平面力系的合成與平衡課件

1、第三章平面力系的合成與平衡124335第一節(jié)平面匯交力系第二節(jié)平面力偶系第三節(jié)平面一般力系第四節(jié)平面平行力系第五節(jié)物體系統(tǒng)的平衡返回第三章平面力系的合成與平衡教學(xué):通過本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，掌握力在坐標(biāo)軸上的投影原理，掌握平面匯交力系、平面力偶系、平面一般力系、平面平行力系的合成與平衡條件，掌握物體系統(tǒng)的平衡條件。能力:1.理解合力投影定理，能熟練計(jì)算力在坐標(biāo)軸上的投影。2.能用幾何法和解析法求解平面匯交力系的合力。3.能根據(jù)力偶的等效性求解平面力偶的合成結(jié)果。4.能對(duì)平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果進(jìn)行討論。5.能列出平面一般力系的平衡方程。6.能利用平衡方程求解支座的約束反力。下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系

2、力系中各力的作用線都在同一平面內(nèi)且匯交于一點(diǎn)，這樣的力系稱為平面匯交力系。在工程中經(jīng)常遇到平面匯交力系。例如在施工中吊車的吊鉤所受各力就構(gòu)成一平面匯交力系，如圖3-1所示。一、力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影如圖3-2所示，設(shè)力F作用在物體上某點(diǎn)A處，用AB表示。通過力F所在的平面的任意點(diǎn)O作直角坐標(biāo)系xOy。從力F的起點(diǎn)A及終點(diǎn)召分別作垂直于x軸的垂線，得垂足a和b，并在x軸上得線段ab，線段ab的長(zhǎng)度加以正負(fù)號(hào)稱為力F在x軸上的投影，用X表示。同理可以確定力F在y軸上的投影為線段a1b1 ,用Y表示。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系當(dāng)力的始端投影到終端的投影方向與投影軸的正向一致時(shí)，力的投影

3、取正值，反之，當(dāng)力的始端投影到終端的投影方向與投影軸的正向相反時(shí)，力的投影取負(fù)值。從圖3-2中的幾何關(guān)系得出，力在某軸上的投影，等于力的大小乘以該力與該軸正向間夾角的余弦，即式中，為力F與X軸所夾的銳角，90時(shí)力在x軸上的投影值為正，90時(shí)力在x軸上的投影值為負(fù)，90時(shí)力在x軸上的投影等于零。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系由式 (3-1)可知：當(dāng)力與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，力在該軸上的投影為零；當(dāng)力與坐標(biāo)軸平行時(shí)，力在該軸上投影的絕對(duì)值與該力的大小相等。如果已知力F的大小及方向，就可以用式(3-1)方便地計(jì)算出投影X和Y；反之，如果已知力F在x軸和y軸上的投影X和Y，則由圖3-2中的幾何關(guān)系，可用

4、式(3-2)確定力F的大小和方向。式中，為力F與x軸所夾的銳角，力X的具體方向可由X、Y的正負(fù)號(hào)確定。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系此外，必須要注意的是，不能將力的投影與分力兩個(gè)概念混淆，分力是矢量，而力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量。力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影計(jì)算，在力學(xué)計(jì)算中應(yīng)用非常普遍，必須熟練掌握?！纠?-1】已知力F1=100V, F2=50V, F3=80V, F4=60V，各力的方向如圖3-3所示，試求各力在x軸和y軸上的投影?！窘狻縁1的投影： X1=0 Y1=100NF2的投影： X2= F2cos45=50 X 0. 707=35. 36(N) Y2= F2sin45=50

5、 X 0. 707=35.36(N)上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系F3的投影: X3=-F3cos30=-80 X 0. 866=-69. 28 (N) Y3 = F3sin30=80 X 0. 5=40 (N)F4的投影: X4=-F4cos60=-60X0.5=-30 (N) Y4=-F4sin60=-60X0. 866=-51. 96 (N)二、合力投影定理合力在任一軸上的投影，等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。這就是合力投影定理。如圖3-4 ( a)所示，設(shè)有一平面匯交力系F1、 F2、F3作用在物體的O點(diǎn)。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系從任一點(diǎn)A作力多邊形ABCD。

6、在其平面內(nèi)任取一坐標(biāo)軸x，則各分力及合力在x軸上的投影X1, X2, X3, X4，由圖3-4 (b)可知 X1=-ab,X2=bc，X3=cd，XR=ad而 ad=-ab十bc十cd所以 XR = X1十X2十X3三、用幾何法求平面匯交力系的合力1.兩個(gè)匯交力的合成如圖3-5 (a)所示，設(shè)在物體上作用有匯交于A點(diǎn)的兩個(gè)力F1和F2，根據(jù)力的平行四邊形法則可求得合力R。用作圖法求合力矢量時(shí)，可以不作圖3-5(a)所示的力的平行四邊形，而采用作力三角形的方法得到。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系做法是:選取適當(dāng)?shù)谋壤弑硎玖Φ拇笮?，按選定的比例尺依次作出兩個(gè)分力矢量F1和F2，并使二矢量首

7、尾相連。再從第一個(gè)矢量的起點(diǎn)向另一矢量的終點(diǎn)引矢量R，它就是按選定的比例尺所表示的合力矢量，如圖3-5(b)所示。上述方法又稱為力的三角形法則。我們可以利用幾何關(guān)系計(jì)算出合力R的大小和方向。如果給定兩個(gè)分力F1和F2的大小及它們之間的夾角 ，應(yīng)用余弦定理，如圖3-5 (b)所示，可求得合力R的大小為再用正弦定理確定合力R與分力F1的夾角:上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系 2.多個(gè)匯交力的合成如圖3-6所示，設(shè)作用于物體上A點(diǎn)的力X1, X2, X3, X4組成平面匯交力系，現(xiàn)求其合力。應(yīng)用力的三角形法則，首先將F1和F2合成得R1，然后把R1與F3合成得R2，最后將R2與F4合成得R，力R

8、就是原匯交力系F1、 F2、F3 、F4的合力，圖3-6 (b )所示即是此匯交力系合成的幾何示意圖，矢量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 R= F1+F2+F3+F4實(shí)際作圖時(shí)，可以不必畫出圖中虛線所示的中間合力R1和R2，只要按照一定的比例尺將表達(dá)各力矢量的有向線段首尾相接，就形成一個(gè)不封閉的多邊形，如圖3-6 (c)所示。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系然后再畫一條從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的矢量R，即為原匯交力系的合力，如圖3-6 (d)所示。這種由各分力和合力構(gòu)成的多邊形abcd。稱為力多邊形。按照與各分力同樣的比例，封閉邊的長(zhǎng)度表示合力的大小，合力的方位與封閉邊的方位一致，指向則由力多邊形的起點(diǎn)至終點(diǎn)，

9、合力的作用線通過匯交點(diǎn)，這種求合力矢的幾何作圖法稱為力多邊形法。上述方法可以推廣到包含n個(gè)力的平面匯交力系中，得出結(jié)論如下:平面匯交力系合成的最終結(jié)果是一個(gè)合力，合力的大小和方向等于力系中各分力的矢量和，即由此可見，合力的作用線通過各力的匯交點(diǎn)。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系值得注意的是，作力多邊形時(shí)，改變各力的順序，可得不同形狀的力多邊形，但合力矢的大小和方向并不改變。四、用解析法求平面匯交力系的合力當(dāng)平面匯交力系為已知時(shí)，可選定直角坐標(biāo)系求得力系中各力在x、y軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理求得合力R在x、y軸上的投影RX, RY。則合力的大小及方向(合力R與x軸所夾的銳角為)由下式確

10、定。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系此外，必須注意的是，力的投影是標(biāo)量。合力R的指向由Rh, R,.的正負(fù)號(hào)確定。合力的作用線通過原力系的匯交點(diǎn)。例3-2某平面匯交力系如圖3-7所示，已知F1=520 kN, F2 =30kN, F3=10 kN, F4 = kN，萬試求該力系的合力?！窘狻?1)建立坐標(biāo)軸系xOy為如圖所示，計(jì)算合力在x、y軸上的投影。RX=X = F1cos30- F2cos60- F3cos45+ F4cos45 =20X0. 866-30 X 0.5-10 X 0. 707+2; X 0. 707 =12. 93 (kN)RY =Y =F1sin30 + F2sin

11、60- F3sin45- F4sin45 上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系 = 20X0.+30 X 0. 866-10 X 0. 707-25X 0. 707 =11.24 (kN)(2)計(jì)算合力的大小與方向。由于X0,藝Y0，所以合力R指向右上方，作用線通過原匯交力系的匯交點(diǎn)O如圖3-7所示。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系五、平面匯交力系平衡的解析條件物體在平面匯交力系作用下處于平衡的充分必要條件是:合力R的大小等于零，即式中(X)2、(Y)2均為非負(fù)數(shù)，要使上式成立則要使R=0，即上式表明，平面匯交力系平衡的充分和必要的解析條件為：力系中各力的兩個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和均等于零。

12、稱為平面匯交力系的平衡方程。這是相互獨(dú)立的兩個(gè)方程，所以只能求解二個(gè)未知量。上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系解題時(shí)未知力指向有時(shí)可以預(yù)先假設(shè)，若計(jì)算結(jié)果為正值，表示假設(shè)力的指向就是實(shí)際的指向；若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，表示假設(shè)力的指向與實(shí)際指向相反。在實(shí)際計(jì)算中，適當(dāng)?shù)剡x取投影軸，可使計(jì)算簡(jiǎn)化。下面舉例說明平面匯交力系平衡條件的應(yīng)用。【例3-3】簡(jiǎn)易起重機(jī)如圖3-8 (a)所示，被勻速吊起的重物G=20kN，桿件自重、摩擦力、滑輪大小均不計(jì)。試求AB、BC桿所受的力?！窘狻?1)選擇研究對(duì)象，畫其受力圖。AB桿和BC桿是二力桿，不妨假設(shè)兩桿均受拉力，繩索的拉力TBD和重物的重力G相等，所以選擇既與

13、已知力有關(guān)，又與未知力有關(guān)的滑輪犅為研究對(duì)象，其受力圖如圖3-8 (b)所示。 (2)建立坐標(biāo)軸系狓O狔如圖3-8 (b)所示，列平衡方程上一頁下一頁返回第一節(jié) 平面匯交力系求解得到負(fù)號(hào)表示受力圖中SBC的方向與實(shí)際相反，在斜桿中實(shí)為壓力。上一頁返回第二節(jié) 平面力偶系一、力對(duì)點(diǎn)的矩及合力矩定理力對(duì)點(diǎn)的矩從實(shí)踐中知道，力對(duì)物體的作用效果除了能使物體移動(dòng)外，還能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。力對(duì)點(diǎn)的矩是很早以前人們?cè)谑褂酶軛U、滑輪、絞盤等機(jī)械搬運(yùn)或提升重物時(shí)所形成的一個(gè)概念。現(xiàn)以扳手?jǐn)Q螺母為例來加以說明。如圖3-9所示，在扳手上加一力F，可以使扳手繞螺母的軸線旋轉(zhuǎn)。實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)表明扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)效果不僅與力F的大小有關(guān)，而

14、且還與O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d有關(guān)。當(dāng)d保持不變時(shí)，力F越大，轉(zhuǎn)動(dòng)越快。當(dāng)力F不變時(shí)，d值越大，轉(zhuǎn)動(dòng)也越快。若改變力的作用方向，則扳手的轉(zhuǎn)動(dòng)方向就會(huì)發(fā)生改變，因此，我們用F與d的乘積和適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)來表示力F使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系實(shí)踐總結(jié)出以下規(guī)律：力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效果，與力的大小成正比，與轉(zhuǎn)動(dòng)中心到力的作用線的垂直距離d成正比，這個(gè)垂直距離稱為力臂，轉(zhuǎn)動(dòng)中心稱為力矩中心(簡(jiǎn)稱矩心)。力大小與力臂的乘積稱為力F對(duì)點(diǎn)O之矩，簡(jiǎn)稱力矩，記作M。(F)，計(jì)算公式為：式中的正負(fù)號(hào)可作如下規(guī)定:力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。由圖3-10可以看出，力對(duì)點(diǎn)的

15、矩還可以用以矩心為頂點(diǎn)，以力矢量為底邊所構(gòu)成的三角形的面積的兩倍來表示，計(jì)算公式為:上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系在平面力系中，力矩或?yàn)檎?，或?yàn)樨?fù)值，因此，力矩可視為代數(shù)量。顯然，力矩在下列兩種情況下等于零:力等于零;力臂等于零，就是力的作用線通過矩心。力矩的單位是牛頓米(Nm)或千牛頓米(kNm) ?！纠?-4】分別計(jì)算圖3-11所示的F1, F2對(duì)O點(diǎn)的力矩。 2.合力矩定理平面匯交力系的作用效應(yīng)可以用它的合力來代替。作用效應(yīng)包括移動(dòng)效應(yīng)和轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而力使物體繞某點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)由力對(duì)點(diǎn)的矩來度量。由此可得，平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于該力系中的各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和，這

16、就是平面匯交力系的合力矩定理。上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系證明:如圖3-12所示，設(shè)物體O點(diǎn)作用有平面匯交力系F1, F2其合力為F。在力系的作用面內(nèi)取一點(diǎn)A，點(diǎn)A到F1, F2合力F三力作用線的垂直距離分別為d1, d2和d,以O(shè)A為x軸，建立直角坐標(biāo)系， F1, F2合力F與二軸的夾角分別為1、2、，則：等式兩邊同時(shí)乘以長(zhǎng)度OA得:上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系上式表明:匯交于某點(diǎn)的兩個(gè)分力對(duì)A點(diǎn)的力矩的代數(shù)和等于其合力對(duì)A點(diǎn)的力矩。上述證明可推廣到n個(gè)力組成的平面匯交力系，即:上式就是平面匯交力系的合力矩定理的表達(dá)式。利用合力矩定理可以簡(jiǎn)化力矩的計(jì)算。二、力偶與力偶矩1.力偶在

17、生產(chǎn)實(shí)踐中，為了使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，常常在物體上施加兩個(gè)大小相等、方向相反、不共線的平行力。例如鉗工用絲錐攻絲時(shí)兩手加力在絲杠上，如圖3-13所示。上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系由此，得出力偶的定義:大小相等、方向相反且不共線的兩個(gè)平行力稱為力偶。用符號(hào)(F,F)表示。兩個(gè)相反力之間垂直距離d叫力偶臂，如圖3-14所示。兩個(gè)力的作用平面稱為力偶面。 2.力偶矩力偶矩是用來度量力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效果的大小。它等于力偶中的任一個(gè)力與力偶臂的乘積。以符號(hào)m(F，F(xiàn))表示，或簡(jiǎn)寫為m，即力偶矩與力矩一樣，也是以數(shù)量式中正負(fù)號(hào)表示力偶矩的轉(zhuǎn)向。通常規(guī)定:若力偶使物體作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。

18、力偶矩的單位和力矩的單位相同，是牛頓米(N m)或千牛頓米(Nm)。作用在某平面的力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)是由力偶矩來衡量的。上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系力偶的作用效果取決于以下三個(gè)要素:(1)構(gòu)成力偶的力的大小。(2)力偶臂的大小。(3)力偶的轉(zhuǎn)向。3.力偶與力偶矩的基本性質(zhì)(1)力偶沒有合力，所以不能用一個(gè)力來代替，也不能用一個(gè)力來與之平衡。由于力偶中的兩個(gè)力大小相等、方向相反、作用線平行，如果求它們?cè)谌我惠S上的投影，如圖3-15所示，設(shè)力與軸二的夾角為，由圖3-15可得:上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系由此得出，力偶中的二力在其作用面內(nèi)的任意坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和恒為零，所以力偶對(duì)物

19、體只有轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，而一個(gè)力在一般情況下對(duì)物體有移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種效應(yīng)。因此，力偶與力對(duì)物體的作用效應(yīng)不同，不能用一個(gè)力代替，即力偶不能和一個(gè)力平衡，力偶只能和轉(zhuǎn)向相反的力偶平衡。 (2)力偶對(duì)其所在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。力偶的作用是使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，所以力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可以用力偶的兩個(gè)力對(duì)其作用面某一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和來度量。如圖3-16所示，一力偶(F,F)作用于某物體上，其力偶臂為d，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，其力偶矩為m=Fd，在該力偶作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O為矩心，設(shè)矩心與F的垂直距離為x。上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系由此力偶對(duì)O點(diǎn)的力矩為:(3)同一平面的兩個(gè)力偶，如果它們的

20、力偶矩大小相等，轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶等效，稱為力的等效性。三、平面力偶系的合成作用在物體上的一群力偶或一組力偶，稱為力偶系。作用在物體上同一平面內(nèi)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的力偶，稱為平面力偶系。平面力偶系合成可以根據(jù)力偶的等效性來進(jìn)行。其合成的結(jié)果為:平面力偶系可以合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。即上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系若計(jì)算結(jié)果為正值，則表示合力偶是逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng);若計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，則表示合力偶是順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。【例3-5 】如圖3-17所示，在物體同一平面內(nèi)受到三個(gè)力偶的作用，設(shè)F1=200N F2=400N m=150Nm，求其合成的結(jié)果。 【解】三個(gè)共面

21、力偶合成的結(jié)果是一個(gè)合力偶，各分力偶矩為合力偶矩上一頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系因此合力偶矩的大小等于250Nm，轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，作用在原力偶系的平面內(nèi)。四、平面力偶系的平衡條件平面力偶系合成的結(jié)果只能是一個(gè)合力偶，當(dāng)平面力偶系的合力偶矩等于零時(shí)，表明使物體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩與使物體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩相等，作用效果相互抵消，物體必處于平衡狀態(tài);反之，若合力偶矩不為零，則物體必產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)而不平衡。這樣可得到平面力偶系平衡的必要和充分條件是:力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零，即: M=m=0【例3-6】三鉸剛架如圖3-18所示，求在力偶矩為m的力偶作用下，支座A和B的約束反力。上一

22、頁下一頁返回第二節(jié) 平面力偶系【解】(1)取分離體，作受力圖。取三鉸剛架為分離體，其上受到力偶及支座A和B的約束反力的作用。由于BC是二力桿，支座B的約束反力NB的作用線應(yīng)在鉸B和鉸C,的連線上。支座A的約束反力NA的作用線是未知的?？紤]到力偶只能用力偶來與之平衡，由此斷定N:與N,:必定組成一力偶。即NA與NB平行，且大小相等方向相反，如圖3-18所示。(2)列平衡方程，求解未知量。分離體在兩個(gè)力偶作用下處于平衡，由力偶系的平衡條件，得:上一頁返回第三節(jié) 平面一般力系在平面力系中，若各力的作用線都處于同一平面內(nèi)，它們既不完全匯交于一點(diǎn)，相互間也不全部平行，此力系稱為平面一般力系(也稱為平面任

23、意力系)。平面一般力系是工程中很常見的力系，很多實(shí)際問題都可簡(jiǎn)化成一般力系問題得以解決。一、力的平移定理作用在剛體上的一個(gè)力F，可以平移到同一剛體上的任一點(diǎn)O，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原力F對(duì)新作用點(diǎn)O的矩。這就是稱為力的平行移動(dòng)定理，簡(jiǎn)稱力的平移定理。下面對(duì)定理進(jìn)行論證。首先，設(shè)在剛體A點(diǎn)上作用有一力F，如圖3-19 (a)所示，然后在剛體上任取一點(diǎn)B，現(xiàn)要將力F從A點(diǎn)平移到剛體B點(diǎn)。下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系在召點(diǎn)加一對(duì)平衡力系F1與F1，其作用線與力F的作用線平行，并使F1 = F1 = F,如圖3-19 (b)所示。由加減平衡力系公理知，這與原力系的作用效果完全相同，此

24、三力可看做一個(gè)作用在召點(diǎn)的力F1和一個(gè)力偶(F, F1 )，其力偶矩m=MB(F) =Fd，如圖3-19 (c)所示。這表明，作用于剛體上的力可平移至剛體內(nèi)任一點(diǎn)，但不是簡(jiǎn)單的平移，平移時(shí)必須附加一力偶，該力偶的矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)之矩。根據(jù)力的平移定理可說明一個(gè)力可以和一個(gè)力加上一力偶等效。因此，也可將同平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶合為另一個(gè)力。力的平移定理是力系簡(jiǎn)化的基本依據(jù)，不僅是分析力對(duì)物體作用效應(yīng)的一個(gè)重要手段，而且還可以用來解釋一些實(shí)際問題。上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系二、平面一般力系的簡(jiǎn)化設(shè)在物體上作用有平面一般力系F1, F2 , ，F(xiàn)n ，如圖3-20所示。為將這力系簡(jiǎn)化，

25、首先在該力系的作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O作為簡(jiǎn)化中心，根據(jù)力的平移定理，將各力全部平移到O點(diǎn)后其就得到一個(gè)作用于O點(diǎn)的平面匯交力系F1, F2 , ，F(xiàn)n和力偶矩為m1, m2 , ，mn的附加平面力偶系。其中平面匯交力系F1 , F2 , ，F(xiàn)n中各力的大小和方向分別與原力系中對(duì)應(yīng)的各力相同，即 F1 = F1， F2 = F2 ， Fn= Fn各附加的力偶矩分別等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的矩，即 m1=MO(F1)， m2=MO(F2) ， mn=MO(Fn)上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系由平面匯交力系合成的理論可知， F1, F2 , ，F(xiàn)n可合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)的力F并稱為原力系的主

26、矢量，簡(jiǎn)稱主矢，即 F = F1 + F2 + + Fn= F1+ F2 + +Fn F = F1 =0顯然，主矢量并不能代替原力系對(duì)剛體的作用，因而它不是原力系的合力。其大小和方向利用合力投影定理計(jì)算公式如下主矢的大小:上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系主矢與x軸所夾的銳角:F指向由Fx , Fy的正負(fù)號(hào)判斷。附加的平面力偶系可以合成一合力偶，并稱為原力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化的主矩由此可以得出，平面一般力系向作用內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果是一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力作用在簡(jiǎn)化中心，它的矢量稱為原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和;這個(gè)力偶的力偶矩稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，并等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩

27、的代數(shù)和。上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系此外，必須注意的是，作用于簡(jiǎn)化中心的力F一般并不是原力系的合力，力偶矩為MO的力偶也不是原力系的合力偶，只有F與MO兩者相結(jié)合才與原力系等效。三、平面一般力系簡(jiǎn)化結(jié)果的討論平面一般力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果，一般可得到一主矢和一主矩，但這并非簡(jiǎn)化的最后結(jié)果，根據(jù)主矢和主矩是否存在，有可能出現(xiàn)以下四種情況:(1)主矢不為零，主矩為零，即 F0， MO=0 這種情況下說明作用于簡(jiǎn)化中心的F即為原力系的合力，作用線通過簡(jiǎn)化中心。上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系(2)主矢、主矩均不為零，即 F0， MO 0這種情況下說明，力系等效于一作用于簡(jiǎn)化中心O

28、的力F和一力偶矩為MO的力偶。由力的平移定理知，一個(gè)力可以等效地變換成為一個(gè)力和一個(gè)力偶，反之也可將一個(gè)力和一個(gè)力偶等效地變換成為一個(gè)力，如圖3-21所示。將力偶矩為MO的力偶用兩個(gè)反向平行力F , F表示，并使F和F等值，共線，使它們構(gòu)成一平衡力，如圖3-21所示，為保持MO不變，取力臂d為將F和F這一平衡力系去掉，這樣就只剩下力F與原力系等效。合力F在O點(diǎn)的哪一側(cè)，由F對(duì)O點(diǎn)的矩的轉(zhuǎn)向與主矩MO的轉(zhuǎn)向相一致來確定。上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系 (3)主矢為零，主矩不為零，即 F=0， MO=0 這種情況下說明，平面任意力系中各力向簡(jiǎn)化中心等效平移后，所得到的匯交力系是平衡力系，原力

29、系與附加力偶系等效。原力系簡(jiǎn)化為一合力偶，該力偶的矩就是原力系相對(duì)于簡(jiǎn)化中心O的主矩MO由于原力系等效于一力偶，而力偶對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩都相同，因此當(dāng)力系簡(jiǎn)化為一力偶時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)，向不同點(diǎn)簡(jiǎn)化，所得主矩相同。 (4)主矢與主矩均為零，即 F=0， MO=0 這種情況下說明，此時(shí)力系處于平衡狀態(tài)。上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系四、平面一般力系的平衡條件及平衡方程(一)平面一般力系的平衡條件平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，若主矢F和主矩MO同時(shí)等于零，表明作用于簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的平面匯交力系和附加力平面力偶系都自成平衡，則原力系一定是平衡力系;反之，如果主矢F和主矩MO中有一個(gè)

30、不等于零或兩個(gè)都不等于零時(shí)，則平面一般力系就可以簡(jiǎn)化為一個(gè)合力或一個(gè)力偶，原力系就不能平衡。因此，平面一般力系平衡的必要與充分條件是，力系的主矢和力系對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的主矩都等于零，即 F=0， MO=0(二)平面一般力系的平衡方程1.基本形式上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系平面一般力系平衡的必要與充分的解析條件是:力系中所有各力在任意選取的兩個(gè)坐標(biāo)軸中的每一軸上投影的代數(shù)和分別等于零;力系中所有各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和等于零，即上式表明，平面一般力系處于平衡的必要和充分條件是:力系中所有各力分別在x軸和y軸上的投影的代數(shù)和等于零，力系中各力對(duì)任意一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和等于零。式又稱為平面

31、一般力系的平衡方程。這三個(gè)方程是彼此獨(dú)立的，利用它可以求解出三個(gè)未知量。上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系【例3-7】如圖3-22 (a)所示的剛架AB受均勻分布風(fēng)荷載的作用，單位長(zhǎng)度上承受的風(fēng)壓為(qN/m)，稱(q為均布荷載集度。給定(q的大小和剛架的尺寸，求支座A和召的約束反力?！窘狻?1)取分離體，作受力圖，如圖3-22 (b)所示。取剛架A為分離體。它所受的分布荷載用其合力Q代替，合力Q的大小等于荷載集度(q與荷載作用長(zhǎng)度之積。合力Q作用在均布荷載作用線的中點(diǎn)，如圖3-22所示。(2)列平衡方程，求解未知力。剛架受平面任意力系的作用，三個(gè)支座反力是未知量，可由平衡方程求出。取坐標(biāo)軸

32、如圖3-22 (b)所示。列平衡方程，得上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系解得負(fù)號(hào)說明約束反力YA的實(shí)際方向與圖中假設(shè)的方向相反。上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系 2.其他形式平衡方程式并不是平面一般力系平衡方程的唯一形式，它只是平面一般力系平衡方程的基本形式。除此以外，還有以下兩種形式。(1)二力矩式。用另一點(diǎn)的力矩方程代替其中一個(gè)投影方程，則得到以上兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程的形式，稱為二矩式，即式中，注意A, B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直，如圖3-23所示。(2)三力矩式。即三個(gè)平衡方程都是力矩方程，即上一頁下一頁返回第三節(jié) 平面一般力系式中三矩心A, B,C三點(diǎn)不能共線。由上可知，

33、平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程組，均可用來解決平面一般力系的平衡問題。每一組方程中都只含有三個(gè)獨(dú)立的方程式，都只能求解三個(gè)未知量。任何再列出的平衡方程，都不再是獨(dú)立的方程，但可用來校核計(jì)算結(jié)果。應(yīng)用時(shí)可根據(jù)問題的具體情況，選用不同形式的平衡方程組，以達(dá)到計(jì)算方便的目的。上一頁返回第四節(jié) 平面平行力系在平面力系中，若各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行，這樣的力系稱為平面平行力系。平面平行力系在工程中經(jīng)常遇到，如梁等結(jié)構(gòu)所受的力系，常常都可簡(jiǎn)化成平面平行力系問題來解決。如圖3-24所示，設(shè)物體受平面平行力系F1, F2 , ，F(xiàn)n的作用。如選取、二軸與各力垂直，則不論力系是否平衡，每一個(gè)力

34、在、二軸上的投影恒等于零，即X=0。于是，平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，即平面平行力系的平衡方程，也可以寫成二矩式的形式，即下一頁返回第四節(jié) 平面平行力系式中，A,B兩點(diǎn)的連線不與力線平行。平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，只能求解兩個(gè)未知量?！纠?-8】某房屋的外伸梁尺寸如圖3-25所示。該梁的AB段受均勻荷載q1=20 kN/m， BC段受均布荷載q2=25 kN/m ，求支座A,B的反力。【解】(1)選取AC梁為研究對(duì)象，畫其受力圖。外伸梁AC在A,B處的約束一般可以簡(jiǎn)化為固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座，由于在水平方向沒有荷載，所以沒有水平方向的約束反力。在豎向荷載q1和q2作用下，支座反力RA、 RB沿鉛垂方向，它們組成平面平行力系。(2)建立直角坐標(biāo)系，列平衡方程。上一頁下一頁返回第四節(jié) 平面平行力系(3)校核。利用不獨(dú)立方程上一頁返回