高中數(shù)學(xué)-排列組合與二項(xiàng)式定理-知識(shí)點(diǎn)和練習(xí)

1、排列組合及二項(xiàng)式定理【基本知識(shí)點(diǎn)】分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理的概念2排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列3排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)Anm表示4排列數(shù)公式：Anmn(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）階乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘規(guī)定0!16排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：Anm=n!(nm)!組合概念：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合8組合

2、數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出mmn個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)mCn表示9.組合數(shù)公式：CnmAnmn(n1)(n2)(nm1)或Cmnn!(n,mN,且mn)Ammm!m!(nm)!10.組合數(shù)的性質(zhì)1：CnmCnnm規(guī)定：Cn01；11.組合數(shù)的性質(zhì)2：Cnm1Cnm+Cnm101nnCn+Cn+,+Cn=212.二項(xiàng)式展開(kāi)公式：(a+b)n0n1n-1b+,kn-kknn=Cna+Cna+Cnab+,+Cnb13二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：(ab)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn0，Cn1，Cn2，,，CnnCnr可以看成以r為自變量的函數(shù)f(r)，定義域是0

3、,1,2,n，（1）對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（CnmCnnm）nn1n1（2）增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)Cn2取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)Cn2，Cn2取得最大值（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：(1x)n1Cn1xCnrxrxn，令x1，則2nCn0Cn1Cn2CnrCnn【常見(jiàn)考點(diǎn)】1一、可重復(fù)的排列求冪法：重復(fù)排列問(wèn)題要區(qū)分兩類元素：一類可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過(guò)“住店法”可順利解題，在這類問(wèn)題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是在正確判斷哪個(gè)底數(shù)，哪個(gè)是指數(shù)1）有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，每人限報(bào)

4、一科，有多少種不同的報(bào)名方法？2）有4名學(xué)生參加爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？3）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則有多少種不同投法？【解析】：（1）34（2）43（3）43二相鄰問(wèn)題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.高考資源?網(wǎng)（4）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有【解析】：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4424種（5）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）A.360B.

5、188C.216D.96【解析】：間接法6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有，C32A22A42A22=432種高考資源?網(wǎng)其中男生甲站兩端的有A12C32A22A32A22=144，符合條件的排法故共有288三相離問(wèn)題插空法：元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端.（6）七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是【解析】：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為A55種，再用甲乙去插6個(gè)空位有A62種，不同的排法種數(shù)是A5A23600種56（7）書(shū)架上某層有6本書(shū)，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6

6、本書(shū)的順序，有種不同的插法（具體數(shù)字作答）【解析】：A17A18A19=5048）馬路上有編號(hào)為1，2，3,，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？【解析】：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈C53種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.四元素分析法（位置分析法）：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元素；再排其它的元素。9）2010年XX亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小X、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小X和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，

7、其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有（）高考資源?網(wǎng)A.36種B.12種C.18種D.48種【解析】：方法一：從后兩項(xiàng)工作出發(fā)，采取位置分析法。A32A3336方法二：分兩類：若小X或小趙入選，則有選法C21C21A3324；若小X、小趙都入選，則有2選法A22A3212，共有選法36種，選A.（10）1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【解析】：老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有A31種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有A44種方法；所以共有A31A4472種。.五多排問(wèn)題單排法：把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。高考資源?網(wǎng)（11）

8、6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種（12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為（A）A5A5（B）A5A5A5A3（C）A15（D）A5A5A5A3151015105315151053（13）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？【解析】：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共A66720種，選C.高考資源?網(wǎng)（2）答案：C（3）看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有A42種，某1個(gè)元素排在

9、后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有A1種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有A5種，故共有A1A2A55760種排法.45445六定序問(wèn)題縮倍法（等幾率法）：在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A,B可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（）（14）高考資源?網(wǎng)【解析】：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即1A55602種（15）書(shū)架上某層有6本書(shū)，新買3本插進(jìn)去，要保持原有6本書(shū)的順序，有多少種不同的插法？高考資源?網(wǎng)3法二：19【解析】：法一：A96A9A6七標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題（不

10、配對(duì)問(wèn)題）把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.（16）將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種高考資源?網(wǎng)【解析】：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有331=9種填法，選B.（17）編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法是（）A10種B2

11、0種C30種D60種答案：B八不同元素的分配問(wèn)題（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法3（18）有6本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？高考資源?網(wǎng)（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；3）分成每組都是2本的三個(gè)組；4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本；（5）分給5人每人至少1本。1231233C62C42C22222C52C15C14C13C12C11A5【解析】：（1）C6C5C3（2）C6C5C3A3（3）（4）C6C4C2（5）A445A33（19）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒

12、的放法有多少種？【解析】：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有C42種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有A43種，故共有C42A43144種.九相同元素的分配問(wèn)題隔板法：（20）把20個(gè)相同的球全放入編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于其編號(hào)數(shù)，則有多少種不同的放法？【解析】：向1，2，3號(hào)三個(gè)盒子中分別放入0，1，2個(gè)球后還余下17個(gè)球，然后再把這17個(gè)球分成3份，每份至少一球，運(yùn)用隔板法，共有C162120種。高考資源?網(wǎng)（21）10個(gè)三好學(xué)生名額分到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？【解析】：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成1

13、0個(gè)相同的小球分成7堆，每堆至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C9684種.高考十排數(shù)問(wèn)題（注意數(shù)字“0”）高考資源?網(wǎng)（22）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種【解析】：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有A55個(gè)，A41A31A33,A31A31A33,A21A31A33,A31A33個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選B.十一染色問(wèn)題：涂色問(wèn)題的常用方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論;2）根據(jù)相對(duì)

14、區(qū)域是否同色分類討論;高考資源?網(wǎng)3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問(wèn)題。（23）將一個(gè)四棱錐SABCD的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是_.【解析一】滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。(1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時(shí)只能A與C、B與D分別同色，故有C1A260種方法。54(2)若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有A42種染法；再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一

15、種染D或C，而D與C，而D與C中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有C51A42C21C21240種方法。4(3)若恰用五種顏色染色，有A55120種染色法高考資源?網(wǎng)綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種?！敬鸢浮?20.十二幾何中的排列組合問(wèn)題:（24）已知直線xy12y2100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，ab（a，b是非零常數(shù)）與圓x那么這樣的直線共有條【解析】：圓上的整點(diǎn)有：(6,8),(8,6),(10,0),(010)12個(gè)C122=66其中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的有4條不滿則條件切線有C121=12，其中平行于坐標(biāo)軸的有14條不滿則條件66-4+1

16、2-14=60答案:60【練習(xí)】1、4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有（A）12種（B）24種（C）30種（D）36種【解析】分兩類：取出的1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有C414種；取出的2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有C426種?？偟馁?zèng)送方法有10種。【答案】B2、正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有（）A20B15C12D10【解析】先從5個(gè)側(cè)面中任意選一個(gè)側(cè)面有C51種選法，再?gòu)倪@個(gè)側(cè)面的4個(gè)頂點(diǎn)中任意選一個(gè)頂點(diǎn)有C41種選法，由于不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂

17、點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，所以除去這個(gè)側(cè)面上、相鄰側(cè)面和同一底面上的共8個(gè)點(diǎn)，還剩下2個(gè)點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)和剩下的兩個(gè)點(diǎn)連線有C21種方法，但是在這樣處理的過(guò)程中剛好每一條對(duì)角線重復(fù)了一次，所以最后還要乘以1,所以這個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有C51C41C21120,所以選擇22A.3、(4x2x)6(xR)的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（A）20（B）15（C）15（D）20【答案】C【解析】：Tr1(1)rC6r(4x)6r(2x)r(1)rC6r2x(123r)令x(123r)0r4，于是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是(1)4C6415故選C4、已知(xcos1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)與(x5)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)

18、相等，則cos45【答案】2解：(x5)4的通項(xiàng)為C4rx4r(5)r，4r3,r1，244(x5)4的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是C4155,44(xcos1)5的通項(xiàng)為C5R(xcos)5R，5R2,R3，(xcos1)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是C53cos25,cos212.，cos225、已知(1kx2)6（k是正整數(shù)）的展開(kāi)式中，x8的系數(shù)小于120，則k【解析】(1kx2)6按二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)為Tr1C6r(kx2)rC6rkrx2r，我們知道x8的系數(shù)為C64k415k4，即15k4120，也即k48，而k是正整數(shù)，故k只能取1。6、若C1n3Cn232C3n3n2Cnn13n185，

19、則n的值為答案47、已知(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，則a12a23a34a4=-88、對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，則a的值是（B）2A3B6C9D219、設(shè)a1,a2,an是1,2,n的一個(gè)排列，把排在ai的左邊且比ai小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱為ai的順序數(shù)（i1,2,n）如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0則在1至8這八個(gè)數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時(shí)滿足8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為(C)A48B96C144D19210、若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“

20、傘數(shù)”現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有A.120個(gè)B.80個(gè)C.40個(gè)D.20個(gè)【答案】C11、現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有A24種B30種C36種D48種【答案】D12、如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂6點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（）A24B30C36D42【答案】C13.從8名女生4名男生中，選出3名學(xué)生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為;【答案】11214、現(xiàn)有8