高考數(shù)學(xué)輪復(fù)習(xí)難點突破教學(xué)案：難點不等式恒成立問題#

1、難京四不等式恒成立問題縱觀近幾年高考對于不等式綜合問題的考查，主要有三類問題：恒成立問題、能成立問題以及恰成立 問題，要求學(xué)生有較強的推理能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答.從實際教學(xué)來看，這部分知識能力 要求高、難度大，是學(xué)生掌握最為薄弱，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之 外，主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出 現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討.1不等式包成立問題新課標(biāo)下的高考越來越注重對學(xué)生的綜合素質(zhì)的考察，恒成立問題便是一個考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好 途徑，它常以函數(shù)、方程、不等式和數(shù)列等知識點為載體，滲透著換

2、元、化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函 數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用.近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻 出現(xiàn)恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)知識密不可分.解決高考數(shù)學(xué)中的恒成立問題常用以下幾種方法：函數(shù)性質(zhì)法；主參換位法；分離參數(shù)法； 數(shù)形結(jié)合法；消元轉(zhuǎn)化法.下面我就以近幾年高測試題為例加以剖析.1函數(shù)性質(zhì)法一、一次函數(shù)一一單調(diào)性法給定一次函數(shù)尸=力x =和事工Oi,若尸=力xi在際句內(nèi)恒有e 0,則根據(jù)函數(shù)的圖像(線段如右下圖)可得上述結(jié)論等價于(I)a 0”或J ( 0可合并定成同理，若在裾理內(nèi)恒有了 a 0，則有m I 0, n 0.O班例L若不等式

3、2#-1附(一一1)對滿足一2三冽工2的所有雨都成立，求工的范圍.解析:我們可以用改變主無的辦法，將耀視為主變無，即將無不等球化為：- (2x-l) 0 ,令 用)=陽(/1) (2m1),則17(-2) 0-2時， f(m)父0恒成立，只需八,，即/0-2(，-1)-3-1)弋 解這個不等取g的范圍是士更，匕T2(zs -l)-(2x-l) 0在xw R 上恒成立 u a0 且 A0;(2) f(x)0在xwR上恒成立u a 0且 0時,f(x) 0在x w a, P 上恒成立-：，2a 或 2a 或2af (：-) 00,f(x)0ft xWu,P上恒成立 u ef ()： 0. 當(dāng)a0在

4、xWa,P上恒成立4 b. b .二 b 二f (x) Oftx w u, B上恒成立 u一一：二二一二三一一三 一 T - ,2a 或 2a 或2af(： ) 0 卜：0.f ( )二 0.2例2(2012蚌埠一中測試)已知不等式mx +4mx-40對任息實數(shù)x恒成立.則m取值氾圍是()A. (-1,0) B. 1-1,0 C. (-00,-1 jj(0尸)D . (-1,02m : 0,思路分析：由不等式mx +4mx-40對任意實數(shù)x恒成立，知 m = 0或416m2 16m 二 0.由此能求出m的取值范圍.解析：不等坎陽/+4底4 0對任意實數(shù)X, ,=0或,施解得14冽三0.152

5、+ 165 0在(-00,-)上恒成立，而且(兀)=0在我上恒成立，顯然不滿足 ；題意(如圖2)：當(dāng)也0只在(一叫0)上恒成立，而/G)是一個開 口向下且恒過定點，0.L的二次離數(shù)，顯然不滿足題意(如圖3)；當(dāng)附0時,后。)在R上遞增且g(x) = mx 0在(0,+?？?上恒成立，而了(工)是一個開口向上且恒過定點 0,1 ”的二次函數(shù)，妻使對任一實數(shù)大，力中與.力的值至少有一個為正數(shù)，則只需/(%)0在5叱0上憧成安(如圖4),則有4 一叩上口4 一擰10,解得4 M周 8或 Q 幽4.、2tn = 4（4 一 Mi）- - 8m 0練上可得0 那8即me (0,8).故選孔f(X)A0恒

6、成立U f (x)min A0 (注：若f(X)的最小值不存在，則f(X)A0恒成立U f(X)的下界大于0)； f()x 0 恒成立u f (x)max 0 (注：若f(x)的最大值不存在，則 “*)0恒成立=f(x)的上界小于0).2例4 (2013年圖考重慶卷文) 設(shè)0 Met 0時恒有0Wx4-x3+ax+bw(x2-1) 2,則ab等于. 【答案】-12a例6(2013年上海圖考數(shù)學(xué)試題文)設(shè)常數(shù)a A0,若9x+父a+1對一切正實數(shù)x成立，則a的取值范圍為x1【答案】1, 二)3 / 10例7 (07年重慶卷理20)已知函數(shù)f (x) =ax4lnx+bx4 c(x0)在x = 1

7、處取得極值3c,其中a, b 為常數(shù).(1)試確定a , b的值；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若對任意x 0,不等式f(x)之2c2恒成立，求c的取值范圍. 22思路分析：f(x)之2c恒成立，即f(x)min至2c ,要解決此題關(guān)鍵是求f(x)min, x0解析：(I)(2)略.(3)由(2)物，在x = l處取得極小值/=-3-亡，此極小值也是最小值.要使 /之一2ds 0)恒成立，只需-3二之一2/.即21二一 3NQ,從而(2白一笏G+DNO,解得二之三 2 或二* 1, /.白的取值范圍為(_嗎一口已403),2例 8 (08 天津文 21).設(shè)函數(shù) f (x) =x4

8、+ax3 +2x2 +b(xw R)，其中 a, b R .(m)若對于任意的 aw 1-2,2,不等式f (x) 1在-1,1 上恒成立，求b的取值范圍.(節(jié)選)思路分析：f(x)1 ,即f(x)max宅1, aC2,2, xW -1,1,要解決此題關(guān)鍵是求 f(x)max.解析：(111)+ 4K =/ +3白 x + 4)由條件仃 E 2,2可如 A = 9/ 64 0恒成立.當(dāng)工(0時，fXx) 0時，因此函數(shù)/5)在卜U 上的最大值是丁與了(一1)兩嗇中的蛟大益 為使對任意也w -2,2,不等矢/在川 上恒成立, b 一在以 -2,2上恒成立.即廠,-嘰匕厘w-2,2, b1 . 3

9、(II)若當(dāng)x20時，f(x)A0恒成立，求a的取值范圍.(節(jié)選)思路分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出a的范圍.4 / 10解析m (TG由(T)知，當(dāng)天之。時，_/(兀)在無匚2厘或大二。處取得最小值./Qi) ；(2E) - (1 + B)(20)，+ 4g 2& + 24tl =：1+ 4/ + 24口，/(O)- lAa，則由 題意得鼻)10,EP_t$g + 3)g 0 口解得 1 Mi 式6，二2。,6).I”。，2402分離參數(shù)法一一極端化原則若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍.

10、利用分離參數(shù)法來確定不等式f (x,九)20 ( xw D ,九為實參數(shù))恒成立中參數(shù) 人的取值范圍的基本步驟：(1)將參數(shù)與變量分離，即化為 g(九了 f (x)(或g(九)M f (x)恒成立的形式；求f (x )在x w D上的最大(或最小)值；(3)解不等式g)至f(x)max (或gg)Ef(xLn)，得人的取值范圍.適用題型：(1)參數(shù)與變量能分離；(2)函數(shù)的最值易求出.2 x 2x _ x _ 0例10 (2013新課標(biāo)卷I理11)已知函數(shù)f(x) = ，若|f(x)除ax,則a的取值范圍是ln(x 1),x 0A.(二,0 B.(-:,1 C,-2,1 D ,-2,0 x2

11、- 2xtx 0,f z 0解析工，二由| 了I三以得， 3且卜，八 ，Lln(x+l),x 0/一2工之+ axx。恒成主，- 2a fa故B -1不適合，排除 故選口.點評；本題主要考查函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圉問題的解法，是難題.例11 (07年山東卷文15)當(dāng)xw (1,2)時，不等式x2 + mx + 40恒成立，則m的取值范圍 TOC o 1-5 h z 是. HYPERLINK l bookmark70 o Current Document + 4+ 44解析：當(dāng)兀三(L2)時，由/+如r + 4Q得卿 0,且f(x)在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，試用 a表示出b的取值范圍.思路分析

12、：此題雖有三個變量 x, a, b,而x的范圍已知，最終要用 a表示出b的取值范圍，可以 將a看成一個已知數(shù)，對 x和b進行離參.解析： / 在區(qū)間(01上單調(diào)遞增 O =+在(0,1上恒成立 TOC o 1-5 h z Q 力 r TJ 矛皂(0,1恒成立 O (Max * X W (】/ g(T)=，2 2x2 2z2 2xa(jc2)iiig(x)= +T = 令gG) = o得天=1=或才=產(chǎn)舍去.當(dāng)次1時，o 0, g(j)= 一竺一-單調(diào)增函數(shù)：當(dāng)矛 w (-Lr 1時 g(X)0, g(x)=-也2 2Ky/a2 2K單調(diào)減函繳，,g2 =式3 =&.:、6之一國*當(dāng)01時，當(dāng)O

13、M1時，.2例 132010 天津高考理 16). 設(shè)函數(shù) f(x)=x2-1 , 對任意xW | , _3f - j-4m2f(x) E f(x-1)+4f(m)恒成立，則實數(shù) m的取值范圍是. m TOC o 1-5 h z 解析；依蠅塞您得3y 1 4(/ DVU-D*T+4( 】)在了曰三,0)上般定成史，印 m213 2353 25一 %?三一F一+l在工一,*0)上彼成立,當(dāng)二二一時幽敷y= -F +1取得戢小值一 一二 ex 齊22x x3-!y-4? x2 -mx-11 ,求x的取值范圍.i (1) g(j) = /f(x) = 3xa -13xcosa + 48cos W W

14、 R0，l + c8f 42a2 3 + sin/ 0工耳的取色苑圖為例15 (08安徽文科20).已知函數(shù)f(x) =ax3 -x2 +(a+1)x+1 ,其中a為實數(shù). 32(n)已知不等式f (x)x2 xa+1對任意aw (0,+a)都成立，求實數(shù)x的取值范圍.(節(jié)選) 思路分析：已知參數(shù) a的范圍，要求自變量 x的范圍，轉(zhuǎn)換主參元 x和a的位置，構(gòu)造以a為自變量x 作為參數(shù)的一次函數(shù) g(a),轉(zhuǎn)換成V aw(0,+g) , g(a) 0恒成立再求解.解析：由避設(shè)知心./一3父+ (。+ 1)/ 一 乂一事十】對1它(0,+00)都直立，即儀/ + 2)-/ 2彳0時V 4營(0,+

15、8)都成立* ifc g(c2)= (x2 + 2)a- x2 -2x ( a ) 則3)是一個以口才自變室的一次 函歉.:爐+ 2 0抬或立，劇時V 氐凡 &Q)為K上的單曲遞增圖數(shù).二對V 口壬(。+3).忠(。)0 林聯(lián)立的竟分處要條件是以0后0, -xJ2x0.2x0,于是#的取值庖國是2MxQ). 4數(shù)形結(jié)合一一直觀求解法若所給不等式進行合理的變形化為f(x)之g(x)(或f (x) g(x)后，能非常容易地畫出不等號兩邊函數(shù)的圖像，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果.尤其對于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快7 / 10例履it安徽理科t，若對任意黑不等式|工匕厘工恒成立,則實數(shù)a的取

16、值范國是)(A) -1(& | 4 悍 I (C) | | 1(D) a 之 1第祈：時卡彳息自，不等式惟成立，劇由一次離默性質(zhì)及困你知即HgL例17.若不等式3x2 -logax 0在xw101i內(nèi)恒成立，求實數(shù) a的取值范圍. .3解析：由題意圣心3/ 幻玳2乂一) = 1 = log. a) X 0 s 1 a 07若 m n8 / 102f(x) t2 _2at+1對于所有的xw1,1,aw1,1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.解析；本題不等其中有三個變量,因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f是 定義在I，1上的增函數(shù)，故在hi, 1上的最大值為f則產(chǎn)-如zi對于所有的-

17、U tiXt = 1 產(chǎn)如f+ 1對于所有的I懂成立，即2ta-產(chǎn)k成立，則等價于在區(qū)間 D上f(x)maxk；若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)k成立，則等價于在區(qū)間 D上的f(x)mink.注意不等式能成立問題 (即不等式有解問題)與恒成立問題的區(qū)別.從集合觀點看，含參不等式f(x)k (f(x)Ak )在區(qū)間 D 上恒成立 u D f (x Jk )，而含參 不等式f (x)k )在區(qū)間D上能成立u至少存在一個實數(shù) x使不等式f(x/k(f (x)k)成 立 u D nix f (x )k#0u f (x 1n k ).例20.若關(guān)于x的不等式x2-ax-a W-3的解集不是空集，則

18、實數(shù) a的取值范圍是.解揄 速人工* = / 一.-則關(guān)于/的不等坎野-加-1 *7的斛集不是空集=尸界*3在口耳 2上般成史=小.小-3,卬/皿口1型二一空上匚工-3第件=*-6或=之241例21.已知函數(shù)f x =lnxax22x a00應(yīng)在單調(diào)遞減區(qū)間，求 a的取值范圍29 / 10解析函數(shù)，不存在單調(diào)迷或區(qū)間，=V。在,Q.+rn，宥鬻.即XX12 占 有4 %-12I 2 11 丫 ,小a =- x Up -rto 踞血 立， 發(fā)白，了| =- 由 n j = -11 - 1 阿,X2 Xx- X/ X 3 /mtn x = -R于是卜a -1 *由黑詼口H。二g的取值就因是u-1,0，+00,13不等式恰好成立問題的處理方法-x 2x a例22.已知f(x) 二當(dāng)xw11,y),f(x )的值域是0,十),試求實數(shù)a的值.x2解析:是一今恰成立問整，這一，干，= =2+”30的斛集是41,田3X? J.。當(dāng)。之。時