地方位角，計算P2點的大地坐標（ ）和大地線S在P2點的反方位角，這類問題叫做大地主題正解。如果已知P1和P2點的大地坐

34、標（ ）和（ ），計算P1至P2點的大地線長S及其正、反大地方位角和，這類問題叫做大地主題反解。 精選課件精選課件 大地主題的正反算合稱大地測量主題解算或稱大地主題。 根據(jù)大地線的長短，主題解算可分為短距離(400km以內)，中距離(4001000km)，長距離(1000km以上)三種。 根據(jù)計算方法可分直接解法和間接解法兩種。所謂直接解法，是將橢球面上極三角形轉換為球面三角形，在球面上直接解算出所求的緯度、大地方位角和對于起算點的經(jīng)度差，再將上述結果轉化到橢球面上。所謂間接解法，是先在橢球面上求出兩點的坐標差和方位角差B12、 L12、 A12。再根據(jù)已知的B1、Ll、A12求出P2點的B2

35、、L2、A21，即：精選課件 B2=Bl十B12 L2=L1+L12 A21=A12+A12 橢球面上的大地問題解算，遠比平面坐標計算復雜得多，因此百余年來，許多數(shù)學家與測繪工作者都致力于大地主題的解算的研究，得出幾十種解算方法。有的適合于短距離，有的適合于中距離，有的適合于長距離。精選課件 本章主要介紹短距離主題解算公式-高斯平均引數(shù)公式 。 大地坐標的精度取決于起始數(shù)據(jù)的精度、觀測值的精度和計算的精度。假定不考慮起始數(shù)據(jù)誤差影響，僅考慮觀測值誤差影響，那么計算誤差應在觀測值誤差影響的110以內。從該要求出發(fā)，國家一、二等三角測量大地坐標的取位要求如表所示。精選課件按平均引數(shù)展開的臺勞級數(shù)高

36、斯平均引數(shù)正解公式 推證高斯平均引數(shù)公式的基本思路是：按照平均引數(shù)展開的臺勞級數(shù)把大地線2端點的經(jīng)度差、緯度差和方位角差各表示為大地線長S的冪級數(shù)。再利用大地線在大地坐標系中的微分方程式推求出冪級數(shù)中的各階導數(shù)，最終得到大地問題解算公式。精選課件精選課件 高斯平均引數(shù)公式，結構比較簡單、精度較高。從公式可知,欲求B12、L12、A12，必先有Am和Bm。但由于B2、A21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式的計算。一般主項趨近3次，改正項趨近12次就可滿足要求。精選課件高斯平均引數(shù)反解公式精選課件精選課件習 題1試寫出橢球的基本元素及其基本關系式。 2在控制測量的橢球解算中

37、，常引用下列符號： 、 、 、 ，3我國解放后主要采用哪兩種參考橢球?其主要參數(shù)是什么?4繪圖并說明表示橢球面上點位的三種常用坐標系統(tǒng)。5在報紙上經(jīng)?？吹絏 X號輪船在東經(jīng)XXX度，北緯X X度遇險一6寫出參考橢球體的五個基本元素及相互間的關系。7什么叫子午圈？什么叫平行圈？8參考橢球體扁率的變化，橢球體的形狀發(fā)生怎樣的變形？9簡要說明并圖示地面某一點的大地高、正常高以及大地水準面 差距的幾何意義。10什么是大地測量的基本坐標系？有何優(yōu)點？11用公式表示空間直角坐標系和大地坐標系之間的關系。試問它們之間函數(shù)關系的一個基本共同特點是什么？類的報導，試問這是指的什么坐標系，為什么?精選課件12簡要

38、敘述M、N、R 三種曲率半徑之間的關系。13大地坐標系和天文坐標系各以什么作基準面和基準線？14試推證卯酉圈、子午圈曲率半徑的計算公式。15B00的平行圈是否有可能是法截線？為什么？ 16卯酉圈曲率半徑N與子午圈曲率半徑M何時有最大值？何時有最小值？17什么是法截面？什么是法截線？18當橢球元素確定之后，橢球面上任意方向法截線曲率半徑的計算值取決于哪兩個變量？為什么？19已知歐拉公式： 試由橢球基本元素及公式出發(fā)，導出計算任意方向法截線平均曲率半徑R的公式。 精選課件20在推導計算子午線弧長公式時，為什么要從赤道起算？若欲求緯度B1和B2間的子午線弧長( 0)，如何計算？21何謂橢球面上的相對

39、法截線和大地線？試鑒別下列各線是否為大地線并簡要說明理由：(1)任意方向法截線， (2)子午圈， (3)卯酉圈， (4)平行圈。22試證明橢球面上過任一點P(B、L，B0)的任一方向的法截線只有子午線是大地線，而平行圈為什么不是大地線？若為球面，情況又如何？23研究相對法截線有何意義？畫出某方向在不同象限時正反法截線的關系圖。24什么叫大地線？為什么可以用大地線代替法截線？大地線具有什么性質？25大地線微分方程表達了什么之間的關系？精選課件26試述三差改正的幾何意義。為什么有時在三角測量工作中可以不考慮三差改正？27三差改正的改正數(shù)大小，各與什么有關？28解釋下列名詞： 大地水準面，參考橢球，大地線，法截線，大地經(jīng)緯度29已知橢