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文檔簡介
1、4/4第3講非線性回歸問題通過變量間的相關(guān)關(guān)系對兩個變量進行統(tǒng)計分析是數(shù)學(xué)的重要應(yīng)用其中非線性回歸問題具有十分重要的現(xiàn)實意義例二手車經(jīng)銷商小王對其所經(jīng)營的A型號二手汽車的使用年數(shù)x與銷售價格y(單位:萬元/輛)進行整理,得到如下數(shù)據(jù):使用年數(shù)x234567售價y201286.44.43zln y3.002.482.081.861.481.10下面是z關(guān)于x的折線圖:(1)由折線圖可以看出,可以用線性回歸模型擬合z與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)求y關(guān)于x的回歸方程,并預(yù)測當(dāng)某輛A型號二手車使用年數(shù)為9年時售價約為多少;(eq o(b,sup6(),eq o(a,sup6()小數(shù)點后保留
2、兩位有效數(shù)字)(3)基于成本的考慮,該型號二手車的售價不得低于7 118元,請根據(jù)(2)求出的回歸方程預(yù)測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過多少年參考公式:eq o(b,sup6()eq f(isu(i1,n, )xixto(x)yixto(y),isu(i1,n, )xixto(x)2)eq f(isu(i1,n,x)iyinxto(x) xto(y),isu(i1,n,x)oal(2,i)nxto(x)2),eq o(a,sup6()eq xto(y)eq o(b,sup6()eq xto(x),req f(isu(i1,n, )xixto(x)yixto(y),r(isu(i1,
3、n, )xixto(x)2isu(i1,n, )yixto(y)2).參考數(shù)據(jù):eq isu(i1,6,x)iyi187.4,eq isu(i1,6,x)izi47.64,eq isu(i1,6,x)eq oal(2,i)139,eq r(isu(i1,6, )xixto(x)2)4.18,eq r(isu(i1,6, )yixto(y)2)13.96,eq r(isu(i1,6, )zixto(z)2)1.53,ln 1.460.38,ln 0.711 80.34.解(1)由題意,知eq xto(x)eq f(1,6)(234567)4.5,eq xto(z)eq f(1,6)(32.482
4、.081.861.481.10)2,又eq isu(i1,6,x)izi47.64,eq r(isu(i1,6, )xixto(x)2)4.18,eq r(isu(i1,6, )zixto(z)2)1.53,req f(47.6464.52,4.181.53)eq f(6.36,6.395 4)0.99,z與x的相關(guān)系數(shù)大約為0.99,說明z與x的線性相關(guān)程度很高(2)eq o(b,sup6()eq f(47.6464.52,13964.52)eq f(6.36,17.5)0.36,eq o(a,sup6()eq xto(z)eq o(b,sup6() eq xto(x)20.364.53.6
5、2,z與x的線性回歸方程是eq o(z,sup6()0.36x3.62,又zln y,y關(guān)于x的回歸方程是eq o(y,sup6()e0.36x3.62.令x9,得eq o(y,sup6()e0.3693.62e0.38,ln 1.460.38,eq o(y,sup6()1.46.即預(yù)測當(dāng)某輛A型號二手車使用年數(shù)為9年時售價約為1.46萬元(3)當(dāng)eq o(y,sup6()0.711 8,即e0.36x3.620.711 8eln 0.711 8e0.34時,則有0.36x3.620.34,解得x11,因此,預(yù)測在收購該型號二手車時車輛的使用年數(shù)不得超過11年非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始
6、數(shù)據(jù)作出散點圖(2)根據(jù)散點圖,選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)(3)作恰當(dāng)變換,將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù),求線性回歸方程(4)在(3)的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)變換,即可得非線性回歸方程某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響,于是對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i1,2,8)的數(shù)據(jù)進行了初步處理,得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值eq xto(x)eq xto(y)eq xto(w)eq isu(i1,8, )(xieq xto(x)2eq isu(i1,8, )(wieq xto(w)2eq isu(i1,8, )(xieq
7、 xto(x)(yieq xto(y)eq isu(i1,8, )(wieq xto(w)(yieq xto(y)46.65636.8289.81.61 469108.8注:表中wieq r(xi),eq xto(w)eq f(1,8)eq isu(i1,8,w)i.(1)根據(jù)散點圖判斷,eq o(y,sup6()eq o(a,sup6()eq o(b,sup6()x與eq o(y,sup6()eq o(c,sup6()eq o(d,sup6() eq r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程模型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x
8、的回歸方程;(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y之間的關(guān)系為eq o(z,sup6()0.2yx,根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題當(dāng)年宣傳費x49時,年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少?年宣傳費x為何值時,年利潤的預(yù)報值最大?解(1)由散點圖可以判斷,eq o(y,sup6()eq o(c,sup6()eq o(d,sup6() eq r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程模型(2)令weq r(x),先建立y關(guān)于w的線性回歸方程由于eq o(d,sup6()eq f(isu(i1,8, )wixto(w)yixto(y),isu(i1,8, )wixto(w)2)eq f(108.8,1.6)68,eq o(c,sup6()eq xto(y)eq o(d,sup6()eq xto(w)563686.8100.6,所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq o(y,sup6()100.668w,因此y關(guān)于x的回歸方程為eq o(y,sup6()100.668eq r(x).(3)由(2)知,當(dāng)x49時,年銷售量y的預(yù)報值為eq o(y,sup6()100.668eq r(49)576.6,年利潤z的預(yù)報值為eq o(z,sup6()576.60.24966.32.根據(jù)(2)的
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