線段最值垂線段最短

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題突破線段最值探索（斜大于直思想）一、相關(guān)知識點：1、點到直線的距離：.通常，我們把直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線 的距離；（2）.經(jīng)過探究我們得到一個事實：直線外一點與直線上各點連 接的所有線段中，垂線段最短.即我們今天所要講的內(nèi)容“斜大于直” 問題?！靶贝笥谥薄?問題在中考線段最值中考察較為廣泛，即點到線的最短距離 問題，常見的有：.單線段的最值；.線段和的最?。?系數(shù)不為1的線段和的最值 （胡不歸問題）.二、例題精選基本模型：點 P到直線MN 的最短距離為線段PA的長（常規(guī)IE型）點P是RtABC斜邊AB上的 點，P】_LRC于工 PFLBC于F, BC 6，

2、AC 8, 則線段EF長的最小值為.值析工利用矩形的對角戰(zhàn)相等將所求線段EF轉(zhuǎn)化為PC,用利用垂線段最近（斜大于直）變式1： “隱點型”-（對稱隱藏定點型）上一動點,如圖，矩形ABCD中，AE-26 BC-10.點M為對角線A匚上一動點，點N為邊AB 連接BM, MN,則8M+MN的最小值為.簡析：同化異；當(dāng)動點個數(shù)超過1個時，我們解題忖習(xí)慣先假設(shè)其中一動點為定點，如將點 忖看作定點，則本題為典組的“飲馬問題即作定點B關(guān)于聞（動點M所在的直組AC） 的對稱點即可.折化直I因點N為動點且在直線AEt運動，則本題轉(zhuǎn)化為定點&到直線的最短加裊司M 即當(dāng)HN_LAB時最短（斜大于吏）.即BM+MN的最

3、小值為線段&N的長，等積法：易求80的氏為W?，則陽為因BBNsAcab則BN=16.即EM+MN的 最小值為16.JTTL如圖，AB=4百，點P是線段AB上一個動點，分別以AP, BP為邊住線段AB上方作等邊AEP和等邊酢，連接EF,則APEF外接圓的半徑最小值為筒析：要求PEF外接圓半徑的最小值，必須找出三角形的外心所在位置.因外心為三邊垂直 平分線的交點，不唯發(fā)現(xiàn)只要作PE和Pk的垂直平分線，交點即為圓心.由ZkAEP和ABFP均為等邊三角形可知；PEs PF的理直平分線即為NEAP和ZTBP的角平分 線.則可知交點0為定點則根握“垂線應(yīng)最短”（斜大于言）可知當(dāng)0PL4B時，0P最小.

4、解直角三角形可得最小值為2.反思：本題的關(guān)鍵在于確定4PEF的外心，利用等邊三角形的特殊性將垂直平分線的交點轉(zhuǎn)化為角平分線的交點，尋找到外心.發(fā)現(xiàn)外心為一定點，則轉(zhuǎn)化為求定點到直線的最短距離問題，即垂線段最短（斜大于直）.變式3: “隱點型”-（運動軌跡隱藏定點型）（2018 -蘇州）如圖，已知AB總1P為線段AB上的一個動點，分別以AP. PB為邊在AB 的同側(cè)作差形APCD和菱形PBEF,點P, C, E在一條直選上 /MP-60g W，N分別是對 角線4U BE的中點，當(dāng)點P在稅段AE3上移動時,點N之間的距離最矩為EF筒析工仔細閩詼款竟不解發(fā)現(xiàn).本題的60”耍形只是個幌子，圖形看起來豆

5、雜，實際可以 迅速轉(zhuǎn)化為更簡潔的圖像，如下圖.解法工矩形轉(zhuǎn)化國口AP他BFP為等邊二市府,M為pn1點，則違蒞AM* /BAM始終等于羽r，在搐 AM延氐交BE于點Q （則Q為定點），期上AQB始玲等于雙T ,則易得四邊形PMQN為矩 形，則求M的最小即求PQ最小，即當(dāng)QP垂直干AB時康?。ㄐ贝笥谥保?，打易得PQ的長 為常B ApB AB反思：看起來是“點到點”實質(zhì)為“點到線”本題關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)ABQ為固定的直角三角形.由矩形對角線相等將MN轉(zhuǎn)化為PQ,則轉(zhuǎn)化為求定點Q到直線的最短距離問題,即垂線段最短（斜大于直）.解法：代數(shù)法因可i正PMN為宜角三角形，則要求MN的最值.即可轉(zhuǎn)化為求PM+PN

6、：的最值.PM和 PN也分別可放入新構(gòu)造直角三角形中表示，如下圖.1/T設(shè) AP，則 BP-8-Xr 則易得 PM-tx , PN-午(&7),則 PMpnJ/1 -1女+48 =(-寸+12備即當(dāng)x=6時有最小值？#.變式4: “隱線型”-(運動隱藏直線軌跡型)在平面真角坐標(biāo)系中，點A坐標(biāo)為1&0),點P從點A出發(fā)沿x釉向終點。運動，以AP為 斜邊在x軸上方作等腰直角AAPB,則在點P的運動的過程中，線段08的最小值為JS簡析】求線段0B的最小值，鼾硼定點B的運動軌跡即可，不春發(fā)現(xiàn)因上的B-45 ,則點B 的軌邊為直線AB,則當(dāng)0BJ_AB時最小(斜大于直)，即當(dāng)點P運動到點0時有最小值為4

7、g.TAC（運動隱臧直線軌跡型）B兩點.動點P從點A出沒.在線段AO L以每杪3卜單位長唾的速度向點0加相交于A,作勻速運動,到達點。停止運動.點A關(guān)于點P的對稱點為點Q,以線段PQ為動向上作正方形PQMN.設(shè)運動時同為t杪.口出 OBPUMN對角線的爻.點為,請直接寫出在運動過程中CH+PI的最小值.本題中/ PAN /定點定角尋找，即找到過某一定點的定角，點的軌跡即為直線筒析：同化異：求OT+TP的最小值.不難發(fā)現(xiàn)就是求。T+IN的最小值一折化直上因NP=AP廁點N的乳跡可理解為將點P繞點Ajft轉(zhuǎn)45口所得，曲點N的機進為過 點人口/NM）=45rl的直線，黑小伍可轉(zhuǎn)化為.點到線即離污題

8、二則ot，TN最近轉(zhuǎn)化為點0 到直統(tǒng)AN的最小值，則OAN為等腰直角二角形，斜邊04一6，址直其二州二WI,即最 小值為（斜大于宜上 秒殺，反思：找到點 T, N的軌跡是本題的首要任務(wù)，直線型軌跡的尋找常用方法都是均為定值，又經(jīng)過定點A,則軌跡不難發(fā)現(xiàn)為是直線（2018 淮安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)F 二-二的圖像與量軸和y軸分變式5: “隱線型”再利用“斜大于直”思想，迅速解答此題變式6: “隱線型”-（運動隱藏直線軌跡型）已知，點AQ, 4）,點E （1,點B為V軸正半軸上一動點，以A為直角頂點構(gòu)造二角形交 w躺于點C.點D為K邊的中點則郎的最小值為簡析：本題的實質(zhì)為有一直角繞

9、點晨旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)軸相交于5匚兩點，求BC的中點口所形 成的軌跡是什么的問題.由點A空標(biāo)確定可構(gòu)造一些二直角發(fā)現(xiàn)/ACH為一固定用，由相似 之“一轉(zhuǎn)成雙”可加定點D的運動軌,設(shè)為直線F二一二即可轉(zhuǎn)比為點釗直線的距離問咫, 根據(jù)“斜大于直F求出DE的最小值為部.變式7: “隱線型”-（運動隱藏直線軌跡型-胡不歸問題型）如圖,四邊形ABCD是英開幻AB=4,且，M為對角線BD （不含8點）上任電點，則AM+；RM的曷小值為用三南：如何將;BM轉(zhuǎn)化為其他線段見？即本題K值為:，必須轉(zhuǎn)化為某一角的同弦值啊，即轉(zhuǎn)化為3（/角的正弦值，折化直；思考到漢二,不難發(fā)現(xiàn),只要昨必4垂直于BG斜大于直）,則即4得（BM員小粕化為AM+MN最小，本題得解.詳解：如圖，作人閃_1于阮垂足為NJ；四邊形ABCD是菱形且/ABC=&r ,WXfI11.ZUBC-30* . Ep sinZDBC, BM=MNt ，AM+ BM=AM+MN,即 AM+ BMRM222的最小值為 MJ一在 RTAABN 中.AN=AB sinZABC= gx = 33JAM+： 0M的最小值為3/.BN CB N總結(jié)：由上述題組可以發(fā)現(xiàn)“斜大于直”問題考察題型較為廣泛，可以是單一線 段最值，也可是多條線段最值，還能是含系數(shù)的線段和的最值問題，不管 是其中那種類型，都可以利用轉(zhuǎn)化思想對問題進行巧妙處理。單線段的最值常見于直接型的點