現(xiàn)代控制理論例題

1、x一 01 -x 1=1x23x2111- 2求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣0(t)=e血解5=.5-A -1 = 2一 215 + 15 + 2工+ _ 5 + 15 + 2于是 0 (t) = e A t =1115 + 315 + 3 _=(5 + 1)( 5 + 2)2511 一5 + 15 + 212+5 + 15 + 22 e t e 21一 2 e t + 2 e 21e t e 21e t + 2 e -21(2).用凱-哈定理計算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解() = detLl a= 2(久 + 3) + 2 =(久 +1)( 2 + 2) = 0久=12 = 2120 (t) = eAta (t)

2、= 2et e-2t 0(t) I + a(t) A = (2e-1 e - 2t)a (t) = et e-2t 10+ (et e2t)2 et e2t00et e2t+02 et e2t2e-1 + 2e - 2t3e-1 + 3e - 2t _0a (t)012 _221e 2.1-1eta (t)1- 1=1e 22t=12e2t2-e-1 =2 et e2t11e2tete2t2 et e2tet e2t2 et + 2 e2t et + 2 e-21(3).用線性變換方法解21 = 122 = 211 111 121 _11 P = Q -1 =2L 122=12=11Q =12

3、A = PAP-1 = 1 0 -0 2eAt = P -1 eAt P =1e -10 一一 2 -1 -20e-2t-1 -12 et e2tet e2t2 e + 2 e 一21 e + 2 e 一21二.有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷其能控性。-4(1) x = 00-410 一42(2) x =0-40 x +0000-230解：根據(jù)定理3-5知，系統(tǒng)（1）能控；系統(tǒng)（2）不能控 （定理（3-4）、定理（3-5）不僅可以判斷系統(tǒng)能控性，而且對于不能控的系統(tǒng)，可以知道 哪個狀態(tài)分量不能控。） 說明：1.上面通過幾個定理給出判斷系統(tǒng)能控性的判據(jù)。雖然它們的表達(dá)形式、方法不同， 但是，在判斷

4、線性定常系統(tǒng)能控性時是等價的。2.在線性連續(xù)定常系統(tǒng)中，由于能達(dá)性和能控性是等價的，因此，能控性判據(jù)同樣可以判 斷能達(dá)性。三.系統(tǒng)方程如下，試判斷系統(tǒng)的能控性y = 1() 1krankCA.0=rank 0不滿秩，故系統(tǒng)不能觀測。四.系統(tǒng)的狀態(tài)方程為光工=工=1-X +工分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。212系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為X = 0選取 Lyapunov 函數(shù)：V（ x）= X ； + X ；f V （ X ）0 X。0顯然它是正定的，即滿I V（ x）= 0 x = 0V ( x ) = 2 x x + 2 x x1122由定理4-4可知xe=0是不穩(wěn)定的。-0-1一三.離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為

5、x（k +1） = 一04 03 x（幻求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。zI- G-1 =z 1-10.4 z - 0.35/138/13+ z - 0.8 z + 0.5 -4/13 4/13 + z0.8 z + 0.510/13 10/13+z - 0.8 z + 0.58/135/13+ z 一 0.8 z + 0.5。(k) = Gk = z -1(zI -G-1 z58 (0.8) k +一 (-0.5) k131344-(0.8) k + (-0.5) k HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1313-四(0.8) k + (-0.5) k1313

6、85 (0.8) k + (-0.5) k1313010001-2-5-4x例2-4線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為x =a (t)a (t)1a (t)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣e (t) = e a tA = A = 122 A1A 21A 2311久1 久3-11-2-1t e -1=1-11e-t1-24e-2t% = -2t e te妃e勺20t e-t2t e-t + e-2t3-22e-t=3t e-t - 2e-t + 2e - 2t1-11e-2tt e-t - e-t + e - 2ta (t) I + a (t) A + a (t) A 2 01-21 e -1 + e -21-21 e -

7、1 + 2 e -1 - 2 e - 2121 e -1 - 4 e -1 + 4 e - 21231 e -1 一 2 e -1 + 2 e - 21一 31 e -1 + 5 e -1 一 4 e - 2131 e -1 一 8 e -1 + 8 e - 21t e -1 - e -1 + t e -1 + 2 e -1 t e -1 - 3 e -1 +例2-8線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x一 01 -x 0-u x (0)=T1=1+0 x1- 223x1- 212 e -1 2 e t +e 212 e 21e (t) = e a tu (t) = 1(t)在例2-2中已經(jīng)求得求系統(tǒng)狀態(tài)

8、轉(zhuǎn)移矩陣。解應(yīng)用凱-哈定理計算(t)A() = dethl - a= A 3 + 4 A 2 + 5 A + 2 = (A +1)2( A + 2) = 0A的特征值為)Bux (t) = e (t)x (0) + jtc.I-，11-2 e -(t-t) e -2(t-t)e(tt ) e 2( tt )01( t ) d t=+ et 一 e212 e (tt ) + 2 e 2 (tt )e(tt) + 2 e2(tt)122et + e210由(26)式.n(26)x (t) = e (t) x (0) + j t e (t - T)Bu (T ) d T =2 et 一 e21et

9、一 e 21102e -1 + 2e-21e -1 + 2 e -2t0+ j t09l重。k重、l 重、l重、23定理3-5 (2)式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A具有重特征值，A 1 A 2A 分別為k且芝1.Ii=1J)經(jīng)過非奇異線性變換，得到約當(dāng)陣J10A10J2._ x + BuJ.=iiA -i.10J一 kzz_ 0A.1x =(12)則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣?yán)?-9線性時變系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為王(t)x = 0 ；，計算系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。(,0)0 1一將 一0 ( 代入(35)式e (, ( ) - I + f( A( T )d T +f( A( T ) J 00000 0+ J

10、 ( A(T ) J T0 A(T ) J T1f( A(T )dT(0T0 A(T 0(0盤0T0 A(T )d T d T (011A(T )dT dT dT +(35)。(,0) 一01一dT =0(一1_0T000-(2 2(211(0由于不滿足A()A(t )d。C (3一，.(3 .0 1(+ + 6+=6C(4 1(40 0 1 + _ (2 +一 + .L 8L28j( A(T )jT0A(0+A(t)dA()難以獲得自由解的封閉形式T )dT dT00(3 6 (4 - 70 一2一-5x +0u0-1_9- 70 -015x +400-175例3-6有如下兩個線性定常系統(tǒng)，

11、判斷其能控性。u系統(tǒng)(1)不能控；系統(tǒng)(2)能控x 一x 一根據(jù)定理3-4,定理3-4(2)式的線性定常系統(tǒng)的矩陣A的特征值X .互異， (i = h 2，. ，n)將系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換變換成對角陣 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark82 o Current Document X01 X、x =2 .x + Bu(11)0 Xn_則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣B中不包含元素全為零的行。例3-8線性事變系統(tǒng)方程為t0所以，能控。初始時刻% = 0，試判別系統(tǒng)的能控性。解M 0(t) = B(t) = 1 TOC o 1-5 h z , “d0 tMi(t)

12、= -如叫+崩吃= -0 0 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 而 rankM (t) M (t)= rank = 20110例3-10 有如下兩個線性定常系統(tǒng)，判斷它們的能觀測性。(1)5r(2)01X解根據(jù)定理3-12可以判斷，系統(tǒng)(1)是不能觀測的。系統(tǒng)(2)是能觀測的。定理3-12 如果(18)式描述的系統(tǒng)的A陣特征值互異，經(jīng)過非奇異線性變換成為對 角陣，則系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是C矩陣中不包含元素全為零的列。JT = X例4-2系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性X =-(X + X )fV (x) 0 x 豐 0選取Lyapuno

13、v函數(shù)，顯然是正定的，即滿足| v (x ) = 0 x = 0V (x ) =(X + X )2 + X 2 + X 2 TOC o 1-5 h z 21212 2而 V(x) = (x + x )(x + x ) + 2xx + xx12121 12 2 . . ._. 、 、將狀態(tài)萬程代入上式，化筒后得V (x ) = -( X 2 + X 2)r12，叱、占 斗V(x) 0 x顯然它是正定的，即滿足Vx =0 X=0而V (x) = 2 xx + 2 xx將狀態(tài)方程代入上式，化簡得V (x ) = 一2a(l + X2)2 X2可見，當(dāng)x2=0和任意的xl時，有v&(x)=0，而x2不

14、等于0和任意xl時，v&(x)小于0。又因為x&l=x2，只要xl變化x&l=x2就不為零，因此在整條狀態(tài)軌線上不會有v&(x)=0。因此， X e = 0是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。當(dāng)|x| TS:有V(X) T3 ，故系統(tǒng)X = 0是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。例4-4 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為X1 = kX2其中，二 一穩(wěn)定性。X2 = 一氣解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為 x =0ek為大于零的實數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的選取Lyapunov函數(shù):顯然它是正定的，V (x ) = 2 X JC1Xe由定理4-3可知，V ( X ) = X 2 + kx 2 12fV (x) 0 x 豐 0 即滿足 |v(x) = 0 x=0+ 2 kx X = 2 x kx 一 2 kx12212=0 、，一、 ”, “為Lyapunov意義下一致穩(wěn)定。定理4-3設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x&=f(x)。在平衡狀態(tài)xe=0的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)V(x)具 有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1)V(x)為正定；2)V&(x)為半負(fù)定；則xe為一致穩(wěn)定的。 如果I | x |f8，V (x)f8，