熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理A

1、電子科技大學(xué)2008至2009學(xué)年第1學(xué)期熱力學(xué).統(tǒng)計(jì)物理 課程考試題（A卷）（120分鐘）考試形式：閉卷 考試日期：2008年12月28日一四五六七八九十總分評(píng)卷教師一.填空題（本題共7題，每空3分，總共21分）1=，則PT1（dV1假設(shè)一物質(zhì)的體漲系數(shù)和等溫壓縮系數(shù)經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測(cè)得為：a三習(xí)|方| =事；kV kdT）T T該物質(zhì)的物態(tài)方程為：牛 =const。1 mol理想氣體，保持在室溫下（T = 300 K）等溫壓縮，其壓強(qiáng)從1Pn準(zhǔn)靜態(tài)變?yōu)?0Pn，則氣體在該過程所放出的熱量為：RT ln10 = 5.74 x 103焦耳。計(jì)算機(jī)的最底層結(jié)構(gòu)是由一些數(shù)字邏輯門構(gòu)成的，比如說邏輯與門，有

2、兩個(gè)輸入，一個(gè)輸出，請(qǐng)從統(tǒng)計(jì)物理 的角度估算，這樣的一個(gè)邏輯與門，室溫下（T = 300K）在完成一次計(jì)算后，產(chǎn)生的熱量是：kT ln2 = 2.87 x 10-21 焦耳。已知巨熱力學(xué)勢(shì)的定義為J = F - N，這里F是系統(tǒng)的自由能，N是系統(tǒng)的粒子數(shù)，R是一個(gè)粒子的化學(xué)勢(shì)，則巨熱力學(xué)勢(shì)的全微分為：dJ = -SdT - pdV - N血。5.已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布，其能量表達(dá)式為 =二（p2 + p2 + p2）+ ax + bx2 + c，其中a,b,c是常 2m x y z數(shù)，則粒子的平均能量為：2kT。6.溫度T時(shí)，粒子熱運(yùn)動(dòng)的熱波長(zhǎng)可以估算為:入=或者入= 2mnkTh2mk

3、T7.正則分布給出了具有確定的粒子數(shù)N、體積V、溫度T的系統(tǒng)的分布函數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)的配分函數(shù)為Z，微e - EskT觀狀態(tài)s的能量為E，則處在微觀狀態(tài)s上的概率為：P =-二.簡(jiǎn)答題（本題共3題，總共30分）1.請(qǐng)從微觀和統(tǒng)計(jì)物理的角度解釋：熱平衡輻射的吉布斯函數(shù)為零的原因。（10分）答：（1）熱力學(xué)中研究的熱平衡輻射系統(tǒng)，是一個(gè)和腔壁達(dá)到熱力學(xué)平衡的系統(tǒng)，熱力學(xué)理論可以證明，它的吉布斯函數(shù)為零。（2分）（2）從微觀角度看，平衡輻射場(chǎng)可以認(rèn)為是光子氣體，每一個(gè)單色平面波對(duì)應(yīng)于一個(gè)能量和動(dòng)量 確定的光子，腔壁中的輻射場(chǎng)對(duì)應(yīng)于能量和動(dòng)量從零到無窮大連續(xù)取值的光子氣體。輻射場(chǎng)和腔 壁不斷發(fā)生熱交換，從

4、微觀角度來看，相當(dāng)于交換光子，因此，腔壁中的光子數(shù)不守恒。（2分）（3）光子是玻色子，滿足玻色分布。在確定玻色分布公式的時(shí)候，由于光子數(shù)不守恒，因此確定 TOC o 1-5 h z 第一個(gè)拉氏乘子a的條件不存在，從物理上理解，這個(gè)拉氏乘子a就應(yīng)該為零，因?yàn)閍*， 故化學(xué)勢(shì)為零。（4分）（4）化學(xué)勢(shì)即為摩爾吉布斯函數(shù)（或者單個(gè)光子的吉布斯函數(shù)），光子氣體的吉布斯函數(shù)等于摩爾數(shù)（或者平均分子數(shù)）乘上化學(xué)勢(shì)，因此光子氣體的吉布斯函數(shù)為零。（2分）請(qǐng)說說你對(duì)玻耳茲曼分布的理解。（10分）答：（1）系統(tǒng)各個(gè)能級(jí)中的粒子數(shù)，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，稱為分布。物理上，需要在給定的分布下， 確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)。（3分

5、）（2）玻耳茲曼系統(tǒng)是這樣的一個(gè)系統(tǒng)，它的各個(gè)粒子是可以分辨的，因此，要確定玻耳茲曼的微觀狀態(tài)，就需要確定每一個(gè)粒子的微觀狀態(tài)，給出玻耳茲曼系統(tǒng)的一個(gè)分布，只是確定了每一個(gè) 能級(jí)的粒子數(shù)，但是這些粒子是哪一些粒子并沒有確定。（3分）（3）由于等概率原理，在給定的宏觀狀態(tài)下，任何一種微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是一樣的。不同的分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是不一樣的，因此，對(duì)應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，這就是 最概然分布。玻耳茲曼系統(tǒng)的最概然分布就是玻耳茲曼分布。（4分）等概率原理以及在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的地位。（10分）答：（1）作為熱運(yùn)動(dòng)的宏觀理論，熱力學(xué)討論的狀態(tài)是宏觀狀態(tài)，由幾個(gè)宏觀參量表征，例如對(duì)

6、于一個(gè)孤立系統(tǒng)，可以用粒子數(shù)N、體積V和能量E來表征系統(tǒng)的平衡態(tài)，狀態(tài)參量給定之后，處 于平衡態(tài)的系統(tǒng)的所有宏觀物理量都具有確定值。（2分）（2）系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是指構(gòu)成系統(tǒng)的每一個(gè)粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，顯然，在確定的宏觀狀態(tài)之下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)是大量的，而且微觀狀態(tài)不斷地發(fā)生及其復(fù)雜的變化，例如，對(duì)于一個(gè)沒有 相互作用的系統(tǒng)中，總能量是由N個(gè)單粒子能量的簡(jiǎn)單求和得到的，因此，將會(huì)有大量不同的方 式選擇個(gè)別粒子的能量使其總和等于總能量。（2分）（3）等概率原理認(rèn)為：在任意時(shí)刻，該系統(tǒng)處于各個(gè)微觀態(tài)中的任意一個(gè)狀態(tài)都是同等可能的， 也就是概率是一樣的。對(duì)于一個(gè)孤立系統(tǒng)，數(shù)學(xué)表述就是：設(shè)所有可能的

7、微觀狀態(tài)的數(shù)目Q是粒 子數(shù)N、體積V和能量E的函數(shù)：O = O（N,V,E），則每一個(gè)微觀狀態(tài)的概率為16。（3分）（4）統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為，宏觀物理量是相應(yīng)的微觀物理量的系綜平均值，要求系綜平均值，就必須知 道系統(tǒng)在各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率。等概率原理給出了孤立系統(tǒng)的各個(gè)微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率，因 此，只要知道總的微觀狀態(tài)數(shù)，就可以計(jì)算各種宏觀物理量。這樣，等概率原理在連接宏觀物理量和相對(duì)應(yīng)的微觀物理量之間建立了一個(gè)可以計(jì)算的橋梁。當(dāng)然，實(shí)際上，對(duì)給定的孤立系統(tǒng)， 計(jì)算總的微觀狀態(tài)數(shù)一般是很困難的，但是它是分析其他問題（如分析正則分布和巨正則分布） 的基礎(chǔ)，等概率原理也稱為微正則分布。（3分）三.計(jì)算題

8、（本題共4題，總共49分）1. 一均勻桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，單位長(zhǎng)度的定壓熱容量為cp，在初態(tài)時(shí)左端溫度為T1，右端溫度為T2 , T T2 , 從左到右端溫度成比例逐漸升高，考慮桿為封閉系統(tǒng)，請(qǐng)計(jì)算桿達(dá)到均勻溫度分布后桿的熵增。（你可能要用 到的積分公式為 jln x - dx = j d（x - In x - x）。）（10分）答：設(shè)桿的初始狀態(tài)是左端/ =0溫度為，右端I = L為T，從左到右端，位于/到”+出的初始溫度為T - T 1T - TT = Ti +Pj Ld (-1T2- T 0 L,達(dá)到平衡后溫度為加，這一小段的熵增加值為:T +T12dS = c dlT + T dT寸=Cpd

9、1 -ln T-T- T + _11 i L（4分）根據(jù)熵的可加性，整個(gè)均勻桿的熵增加值為 L1 C L L T + T( T -T AS = j dS = jLc dl - In2= jLc dl ln2-jLc dl - In T +110 p T + T2- Ti 10 p 20 p 1 L 1 L+ T2 - T 1L=c L - In T1 + T2 - cp2 pTT=c L ln2T1 + T2pe 1 e j T2 dx In xT - T T21- 1=c L In T1 + T2 - c L 1 (T In T - TIn T - T + T )p2 p T -221121

10、（6分）2.設(shè)一物質(zhì)的物態(tài)方程具有以下形式：p = f （V）T，試證明其內(nèi)能和體積無關(guān)。（10分）證明：以（V,尸）作為自變量，則熵的全微分為:dS =dT +dV(3分)利用熱力學(xué)基本微分方程，有:dU = TdS pdVdS )I dT + T 、dT )V=T傍VdT + T當(dāng)當(dāng)dV JTdV - pdV-P dV因此有:dU dV JT（3分）由麥?zhǔn)详P(guān)系代入上式，可以得到：竺1dV ）T_TP | _TI I pdT )V利用物態(tài)方程可以知:故有:=f (V)dU dV *=T ddL) p = Tf (V) p = 0V（4分）得證。3.表面活性物質(zhì)的分子在液面上作二維自由運(yùn)動(dòng)，可

11、以看作是二維氣體。請(qǐng)用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論計(jì)算:（1）二維氣體分子的速度分布和速率分布。（9分）（2）二維氣體分子的最概然速率。（4分）答：玻耳茲曼分布的經(jīng)典表達(dá)式是Aw（2分）a = e a部 i/hr0在沒有外場(chǎng)時(shí)，二維情況下的分子質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量的經(jīng)典表達(dá)式為e = 2m=2m(px+p2)在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)量在dp dPy范圍內(nèi)的狀態(tài)數(shù)為一 dp dp0因此，在面積A內(nèi)，分子質(zhì)心平動(dòng)動(dòng)量在dp dpy范圍內(nèi)的分子數(shù)為A 1 c c一 e -眼 2 mkT +p 2） dp dp0參數(shù)由總分子數(shù)為N的條件定出jj _Ae-眼（p：+p2）dp dp = Nh 2x y0積分出，得1 N1e

12、-a =h 22兀 mkT A 0因此，質(zhì)心動(dòng)量在dp.py范圍內(nèi)的分子數(shù)為N 2 燈 e -力（P；+p-2）dp dp用速度作為變量，p = mv ;p = mv，上式化為: TOC o 1-5 h z yyN 命 eUPdVxdVy這就是在面積A內(nèi)，分子在dvxdvy范圍內(nèi)的分子數(shù)。用n = NA表示單位面積內(nèi)的分子數(shù)，則在單位面積內(nèi)， 速度在dv dv范圍內(nèi)的分子數(shù)為 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document f （v , v ）dv dv = n m e一2kT（v； +叩dv dv （5分）x y x y2 兀 kTx y這就是二維情況下的

13、速度分布律。歸一化條件為:jj f （v , v ）dv dvx y x y=jj ne 2 kT2兀kTm-（v2 危2）dv dv=n化為極坐標(biāo)，并對(duì)角度進(jìn)行積分，可得二維情況下的速率分布律（2分）f （v）dv = nme 一 2 kTv 2vdvkT最概然速率vm滿足條件:空=nd （e-斯2v） = 0 dv kT dv由此得到:(4分)It弋m在這個(gè)速率附近，分子數(shù)最多。（1）證明，在二維情況下，對(duì)于非相對(duì)論粒子，壓強(qiáng)和內(nèi)能的關(guān)系為：UP = A這里，A是面積。這個(gè)結(jié)論對(duì)于玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布都是成立的。（8分）（2）假設(shè)自由電子在二維平面上運(yùn)動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)為非相對(duì)論性的

14、，面密度為 =Na，試求0 K時(shí)電子氣體 的費(fèi)米能量、內(nèi)能和簡(jiǎn)并壓強(qiáng)。（8分）答：（1）不妨假設(shè)二維空間為正方形，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，根據(jù)周期性邊界條件，二維自由粒子在x和） 方向的動(dòng)量分量的可能取值為:h p =一 n ; n = 0,1,2,Ahp = /n ;n = 0,1,2,A因此對(duì)于非相對(duì)論的自由粒子，能量為：=已=(-)2(n 2 + n 2)=一件(n 2 + n 2) = aA-1nxny2m 2m L x y2m A x y以單一指標(biāo)Z代替（n ,n ），上式可以記為： = aA-1Z因此當(dāng)有N個(gè)粒子存在時(shí)，產(chǎn)生的壓強(qiáng)為：p = 一 aBA iZ=- (-1)aA - 2 aZZ=A-1 乙 aZU A（8分）（2）在面積A = L2內(nèi)，在p - p + dp內(nèi)，自由粒子的量子態(tài)的數(shù)目為:(L )22 叩 dph由于電子自旋為2，因此利用自由粒子的非相對(duì)論能量動(dòng)量關(guān)系 = p22m，得到在 - + d 內(nèi)，自由電子的量子態(tài)的數(shù)目為：A4Am 一2 2 兀md =dh2h2根據(jù)費(fèi)米分布，一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：f = 1ea + 阮 + 1在面積A內(nèi)，在 - + d內(nèi)，自由電子的數(shù)目為:4Am1,4 兀Am TOC o 1-5 h z dN =d8 =d8h 2 ea + 阮 + 1h 2 e（8-四