數(shù)學奧林匹克高中訓(xùn)練題

1、中 等 數(shù) 學2數(shù)學高中訓(xùn)練題(11)與b 平行 ;過點 P 不能作一個平面同時與 a 、b平行 ;過點 P 不能作一個平面同時與 a 、b垂直 ;過點 P 不能作無窮個平面同時與a 、b相交 .第一試 、選擇題(每小題 6 分, 共 36 分)1 .在 ABC 中, 如果 AB BC 0 , 則ABC 的形狀為( (A)銳角三角形 (C)鈍角三角形).(B)直角三角形 (D)不能確定其中 , 真命題的個數(shù)是().(D)4nk2(A)16 .將(B)2(C)32 .設(shè) M = ,+k +1k為 1 , 2 , , 18 的 18 名乒乓球k =1n1運動員分配在 9臺上進行單打比賽, 規(guī)N =

2、k .2+n +1 k =1n定每一臺上兩選手之和均為大于 4則 M 、N 的大小關(guān)系為().(C)M N(B)M =Np 為().(D)不能確定 , 與 n 的取值有關(guān)3 .復(fù)平面上動點(A)不可能事件(B)概率為 1 的隨機事件 cos +sin , cos sin 17(R)Z1+cos sin 1 +cos sin (C)概率為 1 的隨機事件的軌跡為(A)圓).3(D)必然事件二、填空題(每小題 9 分, 共 54 分).已知 、 為銳角, cos =5 , cos =.則 + = .已知數(shù)列an 的前 4 項為a1 =2 , a2 =3 , a3 =5 , a =8 .請選擇下述方

3、式之一回答 :(1)寫出數(shù)列的一個遞推公式 ; (2)寫出數(shù)列的一個通項公式 .(B)橢圓(D)拋物線(C)雙曲線4 .某學校打算在暑假期間對三幢教學大樓進行維修, 現(xiàn)讓三個建筑公司對每幢大樓 5的修理費用進行承包報價, 見表1表 1:萬元). 10 10.若 f (x)在區(qū)間 t , t 2函數(shù) , 則 t 的取值為 .已知圓心在原點、半徑為 R(R 0)的2t2 上為奇由于在暑假期間每個建筑公司只能維修一幢教學大樓, 因此 , 該校必須把各教學大樓指派給不同的建筑公司.則最便宜的維修總費用為( )萬元.圓與聯(lián)結(jié) M(1 , 1)、N (7 , 0)的線段有公共(A)38(B)46(C)49

4、(D)504點.則 R 的取值范圍為 .5 .已知 a 、b 是異面直線, 點 P 為a 、b 外一點 , 給出下面 4 個命題:過點 P 不能作一個平面與 a 垂直且5 .聯(lián)歡, 平分為準備了 2n 個兩串公開吊掛在墻上 , 每個獲獎?wù)呖梢?也只教學1 樓教學 2 樓教學 3 樓建筑一公司132410建筑二公司171915建筑三公司202221模擬訓(xùn)練2008 年第 6 期321n +n能)從兩串的最下方任選一個.若有 2n 11=2= 12n +n +12, 則共有種n +n +個獲獎?wù)哌x這 2n 個不同的選法.21nk=.N6 .已知 f(x)=x3 在 1 , b 上滿足f(b) f(

5、1)2n +n +1k =13 .A .=f (t)(1 t 135.請比較 BAC 與BPC 的大小.五、(20 分)已知點 P 到定點 M(1 , 1)的13 +19 +21 =53 ,17 +24 +21 =62 ,20 +24 +15 =59 ,13 +22 +15 =50 ,17 +22 +10 =49 ,20 +19 +10 =49 .距離為 d1 , 到定直線 l :x +y2 =0 的距離可見 , 最5 .A .若過點 P價總數(shù)為 49 萬元.為 d2 .當 d2 =d1 , (0 , 1 時, 求點 P 的軌跡方程.第二試 能作一個平面同時與 a 、b 垂直, 則由“ 垂直于

6、同一個平面的兩條直線平行”知與“ a 、b 是異面直線”.故為真命題. 、(50 分)如圖 1 , 在 Rt ABC 中, =90, CH AB , H為垂 足, O1 和O2 分別是 AHC和BHC 的內(nèi)切圓 ,兩圓的另外一條外C其余3 個命題均可借助正方體找出反例.6 .D .由于最大的兩數(shù)之和為 18 +17 =350)與橢圓 3 + 2 =1 有公共點.求半徑 R 的最小值 .三、(50 分)集合 Sn =1 , 2 , , n的子集中, 若不含兩個相鄰的自然數(shù), 則稱為“ 好子集” .問 Sn 中有多少個好子集 ?參 考第一試 、1 .D .由 ABBC 0 , 只能得 ABC 的外

7、角為鈍角 , 不能確定 ABC 的形狀 .2 .B .x +y +z =9 ,x 0 , y 0 , z 0 .16 x +7y =90 ,x 0 , y 0 , z 0 .又由 0 x16 0 ,t t 22t2解得 t = 1 . t 0 ,1010(cos cos +sin sin )2 0 .2t3t) = 20 sin2 10 1 cos(24 . 7 , 7. 2542=2 55 .sin sin =0 ,sin設(shè) MN 的方程為 4x +3y點且與 MN 垂直的直線為 3x7 =0 .則過原4y =0 , 可求, 且當 =, =0 時, 有sin =1 ,28 , 21得原點到

8、MN 的垂足H225 25 ab 取到最大值2 5 .解法 2 :如圖 2 ,= 40 +3 07 = 7 .OH5224 +322在橢圓 x+y 7又 OM = 2 , ON =7 .由 7 2 , 知=1 上54454取點P(5cos ,2sin )、Q(5cos ,2sin ).以橢圓的長軸 OH OM HC .但 HC HB , HB HP, HP=HP HA ,故 HQ HC HBHPHA .由此可知點 A 在O 的外部.22A1 A2 =2 5為直徑作圓 x +y =5 , 與直線PQ 交于點P1 、Q1 .對圓上的點(x , y)(包括 P1 、Q1), 由2x52y2x2y5+

9、4+ 5 =1 ,知 P1 、Q1 均在橢圓的外部, 有 PQ P1 Q1 .圖 4又由直徑是圓中最大的弦知 P1 Q1A1 A2 .故 PQ P1 Q1 A1 A2 =2 5 , 即由圓外角小于同弧圓周角得BAC BPC =BPC .五、設(shè)點 P(x , y).依題意有22 a b = 5(cos cos )4(s n s n )25 . x +y2 22= (x1) +(y1),當 PQ 為 A1 A2 時, a解法 3 :更一般地, 如圖 3 , 設(shè) F1 、F2為橢圓的焦點 .由三角形不等式得b 取最大值25 .2 (x1)+(y1) = 2 (x1)2 +(y1)2 .平方后整理得(

10、1 22 )(x1)2 +2(x1)(y(1 22 )(y1)2 =0 .(1)當 =1 時, 由式有 (x1) (y1) 2 =0 ,點 P 的軌跡方程為直線:y =x .即1)+PQ =1 (PQ +PQ)21 ( PF1 + QF1 )+圖 32( PF2 + QF2 )(2)當 = 2時, 由式 有(x1)(y1) 1 = ( PF1 + PF2 )+( QF1 + QF2 )2=2 (2a +2a)=2a .2=0, 點 P 的軌跡方程為兩條直線:x =1 , y =1 . 1 2 , 1當 P 、Q 、F1 、F2 四點共線時,A1 A2 , 取最大值 2a .說明 :本題是根據(jù)“

11、橢圓的長軸是橢圓的最大弦”編擬的 , 還可有代數(shù)、幾何 、三角的多種解法.四、BAC AH , A 在P、H之間 .于是 , 問題轉(zhuǎn)化為比較BAC 與 BP C 的大小.設(shè)直線 PH 與 O 的另一個公共點為 Q(P、Q 、A 在BC 的同側(cè), P、Q 可以重合為切點).下面證明 :點 A 必在PQ 之外.如圖 4 , 由 PBC = PBC 135, 得PBH 45BPH HP0), 圓周(xa)2 +(yb)2 =r 2 上的有1 .沿環(huán)形跑道設(shè)有 2 008 個理點的個數(shù)情況是( (A)至多一個).站點, 按順時針方向依次標為 c1 , c2 ,(B)至多兩個c2 008 , 它們將跑道

12、分成 2 008 個區(qū)段 .某運動員將 為1 , 2 , , 2 008 的吉祥物按照以下方式依次放置于這些站點上:他先在 c1 上放置第 1 號吉祥物, 然后順時針跑過 29 個區(qū)段, 將第 2 號吉祥物放置于所到達的站點 c30上;再順時針跑過 29 個區(qū)段, 將第 3 號吉祥物放置于所到達的站點 c59 上, 如此進行下去.則站點 c2 008 上所放置的吉祥物的至少兩個, 個數(shù)有限無數(shù)多個5 .半徑為 r 的 O1 內(nèi)含于半徑為 R 的O , 已知存在一個四邊形 ABCD 外切于RO1 且內(nèi) 接于 O .則的最小值是 r().(A)2(B)3(C)6(D)2是().222(A)2 00

13、8 (B)1 896 (C)1 732 (D)1 7316 .四面體 ABCD 中, AB =2 3 , BC = 3 ,AC =AD =BD =CD =3 , M 、N 分別是AB 、CD的中點.一只甲蟲欲從點 M 出發(fā), 沿四面體表面爬行到點 N .為使爬行的路程最短 , 則它2 .設(shè)正整數(shù) n 2 , 用 An 表示分母為 n的全體真分數(shù)所組成的集合.那么, 集合2 007A2 008 Ak 的元素個數(shù)為().k =1必須攀越的棱是().(C)AD(A)2 007 (B)1 008 (C)1 007 (D)1 0003 .矩形 ABCD 為一張臺球桌面, 其長寬比 ABBC =21 .現(xiàn)從 AB 的中點P 按照與 AB 成銳角 的方向朝邊BC 射出一球, 順次(A)AC(B)BC(D)BD二、填空題(每小題 9 分, 共 54 分)1 .從自然數(shù)中刪去所有的完全平方數(shù)與立方數(shù), 剩下的數(shù)自小到大排成一個數(shù)列經(jīng)邊 BC 、CD 、DA 、AB 各反彈一次后桌an .則 a2 008 =.面中心的一球M .則 tan =().n -1集 M添上n 所得的M =Mn, 也一定是1 + 5152=a2a1的好子集.S