2010年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)17 推理與證明

1、PAGE PAGE - 6 -考點(diǎn)17 推理與證明 1.（2010山東高考文科）觀察，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=（ ）（A） (B) (C) (D)【命題立意】本題考查歸納推理的有關(guān)知識(shí)，考查了考生的觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.【思路點(diǎn)撥】觀察所給的結(jié)論，通過(guò)歸納類(lèi)比聯(lián)想，得出結(jié)論.【規(guī)范解答】選D通過(guò)觀察所給的結(jié)論可知，若是偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，故選D2.（2010陜西高考理科）觀察下列等式：,，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為 _.【命題立意】本題考查歸納推理，屬送分題【思路點(diǎn)撥】找出等式兩邊底數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵【規(guī)范解答】由所給等式可得：等式兩邊的冪式

2、指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下：即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)。故第五個(gè)等式為：【答案】 3.（2010福建高考文科）觀察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推測(cè)，m n + p = .【命題立意】本題主要考查利用合情推理的方法對(duì)系數(shù)進(jìn)行猜測(cè)求解【思路點(diǎn)撥】根據(jù)歸納推理可得 【規(guī)范解答】觀察得：式子中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，又， 【答案】9624.（2010浙江高考理科14）設(shè)，將的最小值記為，則其中=_ .【命題

3、立意】本題考查合情推理與演繹推理的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的推理規(guī)則是關(guān)鍵【思路點(diǎn)撥】觀察的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)【規(guī)范解答】觀察表達(dá)式的特點(diǎn)可以看出，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，【答案】5.（2010北京高考文科20）已知集合對(duì)于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）當(dāng)n=5時(shí)，設(shè)，求，；（）證明：，且;() 證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力。本題情景是全新的，對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求。要求教師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點(diǎn)撥】（I）（）直接按定義證明即可；() “至少”問(wèn)題可采用反

4、證法證明【規(guī)范解答】（）（1,0,1,0,1）3()設(shè)因?yàn)?，所以從而由題意知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以()證明：設(shè)記由（）可知所以中1的個(gè)數(shù)為k,中1的個(gè)數(shù)為設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)。則由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)，即三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) 6.（2010北京高考理科20）已知集合對(duì)于，定義A與B的差為 A與B之間的距離為；（）證明：，且;（）證明：三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)() 設(shè)P，P中有m(m2)個(gè)元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）.【命題立意】本題屬于創(chuàng)新題，考查了學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)的能力，考查了反證法、不等式證明等知識(shí)本題情景是全新的，對(duì)學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”提出了較高要求要求教

5、師真正的重視學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)，更加注重學(xué)生“學(xué)習(xí)能力”、“創(chuàng)新能力”的培養(yǎng)【思路點(diǎn)撥】（I）直接按定義證明即可；（）“至少”問(wèn)題可采用反證法證明；()把表示出來(lái)，再利用均值不等式證明【規(guī)范解答】（I）設(shè)， 因?yàn)?，所? 從而 又由題意知，.當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，所以(II)設(shè)， ，. 記，由（I）可知 ， 所以中1的個(gè)數(shù)為，中1的個(gè)數(shù)為 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù)，則 由此可知，三個(gè)數(shù)不可能都是奇數(shù)， 即,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)（III）,其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和，設(shè)中所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1，個(gè)0則由于所以從而【方法技巧】（1）證明“至少有一個(gè)”的時(shí)，一般采用反證法；（2）證明不等式

6、時(shí)要多觀察形式，適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為基本不等式7.（2010江蘇高考23）已知ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)。求證：cosA是有理數(shù)；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)?！久}立意】本題主要考查余弦定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證的能力與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）利用余弦定理表示cosA，由三邊是有理數(shù)，求得結(jié)論；（2）可利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【規(guī)范解答】方法一：（1）設(shè)三邊長(zhǎng)分別為，是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法的具有封閉性，必為有理數(shù)，cosA是有理數(shù)。（2）當(dāng)時(shí)，顯然cosA是有理數(shù)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osA是有理數(shù)， 也是有理數(shù)；假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當(dāng)時(shí)，解得：cosA，均是有理數(shù)，是有理數(shù)，是有理數(shù)。即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立。綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。方法二：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。（2）用數(shù)學(xué)歸納法證