博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)納什均衡存在性

1、博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)第2章 完全但不完美信息靜態(tài)博弈-3納什均衡的存在性1四個(gè)均衡概念的關(guān)系 占優(yōu)戰(zhàn)略均衡(DSE)、重復(fù)剔除的占優(yōu)均衡(IEDE)、純戰(zhàn)略納什均衡(PNE)和混合戰(zhàn)略納什均衡(MNE)，每個(gè)均衡概念依次是前一個(gè)均衡概念的擴(kuò)展，或者說，前一個(gè)均衡概念是后一個(gè)均衡概念的特例。如果將存在某個(gè)適當(dāng)定義的均衡的所有博弈稱為一個(gè)集合，那么，存在前一個(gè)均衡的集合依次為存在后一個(gè)均衡的集合的子集 23納什均衡的存在性 是不是所有的博弈都存在納什均衡呢? 不一定。但是，納什(Nash，1950)證明，任何有限博弈都存在至少一個(gè)納什均衡。納什均衡的存在性定理-I (Nash，I950)：每一個(gè)有限

2、博弈至少存在一個(gè)納什均衡(純戰(zhàn)略的或混合戰(zhàn)略的)。 這里，有限博弈指的是有有限個(gè)參與人且每個(gè)參與人有有限個(gè)純戰(zhàn)略的博弈。4均衡與不動(dòng)點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，說明一個(gè)方程系統(tǒng)存在均衡解的方法是將問題變成尋找一個(gè)適當(dāng)構(gòu)造的某種集合ARN到其自身(A)的函數(shù)或?qū)?yīng)的不動(dòng)點(diǎn)。納什均衡存在性定理的證明要用到Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理(fixed point theorem)。Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理是關(guān)于映射的Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理在對(duì)應(yīng)上的擴(kuò)展。一個(gè)向量x是映射f(.)的Brouwer不動(dòng)點(diǎn)，如果x=f(x)；或者是對(duì)應(yīng)f(.)的Kakutani不動(dòng)點(diǎn)，如果x f(x)。即，向量映射或?qū)?yīng)到自身，并且保持固

3、定。5函數(shù)與對(duì)應(yīng)函數(shù)或映射是集合上點(diǎn)與點(diǎn)之間的聯(lián)系規(guī)則，對(duì)應(yīng)(correspondence)是集合上點(diǎn)與子集之間的聯(lián)系規(guī)則。簡(jiǎn)單地說，給定X上的一個(gè)點(diǎn)x，如果f(x)給出唯一的一個(gè)點(diǎn)yY，f(x)稱為從X到Y(jié)的函數(shù)；如果f(x)給出一個(gè)點(diǎn)集Y(x)Y，f(x)稱為從X到Y(jié)的對(duì)應(yīng)。函數(shù)或映射是對(duì)應(yīng)的特例，即Y(x)只包含唯一點(diǎn)的情況，而函數(shù)也可以看作是映射的特例，因?yàn)橛成湓试S集合的元素是非實(shí)數(shù)。6反應(yīng)函數(shù)與反應(yīng)對(duì)應(yīng)在庫(kù)諾特模型中，給定企業(yè)j的產(chǎn)量qj，企業(yè)i的最優(yōu)產(chǎn)量qi是唯一的，我們稱qi = Ri(qj)為企業(yè)i的反應(yīng)函數(shù)。在兩人混合戰(zhàn)略均衡中，給定參與人j的（均衡）混合戰(zhàn)略j，參與人i可能

4、有無窮多個(gè)最優(yōu)混合戰(zhàn)略i，我們稱i = ri(j)為i的反應(yīng)對(duì)應(yīng)。7Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理假定f(x)是定義在點(diǎn)集X上的函數(shù)。如果f(x)是自身對(duì)自身的映射(即f: X X)， f(x)是連續(xù)的，X是非空的、緊的（有界的和閉的）、凸集合，那么，至少存在一個(gè)x*X，使得f(x*) = x*， x*稱為不動(dòng)點(diǎn)。 函數(shù)的連續(xù)性及集合的閉性(有界且包括邊界)、有界性(有極限點(diǎn))和凸性是保證不動(dòng)點(diǎn)存在的充分條件，而不是必要條件。即使這些條件都不滿足，不動(dòng)點(diǎn)也可能存在。8RRx1x2x1x2x1x2R閉區(qū)間開區(qū)間半開區(qū)間閉集合開集合9平行陰影集合A是開的（相對(duì)于X），虛邊線上的點(diǎn)不屬于A，開圓盤x在A中

5、。平行陰影集合A是閉的（相對(duì)于X），因?yàn)榧螦的補(bǔ)集XA是開的，開圓盤x在XA中，實(shí)線上的點(diǎn)屬于A。10凸集凸集合：集合ARN是凸的，如果 x + (1- )x A，其中， x，x A，并且 0，1。也就是說，如果RN中的一個(gè)集合A是凸的，那么，如果它含有兩個(gè)向量x和x，就包含連接這兩個(gè)向量的整個(gè)線段(這兩個(gè)向量的凸組合或加權(quán)平均)。11凸集合非凸集元素的全可見性與部分不可見性xxxx12f:0,1 0,1是連續(xù)函數(shù)，X=0,1是閉的、有界的、凸的，Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理的條件均滿足, x*是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。X = x: 0 xx0，x1x1不是凸的，因?yàn)?x0，x1) X，沒有不動(dòng)點(diǎn)。Brou

6、wer不動(dòng)點(diǎn)定理：一維實(shí)數(shù)空間上的連續(xù)函數(shù)/映射：圖像與45線相交13X = 0，)不是有界的，沒有不動(dòng)點(diǎn)。X= 0，1)不包含點(diǎn)1，因而不是閉的，沒有不動(dòng)點(diǎn)。Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理：一維實(shí)數(shù)空間上的連續(xù)函數(shù)/映射：圖像與45線相交14f(x)在點(diǎn)x0是不連續(xù)的，沒有不動(dòng)點(diǎn)。f(x)在點(diǎn)x0不連續(xù)，X是非閉的(不包括x = 1的點(diǎn))，但有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)存在。 Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理：一維實(shí)數(shù)空間上的連續(xù)函數(shù)/映射：圖像與45線相交15從0，1到其自身的連續(xù)函數(shù)有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)連續(xù)性假設(shè)是不可缺少的，不連續(xù)函數(shù)可能沒有不動(dòng)點(diǎn)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理：一維實(shí)數(shù)空間上的連續(xù)函數(shù)/映射：圖像與45線相交1

7、6映射f: AA有三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理：一維實(shí)數(shù)空間上的連續(xù)函數(shù)/映射：圖像與45線相交17Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理假定f(x): XX是定義在點(diǎn)集X上的對(duì)應(yīng)，如果X是非空的、閉的、有界的和凸的，f(x)對(duì)于所有的xX是非空的、凸的，且上半連續(xù)(upper semi-continuous)，那么，至少存在一個(gè)x*X，使得x*f(x*)，稱為不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的上半連續(xù)性等價(jià)于Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理中函數(shù)的連續(xù)性。18函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)的三個(gè)要素：有定義、有極限、極限值等于函數(shù)值，缺一不可。19函數(shù)的連續(xù)性20對(duì)應(yīng)的連續(xù)性給定XRN和YRK，對(duì)應(yīng)f：XY的圖像(graph)是像集合(x

8、, y)XY：yf(x)。給定XRN和閉集YRK，如果對(duì)于任意兩個(gè)序列xm xX和ymy，且對(duì)于每一m, xmX及ymf(xm)，有yf(x)，則對(duì)應(yīng)f：XY有一個(gè)閉圖。閉圖的概念就是通常意義上的閉性（相對(duì)于XY）應(yīng)用于集合(x, y)XY：yf(x)。21對(duì)應(yīng)的上半連續(xù)性給定XRN和閉集YRK，對(duì)應(yīng)f：XY是上半連續(xù)的，如果它有閉圖，且X中任意緊集的像是有界的。這意味著，在上半連續(xù)對(duì)應(yīng)下，緊集的像實(shí)際上是緊的（有界且閉的）。對(duì)應(yīng)的上半連續(xù)要求，對(duì)于所有的x0X和包含f(x0)的開集V，存在一個(gè)x0的鄰域U，使得對(duì)于所有的xU，有f(x)V。m維的歐幾里德幾何空間Em的子集N叫作點(diǎn)pEm的一個(gè)

9、鄰域，如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)r0，以p為中心，以r為半徑的閉圓盤包含在N內(nèi)。22對(duì)應(yīng)(函數(shù))有閉圖，但不是上半連續(xù)的，a1/2的鄰域的像不是閉的(無界)。上半連續(xù)對(duì)應(yīng)23對(duì)應(yīng)的下半連續(xù)性給定ARN和緊集YRK，對(duì)應(yīng)f：AY是下半連續(xù)的，如果對(duì)于每一個(gè)序列xm xA，并且對(duì)于所有的m有xmA，以及對(duì)于每一個(gè)yf(x)，我們可以找到序列ymy，和一個(gè)正整數(shù)M，使得對(duì)于mM, 有ymf(xm)。有開圖的任何對(duì)應(yīng)f：AY都是下半連續(xù)的（相對(duì)于AY）。24下半連續(xù)，但沒有閉圖，所以不是上半連續(xù)的；下半連續(xù)只與集合的“內(nèi)爆/聚爆”相一致。25上半連續(xù)，但沒有開圖，因而非下半連續(xù)；上半連續(xù)只與集合的“爆炸/裂爆”

10、相一致。26下半連續(xù)，但非上半連續(xù)上半連續(xù)，但非下半連續(xù)27連續(xù)對(duì)應(yīng)：既上半連續(xù)，又下半連續(xù)1/228f(.)是凸的，不動(dòng)點(diǎn)存在對(duì)應(yīng)的凸性假設(shè)是不可缺少的；f(.)不是凸的，不動(dòng)點(diǎn)不存在29上半連續(xù)但非凸的對(duì)應(yīng)30上半連續(xù)但非凸的對(duì)應(yīng)31上半連續(xù)且凸的對(duì)應(yīng)32應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性假定有n個(gè)參與人，每個(gè)參與人有有限個(gè)純戰(zhàn)略。我們定義，=(1, , i, , n)為n個(gè)參與人的混合戰(zhàn)略組合，其中ii是第i個(gè)參與人的混合戰(zhàn)略；=ni為混合戰(zhàn)略組合的集合或空間(即)。我們用ri()代表i的反應(yīng)對(duì)應(yīng)，定義為給定其他參與人的混合戰(zhàn)略-i時(shí)i的一個(gè)或多個(gè)最優(yōu)戰(zhàn)略i*。數(shù)學(xué)上講，

11、ri()將每一個(gè)戰(zhàn)略組合對(duì)應(yīng)到i的戰(zhàn)略空間i上的一個(gè)最優(yōu)子集(雖然ri只依賴于-i而不依賴于i，我們用ri()而不用ri(-i)，是因?yàn)橐獞?yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理）。33應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性定義對(duì)應(yīng)r：為ri的笛卡爾積，也就是，給定一個(gè)混合戰(zhàn)略組合，各參與人i的每個(gè)最優(yōu)戰(zhàn)略i*ri()，組成空間中的若干個(gè)元素=(1*, , i*, , n*)構(gòu)成的集合，如此，將n個(gè)參與人的反應(yīng)對(duì)應(yīng)ri轉(zhuǎn)換為到自身的對(duì)應(yīng)r：。如果存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)* = (1*, , i*, ., n*)，使得*r(*)，由于對(duì)所有的i, i*ri(*)，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)就是納什均衡。因此，只要說明對(duì)應(yīng)r：滿足Kak

12、utani不動(dòng)點(diǎn)定理的條件，就可以證明納什均衡存在。 34Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理假定f(x): XX是定義在點(diǎn)集X上的對(duì)應(yīng)，如果X是非空的、閉的、有界的和凸的，f(x)對(duì)于所有的xX是非空的、凸的，且上半連續(xù)(upper semi-continuous)，那么，至少存在一個(gè)x*X，使得x*f(x*)，稱為不動(dòng)點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的上半連續(xù)性等價(jià)于Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理中函數(shù)的連續(xù)性。35=0=1=0=11236應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性首先，因?yàn)槊恳粋€(gè)i都是一個(gè)概率空間，因而是(J - 1)維的單純形(這里J是第i個(gè)參與人的純戰(zhàn)略數(shù)量)，這意味著i(從而)是閉的、有界的、凸的

13、和非空的。設(shè)a1, , ak是Rn中的一組線性無關(guān)的點(diǎn)，在1+ k=1以及10，, k 0時(shí)，一切點(diǎn)x= 1a1+ kak的集合，稱為k-1維單純形，記為（a1, , ak）。k=2時(shí)的1維單純形就是線段；k=3時(shí)的2維單純形就是三角形；k=4時(shí)的3維單純形就是三棱錐，各有K個(gè)頂點(diǎn)。37應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性其次，因?yàn)槠谕в檬腔旌细怕实木€性函數(shù)，因而是連續(xù)的和擬凹的(quasi-concave)，ri()從而r()是非空的(有界閉集上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值)。擬凹函數(shù)：定義在凸集合ARN上的函數(shù)f：AR是擬凹的，如果其上面的輪廓集合x A: f(x) t是凸集合，

14、即，如果對(duì)于任意的t R，x, x A和 0，1，f(x) t和f(x) t意味著f(x + (1- )x) t。38嚴(yán)格擬凹函數(shù)的輪廓集合39不嚴(yán)格的擬凹函數(shù)的輪廓集合40函數(shù)f(.)是擬凹的，當(dāng)只當(dāng)對(duì)于所有的x, x A和 0, 1，f(x + (1- )x) Min(f(x), f(x)。因此，凹函數(shù)必為擬凹的，但擬凹函數(shù)不一定為凹函數(shù)。例如，一個(gè)自變量的任意遞增函數(shù)是擬凹的。所以，凹性是比擬凹性更強(qiáng)的性質(zhì)。xyf(x)g(x)t(x)41一個(gè)自變量的嚴(yán)格凹函數(shù)連接函數(shù)f(.)圖像上任意兩點(diǎn)的直線完全在圖像之下；函數(shù)f：AR的圖像是集合(x, y) AR: y=f(x)42不嚴(yán)格的凹函數(shù)

15、連接兩點(diǎn)x和x的直線在圖像上。434445連續(xù)性和緊性假設(shè)對(duì)于使函數(shù)最大化的自變量值的存在性的必要性在非緊定義域上的連續(xù)函數(shù)沒有最大化自變量值在緊定義域上的非連續(xù)函數(shù)沒有最大化自變量值46應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性進(jìn)一步，期望效用函數(shù)的線性意味著，如果r()，r(), 那么 + (1 - ) r()，(0, 1)，即如果i和i是對(duì)應(yīng)于-i的最優(yōu)選擇，那么它們的加權(quán)平均也是對(duì)應(yīng)于-i的最優(yōu)選擇，因此，ri() 從而r()是凸的。47應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性最后，我們要證明，r()是上半連續(xù)的，即: 如果一個(gè)序列(m,m)(,)，mr(m)，那么r

16、()，從而，由于r是ri的笛卡爾積，對(duì)所有的i，iri(-i)。假定不是這樣，即存在一個(gè)序列(m,m) (,)，mr(m)，但r()，那么，由于r是ri的笛卡爾積，對(duì)某些i，iri(-i)。這樣的話，存在一個(gè)0和一個(gè)i使得i(i,-i)i(i,-i)+3。48應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性因?yàn)閕是連續(xù)的和擬凹的，(m,m)(,)，如果m足夠大，我們有i(i,m-i) i(i,-i)i(i,-i)+2 i(mi,m-i)+因此，i嚴(yán)格優(yōu)于mi (給定m-i)，即mi ri(m)，與假設(shè)矛盾。因此，我們證明r()是上半連續(xù)的。因?yàn)镵akutani不動(dòng)點(diǎn)定理的條件是滿足的，所以，

17、r: 有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)* = (1*，.，i*, .，n*)，使得*r(*)，且對(duì)所有的i, i*ri(*)，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)就是納什均衡。49無限博弈納什均衡的存在性經(jīng)濟(jì)學(xué)家使用的模型一般都是無限博弈，即參與人有無窮多個(gè)不可數(shù)的純戰(zhàn)略。在上述存在性定理中，每個(gè)參與人有有限個(gè)純戰(zhàn)略只是納什均衡存在的充分條件，而不是必要條件。在庫(kù)諾特模型中，每個(gè)參與人有無窮多個(gè)純戰(zhàn)略，但納什均衡是存在的。當(dāng)參與人有無窮多個(gè)純戰(zhàn)略時(shí)，納什均衡的存在性要求支付函數(shù)在純戰(zhàn)略上是連續(xù)的。如果支付函數(shù)不連續(xù)，均衡就可能不存在。 50納什均衡的存在性定理II納什均衡的存在性定理II(Debreu，1952；Ghksberg，1952

18、；Fan，l952)：在n人戰(zhàn)略式博弈中，如果每個(gè)參與人的純戰(zhàn)略空間Si是歐氏空間上一個(gè)非空的、閉的、有界的凸集，支付函數(shù)ui(s)是連續(xù)的且對(duì)si是擬凹的，那么，存在一個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡。上述存在性定理的證明類似納什定理的證明。支付函數(shù)的連續(xù)性意味著反應(yīng)對(duì)應(yīng)是非空的和上半連續(xù)的；支付函數(shù)對(duì)參與人自己的戰(zhàn)略的擬凹性意味著反應(yīng)對(duì)應(yīng)是凸的。這樣，不動(dòng)點(diǎn)定理的條件是滿足的。51歐氏空間n維歐氏空間記為En。歐幾里德幾何空間：具有無限性和均勻性的廣延，與世界的真實(shí)空間是同一的。52定理I與定理II的關(guān)系納什定理可以看作是上述定理的特例。盡管當(dāng)純戰(zhàn)略的數(shù)量有限時(shí)，純戰(zhàn)略空間是非凸的，支付函數(shù)是非連續(xù)的，但

19、混合戰(zhàn)略空間作為一個(gè)單純形是歐氏空間上閉的、有界的非空凸子集，期望支付函數(shù)是連續(xù)的、擬凹的。當(dāng)純戰(zhàn)略空間本身是歐氏空間上一個(gè)非空的、閉的、有界的凸集且支付函數(shù)在純戰(zhàn)略空間上是連續(xù)的、擬凹的時(shí)，就沒有必要引入混合戰(zhàn)略了。 53應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性定理II假定有n個(gè)參與人，每個(gè)參與人有無限個(gè)純戰(zhàn)略。我們定義，s=(s1, , si, , sn)為n個(gè)參與人的戰(zhàn)略組合，其中siSi是第i個(gè)參與人的戰(zhàn)略；S=nSi為戰(zhàn)略組合的集合或空間(即sS)。我們用ri(s-i)代表i的反應(yīng)對(duì)應(yīng)，定義為給定其他參與人的戰(zhàn)略s-i時(shí)i的一個(gè)或多個(gè)最優(yōu)戰(zhàn)略si*。數(shù)學(xué)上講，ri(s-i)

20、將每一個(gè)戰(zhàn)略組合s-i對(duì)應(yīng)到i的戰(zhàn)略空間i上的一個(gè)最優(yōu)子集。54應(yīng)用Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理證明納什均衡的存在性定理II定義對(duì)應(yīng)r：SS為ri的笛卡爾積，也就是，對(duì)于每一個(gè)參與人i，給定的其他參與人的戰(zhàn)略s-i與i的每一個(gè)最優(yōu)戰(zhàn)略si*組成S空間中的若干個(gè)元素s=(s1, , si*, , sn)構(gòu)成的集合，如此，就將n個(gè)參與人的反應(yīng)對(duì)應(yīng)ri轉(zhuǎn)換為S到自身的對(duì)應(yīng)r：SS。如果存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)s* = (s1*, , si*, ., sn*)S，使得s*r(s*)，由于對(duì)所有的i, si*ri(s*)，這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)就是納什均衡。因此，只要說明對(duì)應(yīng)r：SS滿足Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理的條件，就可以

21、證明納什均衡存在。55連續(xù)性條件的重要性假定有兩個(gè)參與人，每個(gè)參與人的戰(zhàn)略空間都是0到1之間的實(shí)數(shù)，即S1 = S2 = 0，1。假定支付函數(shù)分別為u1(s1,s2) = -(s1 s2)2u2(s1,s2) = -(s1 s2 1/3)2, s1 1/3 -(s1 s2 + 1/3)2, s1 1/3這里，每個(gè)參與人的支付函數(shù)對(duì)自己的戰(zhàn)略是嚴(yán)格凹的，但u2在s1 = 1/3點(diǎn)不連續(xù)。56連續(xù)性條件的重要性參與人的反應(yīng)函數(shù)分別是:r1(s2) = s2r2(s1) = s1 1/3, s1 1/3 = s1 + 1/3, s1 1/3即參與人2的反應(yīng)函數(shù)在點(diǎn)s1 = 1/3不連續(xù)。兩條反應(yīng)曲線

22、不相交，納什均衡不存在，如圖1.8所示。5758支付函數(shù)的擬凹性支付函數(shù)的擬凹性是一個(gè)很嚴(yán)格的條件，這個(gè)條件在許多情況下是不滿足的。比如說，在庫(kù)諾特模型中，利潤(rùn)函數(shù)的擬凹性要求逆需求函數(shù)和成本函數(shù)滿足一些特殊的條件(如逆需求函數(shù)是凹的，成本函數(shù)是凸的)。當(dāng)支付函數(shù)不滿足擬凹性條件時(shí)，純戰(zhàn)略均衡可能不存在。當(dāng)然，即使擬凹條件(和定理的其他條件)不滿足，純戰(zhàn)略均衡也可能存在，因?yàn)檫@些條件是充分條件而非必要條件。 59納什均衡的存在性定理III當(dāng)支付函數(shù)在純戰(zhàn)略空間上是連續(xù)的但不一定擬凹時(shí)，引入混合戰(zhàn)略可以保證納什均衡的存在。 納什均衡的存在性定理III(Glicksberg，1952): 在n人戰(zhàn)

23、略式博弈中，如果每個(gè)參與人的純戰(zhàn)略空間Si是歐氏空間上一個(gè)非空的、閉的、有界的凸集，支付函數(shù)ui(s)是連續(xù)的，那么，存在一個(gè)混合戰(zhàn)略納什均衡。 定理的證明仍然是應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理于反應(yīng)對(duì)應(yīng)。這里，引入混合戰(zhàn)略的目的是使反應(yīng)對(duì)應(yīng)滿足凸性條件。 60伯川博弈參與人企業(yè)1和企業(yè)2。博弈規(guī)則企業(yè)1和企業(yè)2同時(shí)選擇產(chǎn)品的價(jià)格p1,p20, )，盡可能多地銷售自己的產(chǎn)品。支付函數(shù)兩企業(yè)的產(chǎn)品同質(zhì)(完全替代)，邊際生產(chǎn)成本相同且不變c?？傂枨蠛瘮?shù)為線性Q(p)=ap。企業(yè)1和企業(yè)2的支付函數(shù)是：61支付函數(shù)1= (a-p1)(p1-c)，如果p1p22= 0，如果p1p262均衡與結(jié)果唯一的納什均衡是: p1

24、 = p2 = p = c均衡結(jié)果是q1 = q2 = (a-c)/2， 1= 2= 0證明：把可能的戰(zhàn)略組合分為四類， p1 c 或 p2 p2 c 或 p2 p1 c。在這兩種情況下，價(jià)格較高的企業(yè)可以轉(zhuǎn)向一個(gè)低于對(duì)手的價(jià)格，使其利潤(rùn)從零增加到某個(gè)正值；63證明p1 = p2 c。在這種情況下，一個(gè)企業(yè)可以轉(zhuǎn)向一個(gè)低于對(duì)手的價(jià)格，其利潤(rùn)將增加，因?yàn)?，雖然單位銷售的利潤(rùn)有所下降，但銷售量從市場(chǎng)需求的一半變?yōu)檎碱I(lǐng)整個(gè)市場(chǎng)；p1 p2 = c 或 p2 p1 = c。在這種情況下，價(jià)格為c的企業(yè)可以提高其價(jià)格并低于另一企業(yè)的價(jià)格，其利潤(rùn)從零變?yōu)檎怠?4證明納什均衡的一般方法分解戰(zhàn)略組合空間，一部分一部分地證明會(huì)出現(xiàn)偏離。伯川悖論：在產(chǎn)品同質(zhì)的情況下，雖然只有兩個(gè)企業(yè)，雙寡頭利潤(rùn)并不增加。65產(chǎn)品有差異時(shí)的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)如果兩個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品不完全相同，企業(yè)1的需求函數(shù)為q1 = a p1 + p2，企業(yè)2的需求函數(shù)是q2 = a