中國傳媒大學(xué)-市場調(diào)查與預(yù)測-課件-第十一章主成分分析與因子分析

1、【本章學(xué)習(xí)目的】 通過對本章的學(xué)習(xí)理解主成分分析的基本理論；掌握用 SPSS 軟件求解主成分的方法； 了解因子分析的基本理論；掌握求解因子的方法步驟；能夠用 SPSS 軟件進(jìn)行因子分析， 并能正確理解系統(tǒng)輸出結(jié)果。 第十一章 主成分分析與因子分析第一節(jié) 主成分分析與因子分析概述 第二節(jié) 主成分分析與因子分析的統(tǒng)計(jì)原理 第三節(jié) 主成分分析與因子分析實(shí)例主要內(nèi)容第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 問題發(fā)現(xiàn)：在對某一事物進(jìn)行實(shí)證研究時(shí)，為了更全面、準(zhǔn)確地反映事物的特征及其發(fā)展規(guī)律，人們往往要考慮與其有關(guān)系的多個(gè)指標(biāo)，這些指標(biāo)在多元統(tǒng)計(jì)中也稱為變量。這樣就產(chǎn)生了如下問題：一方面人們?yōu)榱吮苊膺z漏重要的信息而

2、考慮盡可能多的指標(biāo)，另一方面考慮指標(biāo)的增多增加了問題的復(fù)雜性，同時(shí)由于各指標(biāo)均是對同事物的反映，不可避免地造成信息的大量重疊，這種信息的重疊有時(shí)甚至?xí)⑹挛锏恼嬲卣髋c內(nèi)在規(guī)律。主成分分析正是研究如何通過原來變量的少數(shù)幾個(gè)線性組合來解釋原來變量絕大多數(shù)信息的一種多元統(tǒng)計(jì)方法。一、主成分分析的基本思想第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 主成分：通過對原始變量相關(guān)矩陣或協(xié)方差矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究，利用原始變量的線性組合形成幾個(gè)綜合指標(biāo)（主成分），在保留原始變量主要信息的前提下起到降維與簡化問題的作用，使得在研究復(fù)雜問題時(shí)更容易抓住主要矛盾。主成分與原始變量之間有如下基本關(guān)系：1.每個(gè)主成分都是各原

3、始變量的線性組合；2.主成分的數(shù)目大大少于原始變量的數(shù)目；3.主成分保留了原始變量絕大多數(shù)信息；4.各主成分之間互不相關(guān)。一、主成分分析的基本思想第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 問題發(fā)現(xiàn)：人們在研究實(shí)際問題時(shí)，往往希望盡可能多地收集相關(guān)變量，以期望對問題有比較全面、完整的把握和認(rèn)識。例如，企業(yè)綜合評價(jià)研究中，可能會收集諸如盈利能力、負(fù)債能力、運(yùn)營能力等方面的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)在帶來有關(guān)信息的同時(shí)，也給數(shù)據(jù)的分析帶來了一定的困難：這眾多的變量之間可能存在著或多或少的相關(guān)性，實(shí)際觀測到的數(shù)據(jù)包含的信息有一部分可能是重復(fù)的。因子分析：在盡可能不損失信息或者少損失信息的情況下，將多個(gè)變量減少為少數(shù)

4、幾個(gè)因子的方法。這幾個(gè)因子可以高度概括大量數(shù)據(jù)中的信息，這樣，既減少了變量個(gè)數(shù)，又同樣能再現(xiàn)變量之間的內(nèi)在聯(lián)系。二、因子分析的基本思想第一節(jié)主成分分析與因子分析概述 主成分分析(principal component analysis, PCA)是把原來多個(gè)變量轉(zhuǎn)換為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。因子分析(factor analysis)是一種數(shù)據(jù)簡化的技術(shù)。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系,探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu),并用少數(shù)幾個(gè)假想因子來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。主成分分析不要求明確的理論指導(dǎo),屬于探索性工具;而因子分析常常是在有明確理論指導(dǎo)或明確假設(shè)時(shí)對理論進(jìn)行驗(yàn)證,故屬于驗(yàn)證性工具

5、。三、主成分分析與因子分析的概念第二節(jié)主成分分析與因子分析的的基本原理一、主成分分析的統(tǒng)計(jì)原理 主成分分析的本質(zhì)是坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換，將原始的 n 個(gè)變量進(jìn)行重新的線性組合，生成 n 個(gè)新的變量，它們之間互不相關(guān)，稱為 n 個(gè)“成 分”。同時(shí)按照方差最大化的原則，保證第一個(gè) 成分的方差最大，然后依次遞減。這 n 個(gè)成分是 按照方差從大到小排列的，其中前 m 個(gè)成分可能 就包含了原始變量的大部分方差（及變異信息）。 那么這 m 個(gè)成分就成為原始變量的“主成分”， 它們包含了原始變量的大部分信息。 注意：得到的主成分不是原始變量篩選后的 剩余變量，而是原始變量經(jīng)過重新組合后的“綜 合變量”。第二節(jié)主成

6、分分析與因子分析的的基本原理案例：用最簡單的二維數(shù)據(jù)來直觀的解釋主成分分析的原理。假設(shè)現(xiàn)在有兩個(gè)變量X1、X2，在坐標(biāo)上畫出散點(diǎn)圖如下：可見，x1、x2之間存在相關(guān)關(guān)系，如果我們將坐標(biāo)軸整體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，變成新的坐標(biāo)系Y1、Y2。第二節(jié)主成分分析與因子分析的的基本原理案例：根據(jù)坐標(biāo)變化的原理，我們可以算出：Y1=sqrt(2)/2* X1+sqrt(2)/2* X2Y2=sqrt(2)/2* X1-sqrt(2)/2* X2其中sqrt（x）為x的平方根。通過對X1、X2的重新進(jìn)行線性組合，得到了兩個(gè)新的變量Y1、Y2。此時(shí)，Y1、Y2變得不再相關(guān)，而且Y1方向變異（方差）較大，Y2方向的

7、變異（方差）較小，這時(shí)我們可以提取Y1作為X1、X2的主成分，參與后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析，因?yàn)樗鼣y帶了原始變量的大部分信息。至此我們解決了兩個(gè)問題：降維和消除共線性。對于二維以上的數(shù)據(jù)，就不能用上面的幾何圖形直觀的表示了，只能通過矩陣變換求解，但是本質(zhì)思想是一樣的。第二節(jié)主成分分析與因襲分析的的基本原理二、因子分析的統(tǒng)計(jì)原理 原理：對原始變量間的內(nèi)在相關(guān)結(jié)構(gòu)進(jìn)行分組，相關(guān)性強(qiáng)的分在一組， 組間相關(guān)性較弱，各組變量代表一個(gè)基本要素（公共因子）。通過原始變量之間的復(fù) 雜關(guān)系分解原始變量，得到公共因子和特殊因子。原始變量被表示成公共因子的線性組合。 其中公共因子是所有原始變量所共同具有的特征，而特殊因子則是

8、原始變量所特有的部分。因子分析強(qiáng)調(diào)對新變量（因子）的實(shí)際意義的解釋。因子分析的過程：（1）確認(rèn)待分析的原變量是否適合做因子分析；（2）構(gòu)造因子變量；（3）利用旋轉(zhuǎn)方法使因子變量更具有可解釋性；（4）計(jì)算因子變量得分。第二節(jié)主成分分析與因子分析的的基本原理三、主成分分析與因子分析的聯(lián)系與區(qū)別 （一）聯(lián)系 兩者都是降維和信息濃縮的方法。生成的新變量均代表了原始變量的大部分信息且互 相獨(dú)立，都可以用于后續(xù)的回歸分析、判別分析、聚類分析等。（二）區(qū)別 （1）主成分分析是按照方差最大化的方法生成的新變量，強(qiáng)調(diào)新變量貢獻(xiàn)了多大比 例的方差，不關(guān)心新變量是否有明確的實(shí)際意義； （2）因子分析著重要求新變量具

9、有實(shí)際意義，能解釋原始變量間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。第三節(jié)主成分分析與因子分析實(shí)例一、主成分分析實(shí)例SPSS沒有提供單獨(dú)的主成分分析方法，而是混在因子分析當(dāng)中，下面通過一個(gè)例子來討論主成分分析與因子分析的實(shí)現(xiàn)方法及相關(guān)問題。案例：某市為全面分析機(jī)械類企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益，選擇了8個(gè)不同的利潤指標(biāo)，14家企業(yè)關(guān)于這8個(gè)指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示，試進(jìn)行主成分分析。企業(yè)序號凈資產(chǎn)利潤率（%）Xi1固定資產(chǎn)利潤率（%）Xi2總資產(chǎn)利潤率（%）Xi3銷售收入利潤率（%）Xi4產(chǎn)品成本利潤率（%）Xi5物耗利潤率（%）Xi6人均利潤率（千元/人）（%）Xi7流動資金利潤率（%）Xi812345678910111213144

10、0.425.013.222.334.335.622.048.440.624.812.51.832.338.524.712.73.36.711.812.57.813.419.18.09.70.613.99.17.211.23.95.67.116.49.910.919.89.84.20.79.411.36.111.04.33.77.116.710.29.919.08.94.20.78.39.58.312.94.46.08.022.812.610.929.711.94.60.89.812.28.720.25.57.48.929.317.613.939.616.26.51.113.316.42.4423.5420.5780.1761.7263.0170.8471.7722.4490.7890.8740.0562.1261.32720.09.13.67.327.526.610.617.835.813.73.91.017.111.6第三節(jié)主成分分析與因子分析實(shí)例第三節(jié)主成分分析與因子分析實(shí)例二、因子分析實(shí)例在企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的評價(jià)中，設(shè)計(jì)的指標(biāo)往往很多。為了簡化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，抓住經(jīng)濟(jì)效益評 價(jià)中的主要問題，我們可由原始數(shù)據(jù)矩陣出發(fā)求主成分。我國部分省、直轄市、自治區(qū)獨(dú)立 核算的工業(yè)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益的評價(jià)中，涉及 9 項(xiàng)指標(biāo)，即樣品數(shù) n