高等數(shù)學(3年專科)第一節(jié)函數(shù)課件

1、第一節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的概念三、分段函數(shù)四、反函數(shù)五、初等函數(shù)六、函數(shù)的基本性態(tài)七、建立函數(shù)關系舉例二、函數(shù)的表示法第一章函數(shù)極限連續(xù)八、備用知識一、函數(shù)的概念定義設 D 為一個非空實數(shù)集合，若存在確定的對應規(guī)則 f ，使得對于數(shù)集 D 中的任意一個數(shù) x , 按照 f 都有唯一確定的實數(shù) y 與之對應，則稱 f 是定義在集合 D 上的函數(shù) .D : f 的定義域x : 自變量y : 因變量如果對于自變量 x 的某個確定的值 x0，因變量 y 能夠得到一個確定的值，那么就稱函數(shù) f 在 x0 處有定義，其因變量的值或函數(shù) f 的函數(shù)值記為實數(shù)集合 稱為函數(shù) f 的值域 . (其中 為大于 0 的常

2、數(shù))的一切 x，稱為點 x0 的d 鄰域，記作 U( x0 , d ).滿足不等式對于不等式 0 | x - x0 | d 稱為點 x0 的 d 的空心鄰域，記作 U ( , d ) . 如圖 (b) 所示.它的幾何意義是：以 x0 為中心，d 為半徑的開區(qū)間 (x0 - d , x0 + d) ，即 x0 - d x x0 + d ，如圖 (a)所示 .(a)Ox0 -dx0 + dx0 x(b)Oxx0 - dx0 +dx0確定函數(shù)顯然，其定義域是滿足不等式的 x 值的集合, 解此不等式 , 則得其定義域為:也可以用集合形式表示為解例 1的定義域 .解該函數(shù)的定義域應為滿足不等式組解此不等

3、式組，得其定義域也可以用集合形式表示為的 x 值的全體，確定函數(shù)例 2解例 3 設函數(shù) f (x) = x3 - 2x + 3，求二、函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有三種：公式法、表格法和圖示法.1. 以數(shù)學式子表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的公式表示法，公式法的優(yōu)點是便于理論推導和計算.2. 以表格形式表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的表格表示法，它是將自變量的值與對應的函數(shù)值列為表格，表格法的優(yōu)點是所求的函數(shù)值容易查得.3. 以圖形表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的圖示法，圖示法的優(yōu)點是直觀形象，且可看到函數(shù)的變化趨勢.三、分段函數(shù)例 4 旅客乘坐火車可免費攜帶不超 20 kg 的物品，超過 20 kg 而不超過 50

4、 kg 的部分每 kg 交費 a 元，超過 50 kg 部分每 kg 交費 b 元 . 求運費與攜帶物品重量的函數(shù)關系 .有些函數(shù)雖然也是以數(shù)學式子表示，但是它們在定義域的不同范圍具有不同的表達式.這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).情況二：重量大于 20 kg，但不超過 50 kg，這時情況三：重量超過 50 kg，這時情況一：重量不超過 20 kg，這時解設物品重量為 x kg，應交運費為 y 元. 由題意可知這時應考慮三種情況：因此，所求的函數(shù)是一個分段函數(shù)例 5 設解注意yxO圖1-3例 6 函數(shù)例 7 語句“變量 y 是不超過 x 的最大整數(shù)部分”表示了一個分段函數(shù)，常稱為“取整函數(shù)”，-3 -

5、2 -1 1 2 3yxO圖1-4四、反函數(shù)設 y = f (x)為定義在 D 上的函數(shù)，其值域為 A .若對于數(shù)集 A 中的每個數(shù) y , 數(shù)集 D 中都有唯一的一個數(shù) x 使 f (x) = y， 這就是說變量 x 是變量 y 的函數(shù) . 這個函數(shù)稱為函數(shù) y = f (x) 的反函數(shù), 其定義域為 A . 值域為 D . 函數(shù) y = f (x) 與 x = f -1 (y) 二者的圖形是相同的.記為 x = f -1 (y). 交換 x、y 的位置, 即得所求的反函數(shù) 解例 8注意例如1.基本初等函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù) y = arc sinx, y = arc cos x, y =

6、arc tan x, y = arc cot x ；五、初等函數(shù)等五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù) .y = sinx, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = sec x, y = csc x ；冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)2.復合函數(shù)若函數(shù) y = F(u),定義域為 U1 , 函數(shù) u = j (x) 的值域為 U2,則 y 通過變量 u 成為 x 的函數(shù),這個函數(shù)稱為由函數(shù) y = F(u) 和函數(shù) u = j (x) 構成的復合函數(shù), 其中變量 u 稱為中間變量.記為例 9即為所求的復合函數(shù)其定義域為 (, ) .解得所求的復合函數(shù)例 10其定義域為 1,1 .

7、解解 1例 11求 f j (x) 時,應將 f (x) 中的 x 視為j (x), 因此因此例 12解 方法一 令 u = x 1, 得 f (u) = (u 1)2,再將u = 2x 1 代入,即得復合函數(shù)方法二 因為 f (x 1) = x2 = (x 1) + 12, 于是問題轉化為 求 y = f (x) = (x 1)2 與 j (x) = 2x 1 的復合函數(shù) f j (x) , 因此例 13是由哪些函數(shù)復合而成的.解3.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)及常數(shù) 經過有限次四則運算和有限次復合構成, 并且可以用一個數(shù)學式子表示的函數(shù),叫做初等函數(shù).例如 等等,都是初等函數(shù) .六、函數(shù)的基本性

8、態(tài)設函數(shù) y = f (x) 的定義域關于原點對稱，如果對于定義域中的任何 x，都有 f (x) = f (- x) ，則稱 y = f (x) 為偶函數(shù)；如果有 f (- x) = - f (x) ，則稱 f (x) 為奇函數(shù). 不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù).1.奇偶性例 14證例 15證2.周期性設函數(shù) y = f (x) 的定義域為 (- , + ) ，若存在正數(shù) T，使得對于一切實數(shù) x，都有：則稱 y = f (x) 為周期函數(shù).f (x + T) = f (x). 規(guī)定：若其中存在一個最小正數(shù) T 滿足上式，則規(guī)定 T 為周期函數(shù) f (x)的最小正周期，簡稱周期

9、.例如 y=sinx, y=tanx的周期分別為函數(shù) 2，. 例 16證設 x1 和 x2 為區(qū)間 (a, b) 內的任意兩個數(shù)，若當 x1 x2 時,函數(shù) y = f (x) 滿足則稱該函數(shù)在區(qū)間 (a, b) 內單調增加，或稱遞增；若當 x1 0 為常數(shù)）化為極坐標方程.例19 解 將公式（1）代入方程 x2 + y2 = R2 ，得 = R . 取正號，所以圓心在極點、半徑為 R的圓的極坐標方程為 = R .OyxA 試將直角坐標系圓的方程 x2 + y2 = 2Rx (R 0 為常數(shù)）化為極坐標方程.例20 解 將公式（1）代入方程，化簡后得該圓的極坐標 方程OyxA2RRa）當極坐標

10、中的換為-時，該極坐標方程不變或不變，則該方程所表示的圖形關于極軸對稱；（3） 極坐標方程的圖形 作極坐標方程的圖形通常要做兩方面的工作：（1）對稱性的判定； b）當極坐標中的換為-時，該極坐標方程不變或不變，則該方程所表示的圖形關于半射線 對稱；OA（2）畫出圖形上一系列的點，并把這些點連成光滑曲線，從而得出其圖形. 解 對稱性：當換為-時， 試作極坐標方程 的圖形，其中a為大于零的常數(shù)，該圖形稱為心形線.例21 即不變，所以圖形對稱于極軸.列表 2a 1.87a 1.5a a 0.5a 0ppppp322360OA 對稱性：當換為-時，方程也不變，解 試作極坐標方程 （稱為三葉玫瑰線）的圖

11、形，其中a為大于零的常數(shù). 例22 列表 r 0 0.7a a 0.7a 0 -0.7a -a -0.7a 0其圖形關于半射線 對稱.所以圖形關于的周期是AO解 對稱性：當換為-時，方程不變； 當換為-時，方程也不變； 試作雙紐線 的圖形，其中a為大于零的常數(shù). 例23 列表 r a 0.7a 0pp480所以圖形關于極軸對稱，也關于半射線 對稱.當在 之間時，方程右邊不為正，所以此間無圖形.AO2. 幾種常見的參數(shù)方程（1）圓的參數(shù)方程 圓心在原點半徑為R的圓的參數(shù)方程為或Oyxtr 圓心在點（a, b）,半徑為R的圓的參數(shù)方程為Oyxr(2) 橢圓的參數(shù)方程或 橢圓 的參數(shù)方程Oyx tr 當橢圓中心在點(x0, y0),且長短軸分別平行與坐標軸時，其參數(shù)方程Oyxr(3) 旋輪線（又稱擺線）的參數(shù)方程則 旋輪線的形成及其方程：半徑為R的圓，其圓心在正y軸上且相切于原點.當該圓沿x軸滾動（無滑動）時，OyxRBCMAt 設點 為軌跡上