解析幾何第二章軌跡與方程課件

1、1 平面曲線的方程解析幾何 Chapter 2一、曲線的方程二、曲線的參數(shù)方程三、常見曲線的參數(shù)方程Contents一、曲線的方程定義1 當(dāng)平面上取定了坐標(biāo)系之后，如果一個(gè)方程與一條曲線之間有著關(guān)系： 滿足方程的 必是曲線上某一點(diǎn)的坐標(biāo)； 曲線上任何一點(diǎn)的坐標(biāo) 滿足這個(gè)方程， 那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做這個(gè)方程的圖形。概括而言，曲線上的點(diǎn)與方程之間有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 例1 求圓心在原點(diǎn)，半徑為R 的圓的方程 例2 已知兩點(diǎn) 和 ，求滿足條件 的動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡方程二、曲線參數(shù)的方程定義2 若取 的一切可能取值由 表示的向徑 的終點(diǎn)總在一條曲線上在這條曲線上的任意點(diǎn)，總對(duì)應(yīng)著以

2、它為終點(diǎn)的向徑，而這向徑可由 的某一值 通過 完全決定 那么就把 叫做曲線的向量式參數(shù)方程，其中 為參數(shù)。 其坐標(biāo)式參數(shù)方程為例3 一個(gè)圓在一直線上無滑動(dòng)地滾動(dòng)，求圓周上一定點(diǎn)的軌跡該定點(diǎn)的軌跡為旋輪線或擺線（cycloid）三、常見曲線的參數(shù)方程(1) 一個(gè)半徑為r 的小圓在半徑為R 的大圓內(nèi)無滑動(dòng)地滾動(dòng)，小圓周上一 定點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為內(nèi)擺線(hypocycloid）例4 已知大圓半徑為a ，小圓半徑為b，設(shè)大圓不動(dòng)，而小圓在大圓內(nèi)無滑動(dòng)地滾動(dòng)，求動(dòng)圓周上某一定點(diǎn)P 的軌跡方程（a4b）四尖點(diǎn)星形線（astroid）圓的內(nèi)擺線（2）一個(gè)半徑為r的小圓在半徑為R的大圓外無滑動(dòng)地滾動(dòng)，小圓周

3、上一個(gè)定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為外擺線（epicycloid）其參數(shù)方程為特別當(dāng)Rr時(shí)可以得到心臟線（cardioid）其參數(shù)方程為（3）把線繞在一個(gè)固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來，使放出來的部分成為圓的切線，則線頭的軌跡所形成的曲線叫做圓的漸伸線或切展線（involute）其坐標(biāo)式參數(shù)方程為（4）橢圓的參數(shù)方程設(shè)橢圓的方程為第一種參數(shù)方程以角度 為參數(shù)：第二種參數(shù)方程以斜率 為參數(shù)：作業(yè) P77 2 , 32 曲面的方程解析幾何 Chapter 2Contents一、曲面的方程二、曲面的參數(shù)方程三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系一、曲面的方程例1 求聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)A(1,2,3)和B

4、(2,-1,4)的線段的垂直平分面的方程.例2 求兩坐標(biāo)面xOz 和yOz 所成二面角的平分面方程.例3 求坐標(biāo)平面yOz 的方程.例4 一平面平行于坐標(biāo)平面xOz，且在y 軸的正向一側(cè)與平面xOz 相隔距離為k ，求它的方程.例5 設(shè)球面的中心是點(diǎn)C（a,b,c），而且半徑等于r ，求它的方程.一、曲面的方程求曲線方程一般需要下面的5個(gè)步驟：1）選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系（如題中已給定，這一步可?。?；2）在曲線上任取一點(diǎn)，也就是軌跡上的流動(dòng)點(diǎn)；3）根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件寫出等式；4）用點(diǎn)的坐標(biāo)x,y,z的關(guān)系來表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)得方程；5）證明所得的方程就是曲線的方程，也就是證明它符合定義.

5、一、曲面的方程二、曲面的參數(shù)方程二、曲面的參數(shù)方程例6 求球心在原點(diǎn)，半徑為r 的球面的參數(shù)方程.例7 求以z 軸為對(duì)稱軸，半徑為R 的圓柱面的參數(shù)方程.結(jié)論 求空間曲面或曲線的參數(shù)方程時(shí)，經(jīng)常是作向徑 的坐標(biāo)折線，將分解 為平行于坐標(biāo)軸的三個(gè)向量之和，這樣便于找出 x,y,z 與參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系.注意 空間曲面的參數(shù)方程的表達(dá)式不是惟一的.一般按下列三個(gè)步驟進(jìn)行：二、曲面的參數(shù)方程三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系1.球坐標(biāo)系三、球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系2.柱坐標(biāo)系作業(yè) P8788 2（4） ， 3（3），4（3） 3 空間曲線的方程解析幾何 Chapter 2Contents一、空間曲線的方程二、空間曲線

6、的參數(shù)方程一、空間曲線的方程注：空間曲線可以用不同形式的方程組來表達(dá).一、空間曲線的方程例3xOyz二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程例4 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)一方面繞一條軸線作等角速度的圓周運(yùn)動(dòng)，另一方面作平行于軸線的等速直線運(yùn)動(dòng)，其速度與角速度成正比，求這個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程.例5 有一質(zhì)點(diǎn)，沿著已知圓錐面的一條直母線自圓錐的頂點(diǎn)起，作等速直線運(yùn)動(dòng)，另一方面這一條母線在圓錐面上，過圓錐的頂點(diǎn)繞圓錐的軸（旋轉(zhuǎn)軸）作等速的運(yùn)動(dòng)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)在圓錐面上的軌跡叫做圓錐螺線，試建立圓錐螺線的方程.二、空間曲線的參數(shù)方程作業(yè)：P92 2（3），3（2），5（2） 空間曲線圓柱螺線P同時(shí)又在平行于z軸的方向等速地上升。其軌跡就是圓柱螺線。 圓柱面yz0 xa