新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)08 正、余弦定理（教師版含解析）

1、30/30考點(diǎn)08 正、余弦定理知識(shí)理解一正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC變形a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)；abcsin Asin Bsin C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Aeq

2、 f(b2c2a2,2bc)；cos Beq f(c2a2b2,2ac)；cos Ceq f(a2b2c2,2ab)使用條件1.兩角一邊求角2.兩邊對應(yīng)角1.三邊求角2.兩邊一角求邊二.三角形常用面積公式(1)Seq f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)Seq f(1,2)absin Ceq f(1,2)acsin Beq f(1,2)bcsin A；(3)Seq f(1,2)r(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)考向分析考向一 正余弦的選擇【例1】(1)(2020陜西省商丹高新學(xué)校)已知在中，則_(2)(2020全國高三專題練習(xí))ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C

3、=60，b=，c=3，則A=_.【答案】(1)(2)【解析】(1)由于，所以由正弦定理可得：，即：，解得：，由于在中，根據(jù)大邊對大角可知：，則,由，解得：，故答案為(2)由正弦定理，得，結(jié)合可得，則.【舉一反三】1(2020吉林高三其他模擬)在中，角，所對的邊分別為，已知，則_【答案】5【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理，可得，解得故答案為?2(2020海南華僑中學(xué)高三月考)在中，已知，則角的度數(shù)為_【答案】30【解析】由正弦定理，得，又因?yàn)椋使蚀鸢笧椋?03(2020肥東縣綜合高中高三月考(文)在中，角，所對的邊分別為，若，則_【答案】【解析】由正弦定理知，所以，解得，則或，又因?yàn)?，所以為銳角

4、，即，所以，故答案為: .4(2020上海市羅店中學(xué))在中，已知，則=_【答案】或.【解析】在中，因?yàn)?，由正弦定理得，即所以，所以或?dāng)時(shí)，得到，所以，故；當(dāng)時(shí)，得到，所以.故答案為：或.5(2020湖北高三月考)在中，則_.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，解?故答案為：考向二 邊角互換【例2】(1)(2020上海高三其他模擬)在銳角中，角所對應(yīng)的邊分別為，若，則角等于_.(2)(2020上海格致中學(xué)高三月考)在三角形中，角的對邊分別為，若，則角_【答案】(1)(2)【解析】(1)利用正弦定理化簡，得，因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角，所以(2)由得：，即，是三角形的內(nèi)角，故答案為：.【舉一反三】1(

5、2020全國高三專題練習(xí))在銳角中，角所對的邊分別為，若，則角_【答案】【解析】， 根據(jù)正弦定理邊角互化得：，又， ， ，為銳角三角形， 故答案為：2(2020全國高三專題練習(xí))在中，角所對應(yīng)的邊分別為已知，則_ 【答案】【解析】將，利用正弦定理可得：，即，利用正弦定理可得：，則 故答案為3(2020廣東中山紀(jì)念中學(xué)高三月考)的內(nèi)角的對邊分別為若，則B=_.【答案】【解析】已知， 由正弦定理可得，由，化簡可得，故故答案為：4(2020西安市第六十六中學(xué)高三期末(文)在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，且，則角_.【答案】【解析】由正弦定理及可得：,在中，,即，又B為三角形內(nèi)角，=故答案為:.5(202

6、0拉孜縣中學(xué)高三月考)在中，角的對邊分別為，且.則_【答案】【解析】由正弦定理可知， 化簡得，又由，得出，故答案為：.考向三 三角形的面積公式【例3】(1)(2020天津耀華中學(xué)高三期中)在中.則的面積等于_(2)(2020北京鐵路二中高三期中)若的面積為，則_【答案】(1)(2)【解析】(1)由余弦定理得，即，解得(舍去)，所以故答案為：(2)因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)?，所以，故答案為：【舉一反三】1(2020陜西高三三模)已知，分別為內(nèi)角，的對邊，則的面積為_.【答案】【解析】由于，由余弦定理得，解得，的面積.故答案為：.2(2020江西省信豐中學(xué)高三月考(文)在中，若的面積等于

7、，則邊長為_【答案】【解析】因?yàn)?，故，所?又，所以，故，從而，填3(2020黑龍江鶴崗一中高三月考(文)的內(nèi)角，的對邊分別為，已知，則的面積為_【答案】【解析】由已知條件及正弦定理可得，易知，所以，又，所以，所以，所以，即，所以的面積故答案為：.4(2020河南焦作高三一模)在中，角，的對邊分別為，已知的面積為，則的值為_.【答案】4【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)橐阎拿娣e為，所以，整理得，由余弦定理得，所以.故答案為：考向四 正余弦綜合運(yùn)用【例4】(2020江蘇宿遷中學(xué)高三期中)在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題的三角形存在，求b的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否

8、存在，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為S，且，_？【答案】選擇見解析；三角形存在，或4.【解析】方案一：選條件.在中，由余弦定理得，故.由和可得，從而.由此可得，解得或4.因此，選條件時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)或4.方案二：選條件.在中，由余弦定理得，故.由可得，解得或4.因此，選條件時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)或4.方案三：選條件.在中，由余弦定理得，故.由正弦定理和，得，從而，由此可得，解得或4.因此，選條件時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)或4.【舉一反三】1(2020江蘇高三期中)在，sinB+cosB=這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解決該問題.已知ABC的內(nèi)角A，

9、B，C的對邊分別為a，b，c，_，A=，b=.(1)求角B；(2)求ABC的面積.【答案】條件選擇見解析；(1)；(2).【解析】(1)若選，則由余弦定理得，因?yàn)椋匀暨x，由正弦定理得，又，所以，所以又，若選，由得，所以，又，所以，所以，(2)由正弦定理得，又，所以，所以所以2(2020江蘇高三期中)在a6；a8；a12這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求sinB的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，且a2b2c2=4，c=，_？【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】由題意可知在ABC中，因

10、為a2b2c2=4，且，所以，由余弦定理可知，因?yàn)?，且，所以，若選a6，由正弦定理可得，解得，在ABC中，因?yàn)閏a，所以CA，又因?yàn)?，則A只有一解，且，所以，所以；若選a8，由正弦定理可得，解得，在ABC中，因?yàn)閏a，所以CA，又因?yàn)?，則A有兩解，所以，所以；若選a12，由正弦定理可得，解得，則ABC無解，即三角形不存在.強(qiáng)化練習(xí)1(2019江西省信豐中學(xué)高三月考)在中，三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別是若，則_【答案】【解析】三個(gè)內(nèi)角所對的邊分別是，若根據(jù)正弦定理得，即故答案為2(2020海南華僑中學(xué)高三月考)中，已知，則為_【答案】【解析】在中，由正弦定理得，所以，又，因此，所以答案：3(2020山東

11、高三月考)在中，則_.【答案】【解析】由題意得，即，則，得.4(2020肇東市第四中學(xué)校高三期中)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b2，A，則ABC的面積為_【答案】【解析】由正弦定理得sin B，ba，BA，cos B，sin Csin(AB)，ABC的面積為absin C.故答案為：5(2020云南高三期末(理)在中，角、所對的邊分別是、.若，則_.【答案】【解析】因?yàn)樵谥校?，因此，又，所以由正弦定理可得，則.故答案為：.6(2020寧夏銀川一中高三月考(文)在中，角、所對的邊分別為、.若，時(shí)，則的面積為_.【答案】【解析】，且，解得，又，所以，故故答案為：7

12、(2020四川石室中學(xué)高三其他模擬)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的面積為_.【答案】【解析】由題可知，在中，由正弦定理可得，.故答案：.8(2020山東高三期中)若的面積，則_.【答案】【解析】依題意，即，即，所以，由于，所以.故答案為：9(2020全國高三專題練習(xí))在中，角，的對邊分別為，若，且，則的面積為_.【答案】2【解析】由余弦定理得，即，解得，故.故答案為：210(2020上海高三二模)在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則_【答案】.【解析】，而,故答案為：11(2019廣西高三月考)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則的值為_.【答案】【解析】由根據(jù)余弦定理，

13、可得.故答案為.12(2020廣東廣州高三月考)在條件，中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問題中，并給出問題解答.在中，角，的對邊分別為，_，求的面積.【答案】選，；選，；選，【解析】選擇，即，化簡得：，又，即，由余弦定理得:，解得:，的面積為；選擇，由正弦定理可得，又，由，即，即，由余弦定理得，解得：，的面積為；選擇由及，得：，即，由正弦定理得：，即，由，得：，的面積為.13(2020昆明呈貢新區(qū)中學(xué)(云南大學(xué)附屬中學(xué)呈貢校區(qū))高三月考(理)已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求b的值；(2)若滿足，c3，求的面積.【答案】(1)；(2)或.【解析】(1)由余弦定理可得，又，所以可得.

14、由于，所以.(2)已知，由正弦定理可得，由正弦二倍角公式可得，所以或者，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上：的面積為或.14(2020廣西北海高三一)已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，.又，.(2)據(jù)(1)求解知，.又，.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).15(2020安徽高三月考)如圖，平面四邊形ABCD是由鈍角ABC與銳角ACD拼接而成，且，BAD=.(1)求CAD的大小；(2)若AC=4，CD=，求ACD的面積.【答案】(1)；(2)6.【解析】(1)在ABC中，ACcosBAC=BCsinABC，由正弦

15、定理得，sinABCcosBAC=sinBACsinABC，sinABC0，tanBAC=1，又BAC(0，)，BAC=BAD=，CAD=(2)在ACD中，AC=4，CD=，CAD=由余弦定理得，CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD，即10=16+AD2-24AD，解得AD=或AD=3當(dāng)AD=時(shí)，cosADC=，此時(shí)ACD為鈍角三角形，不滿足題意，舍去.當(dāng)AD=3時(shí)，ACD的面積S=ACADsinCAD=616(2020江蘇常州高三期中)在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在，它的內(nèi)角，的對邊分別為，

16、且，_.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案不唯一，見解析.【解析】若選，bc4，由于csinA2sinC，利用正弦定理可得ac2c，可得a2，因?yàn)閎cosC1，可得cosC，整理可得2aa2+b2c2，解得bc2，所以C若選，acosB1，因?yàn)閏sinA2sinC，由正弦定理可得ca2c，解得a2，所以cosB，由B(0，)，可得B，又bcosC1，可得acosBbcosC，由余弦定理可得ab，整理可得bc，所以CB若選，sinA2sinB，由正弦定理可得a2b，又csinA2sinC，由正弦定理可得ca2c，可得a2，所以b1，又因?yàn)閎cosC1，可得cosC1，又

17、C(0，)，所以這樣的C不存在，即問題中的三角形不存在17(2020河北張家口高三月考)在中，內(nèi)角、所對的邊分別為、，且(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值【答案】(1)；(2).【解析】(1)由正弦定理得(*)由余弦定理：，且(2)當(dāng)時(shí)，由(*)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以18(2020福建莆田一中高三期中)在中，為線段邊上一點(diǎn)，(1)若，求；(2)若，求【答案】(1)；(2).【解析】(1)考察，記，由余弦定理得：，即化簡得：，或6，由，為鈍角，(2)記，則，由可得，考察，由正弦定理可得：即，化簡得：，即19(2020河南高三一模(理)在中，內(nèi)角，所對的邊分別為，且，.(1)求；(2)

18、求的值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)，由正、余弦定理得，.(2)由余弦定理得，故.20(2020西藏昌都市第一高級(jí)中學(xué)高三期中(理)已知內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若的面積為，且，求的周長.【答案】(1) ；(2).【解析】(1)在中，由余弦定理可得：，即，即，所以，因?yàn)?，所?，(2)，解得，由余弦定理得：，即，所以，所以的周長為.21(2020江蘇南通高三期中)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos Aac.(1)求cos B；(2)如圖，D為外一點(diǎn)，若在平面四邊形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，BC，求AB的長【答案】(1)；(2).【解析

19、】(1)在中，由正弦定理得sin Bcos Asin Asin C，又C(AB)，所以sin Bcos Asin Asin (AB)，故sinBcos Asin Asin Acos Bcos Asin B，所以sin Acos Bsin A，又A(0，)，所以sin A0，故cos B.(2)因?yàn)镈2B，所以cos D2cos2B1，又在中，AD1，CD3，所以由余弦定理可得AC2AD2CD22ADCDcos D 192312，所以AC，在中，BC，AC，cos B，所以由余弦定理可得AC2AB2BC22ABBCcos B，即12AB262AB，化簡得AB2AB60，解得AB.故AB的長為.22(2020全國高三專題練習(xí))在；的面積為；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.問題，是否存在，其內(nèi)角，的對邊分別為，且，_？若三角形存在，求的周長；若三角形不存在，請說明理由.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】答案見解析【解析】選：因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，即，即，整理?因?yàn)椋?又，所以.又因?yàn)?，所以，?由得:，所以.由正弦定