系統(tǒng)的穩(wěn)定性課件

1、第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性前面課程已經(jīng)解決的問(wèn)題控制系統(tǒng)的建模問(wèn)題微分方程傳遞函數(shù)頻率特性控制系統(tǒng)的分析問(wèn)題暫態(tài)響應(yīng)特性分析“快速性”的問(wèn)題穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性分析“準(zhǔn)確性”的問(wèn)題本章：穩(wěn)定性能分析本章的主要內(nèi)容5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念5.2 Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)5.3 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)5.4 Bode穩(wěn)定判據(jù)5.5 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.1 穩(wěn)定性（Stability）的基本概念兩個(gè)直觀的例子：a：穩(wěn)定的（平衡點(diǎn)）：在擾動(dòng)力作用下，暫時(shí)偏離，擾動(dòng)力消失后，經(jīng)過(guò)一段有限時(shí)間，擺又回到這一平衡點(diǎn)。d：不穩(wěn)定的（平衡點(diǎn)）：在微小擾動(dòng)下，一旦偏離平衡位置，則無(wú)論怎樣，再也回不到原來(lái)位置。a點(diǎn)：穩(wěn)定的（平衡

2、點(diǎn)），有條件：要求起始偏差不超出d、e區(qū)域。b、c：不穩(wěn)定的（平衡點(diǎn)）。5.1.1 “穩(wěn)定”的定義若系統(tǒng)在初始偏差作用下，其過(guò)渡過(guò)程隨時(shí)間的推移,逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。反之為不穩(wěn)定?？刂评碚撝兴懻摰姆€(wěn)定性都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，輸入為零，系統(tǒng)僅存在初始偏差不為零時(shí)的穩(wěn)定性。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與外作用及初始條件無(wú)關(guān)，是系統(tǒng)的固有特性。運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的嚴(yán)密數(shù)學(xué)定義，首先由俄國(guó)學(xué)者李雅普諾夫（Lyapunov）于1892年建立，這里不做全面介紹。不穩(wěn)定的/發(fā)散的穩(wěn)定的/收斂的反饋控制系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定等幅振蕩 絕對(duì)

3、穩(wěn)定性和相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性：系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）的條件，即充要條件。系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性：穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。tt相對(duì)穩(wěn)定性好相對(duì)穩(wěn)定性差造成自動(dòng)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定的物理原因 在自動(dòng)控制系統(tǒng)中，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的物理原因主要是：系統(tǒng)中存在慣性或延遲環(huán)節(jié)（例如機(jī)械慣性、電動(dòng)機(jī)電路的電磁慣性、液壓缸液壓傳遞中的慣性、晶閘管開(kāi)通的延遲，齒輪的間隙等），它們使系統(tǒng)中的輸出信號(hào)在時(shí)間上較輸入滯后了 時(shí)間。當(dāng)系統(tǒng)有反饋環(huán)節(jié)時(shí)，又將這種在時(shí)間上滯后的信號(hào)反饋到輸入端。y(t) 當(dāng)滯后的相位過(guò)大，或系統(tǒng)放大倍數(shù)不適當(dāng)(例如過(guò)大)，使正反饋?zhàn)饔贸蔀橹鲗?dǎo)作用時(shí)，系統(tǒng)便會(huì)形成振蕩而不穩(wěn)定了。 y(t)5.1.

4、2 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如果我們分析了影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的物理原因，可以明確改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方向。但系統(tǒng)中的參數(shù)（或結(jié)構(gòu)）究竟應(yīng)取怎樣的數(shù)值（或結(jié)構(gòu)），才能滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求，僅用定性分析是解決不了的。必須應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來(lái)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，首先要研究穩(wěn)定性和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系。其解便是擾動(dòng)作用過(guò)后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。若解是收斂的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，若解是發(fā)散的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。先研究簡(jiǎn)單情形： 通常，特征方程的根不止一個(gè)，這時(shí)，應(yīng)把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)看成是多個(gè)運(yùn)動(dòng)分量的合成。只要有一個(gè)運(yùn)動(dòng)分量是發(fā)散的，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 特征方程所有根的實(shí)部都必須是負(fù)數(shù)，亦即所有的根都在復(fù)平面

5、的左半平面。 因此判定系統(tǒng)穩(wěn)定與否就變成求解系統(tǒng)特征方程根的問(wèn)題（一般是高次代數(shù)方程根的問(wèn)題）。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件 代數(shù)判據(jù)Routh（勞斯）判據(jù)Hurwitz（古爾維茨）判據(jù)幾何判據(jù)Nyquist判據(jù)Bode判據(jù)經(jīng)典控制論中，系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)5.2 Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù) 不求解特征方程的根,直接根據(jù)特征方程的系數(shù)，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，回避了求解高次方程根的困難。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方程中所有項(xiàng)的系數(shù)均大于0，只要有一項(xiàng)等于或小于0，則為不穩(wěn)定系統(tǒng)。充分必要條件：Routh表第一列元素均大于0。Routh穩(wěn)定判據(jù)要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個(gè)條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)

6、都不等于0。特征方程各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)相同?？蓺w結(jié)為一個(gè)必要條件：特征方程各項(xiàng)系數(shù)必須大于0。必要條件證明 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：勞斯表中第一列元素全部大于0。若出現(xiàn)小于0的元素，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 Routh判據(jù)的完整表述Routh表的列寫方法【結(jié)論】： 閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)正實(shí)部的根。 【情況1】:Routh表中某一行的第一個(gè)元素為0，其它各元素不全為0。兩種特殊情況 這時(shí)可用任意小的正數(shù)代替某一行第一個(gè)為0的元素。然后繼續(xù)Routh表計(jì)算并判斷。 【結(jié)論】：系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個(gè)正實(shí)部根。【情況2】: 勞斯表中第k行元素全為0,這說(shuō)

7、明系統(tǒng)的特征根：或存在兩個(gè)符號(hào)相異,絕對(duì)值相同的實(shí)根；或存在一對(duì)共軛純虛根；或存在實(shí)部符號(hào)相異,虛部數(shù)值相同的復(fù)根；或上述類型的根兼而有之。 此時(shí)系統(tǒng)必然不是穩(wěn)定的。在這種情況下,可作如下處理。 (1) 用k-1行元素構(gòu)成輔助方程. (2) 將輔助方程對(duì)s求導(dǎo)，其系數(shù)作為全零行的元素，繼續(xù)完成Routh表。 【結(jié)論】：系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。上節(jié)課內(nèi)容回顧：穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件Routh判據(jù)：必要條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零；充分必要條件：Routh表第一列元素大于零。5.3Nyquist穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)的內(nèi)容使用方法Nyquist穩(wěn)定判據(jù)反饋控制系統(tǒng)在s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)Z=P-2

8、N，式中，P為s右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)，N為開(kāi)環(huán)Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1 ,j0) 點(diǎn)的圈數(shù)，且有N=N+N-其中N+為：正穿越與半次正穿越次數(shù)的和。其中N-為：負(fù)穿越與半次負(fù)穿越次數(shù)的和。數(shù)學(xué)依據(jù)：幅角原理特點(diǎn)：由開(kāi)環(huán)特性判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。正穿越和半次正穿越正穿越：隨著的增大，開(kāi)環(huán)Nyquist曲線逆時(shí)針穿越實(shí)軸區(qū)間(- , -1) 。半次正穿越：逆時(shí)針?lè)较螂x開(kāi)（或中止于）實(shí)軸區(qū)間(- , -1) 。(-1,j0)正穿越(-1,j0)半次正穿越負(fù)穿越和半次負(fù)穿越負(fù)穿越：隨著的增大，開(kāi)環(huán)Nyquist曲線順時(shí)針穿越實(shí)軸區(qū)間(- , -1) 。半次負(fù)穿越：順時(shí)針?lè)较螂x開(kāi)或中止于實(shí)軸區(qū)間

9、(- , -1) 。(-1,j0)負(fù)穿越(-1,j0)半次負(fù)穿越補(bǔ)充若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)，開(kāi)環(huán)Nyquist 曲線在=0時(shí)，幅值無(wú)窮大，而相角為 。判斷穩(wěn)定性要求=0開(kāi)始逆時(shí)針補(bǔ)半徑為無(wú)窮大，角度為 的虛線圓弧。在計(jì)算正、負(fù)穿越次數(shù)時(shí)，應(yīng)將補(bǔ)上的虛線圓弧作為Nyquist 曲線的一部分。(-1,j0)負(fù)穿越(-1,j0)半次負(fù)穿越例(-1,j0)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(10,j0)例閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)右半平面根(-1,j0)例閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個(gè)右半平面根(-1,j0)-10.6例閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有一個(gè)右半平面根(-1,j0)5.4Bode穩(wěn)定判據(jù)5.4.1 Nyquist圖與Bode圖的對(duì)應(yīng)

10、關(guān)系Nyquist圖：?jiǎn)挝粓A Bode圖：0dB線(橫軸)； |G(j)H(j)|=1，20lg |G(j)H(j)|=0Nyquist圖：負(fù)實(shí)軸 Bode圖：-180線； G(j)H(j)= -180Nyquist曲線與單位圓交點(diǎn)的頻率： Bode圖對(duì)數(shù)幅頻曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率，稱為“幅值穿越頻率”（也叫“截止頻率”）。記作：CNyquist曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率： Bode圖對(duì)數(shù)相頻曲線與-180線交點(diǎn)的頻率，稱為“相位穿越頻率”。記作：g截止頻率C與相位穿越頻率gL()-18005.4.2 Bode穩(wěn)定判據(jù)反饋控制系統(tǒng)在s右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)Z=P-2N，式中，P為s右半平面開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)

11、，N為開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性在L()0的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)相頻曲線穿越-180線的次數(shù)和，且有N=N+N-其中N+為：正穿越與半次正穿越次數(shù)的和。其中N-為：負(fù)穿越與半次負(fù)穿越次數(shù)的和。同樣，是一種用開(kāi)環(huán)特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性的方法。正穿越和半次正穿越正穿越：對(duì)數(shù)相頻特性由下而上穿越-180線。負(fù)穿越：對(duì)數(shù)相頻特性由上而下穿越-180線。半次正穿越：自-180線開(kāi)始向上。半次負(fù)穿越：自-180線開(kāi)始向下。半次正穿越-1800-1800半次負(fù)穿越補(bǔ)充若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有積分環(huán)節(jié)，在對(duì)數(shù)相頻曲線=0+處由下向上補(bǔ)畫一條虛線，該曲線通過(guò)的相角為：0.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdB

12、0L()180900.10.21210201000dB20dB40dB-20dBdB0L()18090（）5.5系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性“相對(duì)穩(wěn)定性”的概念經(jīng)典控制論當(dāng)中，描述相對(duì)穩(wěn)定性的指標(biāo)： 穩(wěn)定裕度（Stability Margin）(-1,j0)(-1,j0)穩(wěn)定裕度的定義穩(wěn)定裕度包括幅值裕度和相位裕度。系統(tǒng)的幅值裕度定義為：開(kāi)環(huán)幅相曲線上，相位為180這一頻率g所對(duì)應(yīng)幅值的倒數(shù)，即：h的分貝值表示為：相位裕度定義為： 180加截止頻率c所對(duì)應(yīng)的相位角，即：幅值裕度h與相位裕度幅值裕度h的含義幅值裕度的含義：如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)（增益）增大到原來(lái)的h倍，則系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 再次說(shuō)明了？相位裕度的含義相位裕度的含義：如果系統(tǒng)對(duì)截止頻率信號(hào)C的相位角遲后再增大度，