求極值的若干方法

1、 求極值的若干方法1序言一般來說函數(shù)的極值可以分為無條件極值和條件極值兩類.無條件極值問題即是函數(shù)中的自變 量只受定義域約束的極值問題；而條件極值問題即是函數(shù)中的自變量除受定義域約束外還受其它條 件限制的極值問題.下面我們給出極值的定義定義11(P136)設(shè)函數(shù)f在點Po的某鄰域U(R)內(nèi)有定義，若又行1任何點 P U (Po),成立不 等式f(P)f(P0)(或 f(P) f(P),則稱函數(shù)f在點Po取得極大(或極小)值，點Po稱為f的極大(或極小)值點.極大值、極小值統(tǒng) 稱為極值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.2求解一元函數(shù)無條件極值的常用方法導數(shù)法定理1 2(P142)設(shè)f在點Xo連續(xù)

2、，在某鄰域Uo(Xo；)內(nèi)可導.(i)若當X (Xo,Xo)時f (x) o ,當X (Xo,Xo)時f (x) o ,則f在點Xo取得極小值.(ii)若當 X (Xo,Xo)時 f(X) o,當 X (Xo,XoN4f(X)。，則 f 在點 X。取得極大值.由此我們可以推出當X Uo(Xo；)時，若f (X)的符號保持不變，則f (X)在Xo不取極值.定理2 2(P142)設(shè)f在Xo的某鄰域U (Xo；)內(nèi)一階可導，在X Xo處二階可導，且f (X) o, f (X) o.(i)若f (Xo) o ,則f在Xo取得極大值.(ii)若f (Xo) o,則f在Xo取得極小值.對于一般的函數(shù)我們既

3、可以利用定理1 ,也可以利用定理2 ,但對于有不可導點的函數(shù)只能用 定理1 .例1求函數(shù)f (X) X(X2 1)的極值.解顯然f在x 0, 1處不可導,f (x) (3x2 1)sgn(x3 x) 其中(x 0, 1)-3令 f (x) 0,得 x , 3且f在x 0, 1處導數(shù)不存在.(,1)時 f (x) 0 、3f (x)單倜減小；當x ( 1, 時 (x) 30, f(x)單調(diào)增加;,3,0)時 f (x) 0 3f(x)單調(diào)減??；當x (0,費時f (x) 03f (x)單調(diào)增加;-3,1)時 f(x) 0, 3f(x)單調(diào)減?。划攛 (1,)時f (x) 0,f (x)單調(diào)增加,

4、所以由定理1可以得到3f (x)在x 處取得極大值3紅3,在x 0, 1處取得極小值0. 9若用定理2則有 f (x) 6xsgn(x3 x) 其中(x 0, 1),當 xY3時，f (x)2通 0 ；當 x Y3 , f (x)273330,由此只能判斷出f在x3 .處取得極大值，而無法判斷在不可導點30, 1處是否取得極值.定理2表明若函數(shù)f(x)在穩(wěn)定點x0處的二階導數(shù)f (x) 0,則穩(wěn)定點x0一定是函數(shù)f(x)的極值點，但如果遇到 f(x) 0時應(yīng)用定理2無法判別，這時需借助更高階的導數(shù)來判別.定理3 2(P143)設(shè)f在x0某鄰域內(nèi)存在直到n 1階導函數(shù)，在處n階可導，且f(k)(

5、x。) 0(k 1,2L ,n 1), f(n)(x0) 0,則(i)當n為偶數(shù)時，f在x0取得極值，且當f(x0) 0時取極大值，f() 0時取極小值.(ii)當n為奇數(shù)時，f在x0處不取極值.例2求函數(shù)f (x) x4(x 1)3的極值.解 由于f (x)x3(x 1)2(7x 4),因此x 0, 1,，是函數(shù)f(x)的三個穩(wěn)定點.f的二階導數(shù)為f (x) 6x2(x 1)(7x2 8x 2),44由此得，f (0) f ( 1) 0及f ( -) 0 .所以f(x)在x 處取得極大值.求 f的三階導 數(shù)f (x) 6x(35x3 60 x2 30 x 4),有f (0) 0, f ( 1

6、) 0.由于n 3為奇數(shù)，由定理3知函數(shù) f在x1處不取極值，再求f的四階導數(shù)f(4) (x) 24(35x3 45x2 15x 1),有f(4)(0) 0 .因為n 4為偶數(shù)，故f在x 0處取得極小值.綜上所述，f (0) 0為極小值,f( 4) (7)4(7)36912823543為極大值.2.2對某些復雜函數(shù)求極值的特殊方法對某些比較復雜(比如含根號)的函數(shù)，求導數(shù)、穩(wěn)定點比較困難，計算容易出錯，這時我們 可以利用f(x)與fn(x)有相同的極值點(極值的類型可能不同) 這一特點，把復雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為般函數(shù)再求解.推論13(P36)設(shè)x0為f(x)的極大(小)值點，則有:D如果f(x) 0

7、,則f(x)與fn(x)有相同的極值點和極值.2)如果f(x) 0,則f (x)與f 2n 1(x)仍有相同的極值點，但f(x)與f 2n (x)的極值的類型恰恰相反，即x0為f2n(x)的極小(大)值點.例3 求函數(shù)y (x 8)2 5/(x 1)4的極值.解 因為 y5 (x 8)10(x 1)4,所以 TOC o 1-5 h z 59410393(y )10(x 8) (x 1)4(x 8) (x 1)2(x 8) (x 1) (7x 11). , 5、_11令(y )0,得 X 1 , x28, x3 y ,11. 5._5 11. 5._5故當 x (, 1) (y,8)時，(y)

8、0, y 單倜減，當 x ( 1,y) (8,)時，(y)0, y單調(diào)增，所以y5在x 1,x 8處取得極小值0 ,根據(jù)推論1得y在x 1和x8處取得極小值0,在411 一 一 45 2 18 丁x 處取得極大值(竺)2(18)5.7771145 10 18 4在x 一處取得極大值(一)(一)777若直接用對函數(shù)求導的方法可得42(x 8)( x 1)石i(xi8)2(x 1)石2(x 8)( x421) (x 8)5i(x 1)5顯然導數(shù)較復雜，求穩(wěn)定點比較困難，且有不可導點，直接求導數(shù)容易出錯.由上述方法可知穩(wěn)定點，導數(shù)不存在的點是連續(xù)函數(shù)可能的極值點，此外函數(shù)可能的極值點還能是第一類間斷

9、點.我們假設(shè)f(x)在xo的某鄰域(xo,xo)內(nèi)有定義，xo是f(x)的第一類間斷點，根據(jù)極值的定義可得到f (x)在x0處求極值的兩個推論4( P11) .推論2 如果f(xo)lim f(x)且f(xo)lim f(x)則f(x)在點小處取得極大值x xo 0 x xo of(xo).推論3 如果當x (xo,xo)時，f (x)單調(diào)增加，當x (xo,xo)時，f(x)單調(diào)減少，且f(xo)lim f(x)、f (xo)lim 則在點處取得極大值f (x).x x) ox xo o類似地可以推出極小值.x3x, x o例4 求函數(shù)f (x)的極值.x 3, x o.解當 x o 時，f

10、 (x) (x3x) 3x3x(Inx 1), TOC o 1-5 h z 人，1令f (x) o得穩(wěn)定點x -,e11 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 當 o x 時，f (x) o ；當 x 一時，f (x) o, ee HYPERLINK l bookmark58 o Current Document ，、一1 一一 1、，1;故f (x)在x 一處取極小值f (一)(一). ee e又當x o時f(x) 1 o, f(x)單調(diào)增加；當 o x 1時 f(x) 3x3x(Inx 1) o, f(x)單調(diào)減少，且 elim f (x) 3

11、X 0f(0),Inx3 limx 0 lim f (x) lim e3xInxe 又x 0 x 013 lim _xe0 1 f(0).所以f(x)在x 0有極大值f(0) 3.3求解二元函數(shù)無條件極值常用的方法利用判別式求極值定理4 i(p137 P138)設(shè)二元函數(shù)f在點P0(X0,y0)的某鄰域U(P0)內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點，則有如下判別式： 當fxx(B) 0, (fxxfyy fP。)0時，f在點R取得極小值;2 .(ii)當 fxx(F0) 0, ( fxx fyyfxy)(R) 0 時，f 在點 P0 取得極大值;(iii)當(fxxfyy fxy)(B)

12、0時，f在點P0不能取得極值；(2)當(fxxfyy fxy)(P0) 0時，不能肯定f在點已是否取得極值.這是對二元函數(shù)求極值比較實用的方法，但在用這個方法時需要注意一些問題.1)(fxxfyy fxy)(P0) 0時，可能有極值也可能沒有極值，需要另作討論.例如函數(shù)f(x,y) x4 y6與g(x,y) x4 y6 ,容易驗證這兩個函數(shù)都以點(0,0)為穩(wěn)定點，且在點(0,0)處都滿足(fxx fyyfxy)(0,0)0 ,但f (x, y)在點(0,0)處取極小彳1,而g(x, y)在點 (0,0)處不取極值.2)如果函數(shù)在個別點的偏導數(shù)不存在，這些點顯然不是穩(wěn)定點，但也可能是極值點，因

13、此我們 在討論函數(shù)的極值問題時，對這些點也應(yīng)當考慮.例如函數(shù)z &_y2 ,顯然在點(0,0)的偏導數(shù)不存在，但是該函數(shù)在點(0,0)點卻具有極小值.一般在高等數(shù)學教材中，對像這樣的二元函數(shù)并沒有明確給出在偏導數(shù)不存在處求極值的方法，他們只是根據(jù)初等數(shù)學中函數(shù)圖像的性質(zhì)推斷出在 該點能否取極值.對此我參考對特殊一元函數(shù)求極值的方法推導出了對特殊二元函數(shù)求極值的一般 解法.3.2二元函數(shù)在偏導數(shù)不存在處求極值的特殊方法命題1設(shè)(x0, y0)為f (x, y)的極大(小)值點，則有：1) f 2n 1(x,y)與f (x, y)有相同的極值點和極值類型，即(x0,y0)也為f2n 1(x, y)

14、的極大(小)值點；2)當f(x,y) 0時,f 2n(x, y)與f (x, y)有相同的極值點和極值類型,即(xo,y0)為f 2n(x, y)的極大(小)值點；當f(x, y) 0時，f 2n(x, y)與f (x, y)仍有相同的極值點，但它們的極值類型 恰恰相反，即(xo，y0)為f2n(x, y)的極小(大)值點.下證結(jié)論1) , 2 ),1)證 由極值的定義知，若(x0,y0)是f (x,y)的極大(小)值點，則對于 (x0, y0)的某一鄰域 內(nèi)的任一點(x,y)都有 f (x, y)f(x0,y0)(或 f(x,y) f(x0,y),故有2n 12n 12n 12n 1 z、f

15、 (x, y) f(x, y)(或 f (x, y) f(x, y).匚上 什(2n 12n 12n 12n 1 .反之，右 f (x,y) f(x0,y0)(或 f (x,y) f(x0,y。)，則有f (x,y) f(x0,y0)(或 f(x,y) f(x0,y。)，_ 2n 1即f (x, y)與f (x, y)有相同的極值點和極值類型.2)當f (x, y) 0時，結(jié)論很明顯，證略.下證當 f (x, y) 0時，由于f (x, y) 0 ,故f即 f2n(x, y) f2n(x0,y0).例5 求函數(shù)z (x2分析：直接對z求偏導，f (x, y) f (x0,y。)，2n 1(x,

16、 y) f (x, y) f2n 1(x, y)f (x, y),所以(x, y)是f (x, y)的極小值點.22 1二x y 二y )2(12 y2)2(0 a b)的極值.a bx1 2x- ( )y2y1 ( )x2 2y-x2( 2,2)yy( 2,2)x,2則有 zx, aa b, zy f a bbx122yl22,22xy，|,22xy(x y )(12/)(x y )(12：)a ba b所以有證 不妨設(shè)(x0,y0)是f (x, y)的極大值點，則對(xO, y)的某鄰域內(nèi)有f (x, y)f(x0,y0),顯然計算相當麻煩，且(0,0)點為函數(shù)z的不可導點，但也可能是函數(shù)

17、的極值點，故直接求導不可取,這時可利用命題1來求解.22解令f z (xy2)(i2%)(0a b)，需先對函數(shù)f求偏導，令fx2x1解得穩(wěn)定點(0,0) , (0,f xx因為在點(0,0)有 ACB2在點(0,=)有 AC ,2B2而在點(fy2y12x2-2a1(a(二a1、22)xb0,0.(a2_ 212x2C fxy,0)，2(3a0,且有A0,且有A*)y2, b b2 嗎 A)a2五,0)有AC B 0,故函數(shù)fxy12y2丁,11、4(/它所0,故點(0,0)為函數(shù)f的極小值點;0,故點(0,子)為函數(shù)f的極大值點;, , a -f在點(-y=,0)不取極值.bb又因為z0,

18、從而由命題1可得函數(shù)z在點(0,0)取得極小值0,在點(0, 7)取得極大值-.4求解隱函數(shù)無條件極值的常用方法4.1利用顯函數(shù)極值問題的相應(yīng)結(jié)論定理5 5(P26) 設(shè)函數(shù)f(x,x2,L ,xn,y)具有一階、二階連續(xù)偏導數(shù)，且 fy(X,x2,L ,xn,y) 0 ,則由方程 f(x1,x2,L ,xn,y) 0 所確定的 n 元函數(shù) y y(x1，x2,L 兇)在 點 P0(x,X2,L ,x0)取得極值的必要條件是：fxi(x0,x,L x0, y0) 0 (i 1,2,L ,n)其中0 0 0 0f (Xi ,X2,L Xn,y ) 0.右記 hj0000、fxXj (Xi ,X2

19、,l Xn,y )0000 、fy(Xi ,X2,L Xn, y )(i, j 12L,n),H(P0) (hij)nn .那么，當H(P0)為正定矩陣時，y y(Xi,X2,L ,Xn)在P0處取得極小值；當 H(P0)為負定矩陣時,y y(Xi,X2,L ,Xn)在P0處取得極大值；當H(P0)為不定矩陣時，y y(x, x2,L , Xn)在P0處不取例6求由方程2x2解令 f (x,y) 2x2得極值.y2 z2 2xy 2x 2y 4z 4 0所確定的函數(shù)z z(x, y)的極值.22一一一.、一 .一yz2xy2x2y4z 4 ,解萬程組fx 4X 2y 2 0, fy 2y 2x

20、 2 0, f 2x2 y2 z2 2xy 2x 2y 4z 4 0.解得穩(wěn)定點為 R(0,i,i), P2(0,1,3),進而可得fxX 4,fxy2,fyy2, fz2, fz(P2) 2,H(P)所以H(P2)顯然H (P)為正定矩陣，H (P2)為負定矩陣.由定理5可知函數(shù)zz(x, y)在點P(0,1)處取得極小值1,在點P2(0,1)處取得極大值3.4.2利用拉格朗日乘數(shù)法6(P167)這種方法是把原方程中的隱函數(shù)設(shè)為目標函數(shù)，把原方程設(shè)為約束條件，將隱函數(shù)極值問題轉(zhuǎn) 化為求條件極值的問題.例7 求由方程2x2 2y2 z2 8xz z 8 0所確定的隱函數(shù) z z(x, y)的極

21、值.解 取目標函數(shù)f (x, y,z) z ,約束條件為原方程，作輔助函數(shù)_ 2_ 22一一L(x, y,z, ) z (2x2yz8xzz 8),解得115由于故所求之點P(,0,7值點.由此得所求函數(shù)LxLyLz2x0,2y1,穩(wěn)定點15Lxx 4fxx fyyf 21 xy0,0,8xz耳嚀,。,z 8 0.8), P2( 2,0,1),Lxy0，Lyy2160(0),7)，P2(2,0,1)均為極值點，且當0時為極大值點，當0時為極小z z(x, y)的極大值為一，極小值為1.同樣例1也可以用這種方法求解.5求解條件極值的常用方法5.1代入法化為無條件極值問題這種方法一般是從條件方程(

22、以二元條件極值為例)(x, y) 0中解出顯函數(shù) y y(x)代入z (x,y(x)中化為無條件極值問題，從而使問題簡化.將代入求函數(shù)f(x,y)在條件xy 1 0下的極值.f(x,y),得x2 (1x)2 2x2由二次函數(shù)的頂點式可知當1 ,一時，f取得極小值 2顯然用這種方法比拉格朗日乘數(shù)法更簡潔，但在求解過程中要注意幾個問題:1)這種方法適合用于比較簡單的、含自變量較少函數(shù)，一般不超過三個;對有些約束條件較復雜、不易從約束條件中解出顯函數(shù)的函數(shù)，這時不適合用代入法求解;3)在求解過程中如果不注意代入的條件則可能導致不完整甚至錯誤的答案7( P42)例如求解原點到曲面(xy)2z21的最短

23、距離.用代入法求解時，如果將Z2 1 (x y)2代222、uux 2y 0, 一入u x y z得uxy1(x y) 1 2xy，由得可能的極值點為uy 2x 0.22P(0,0,1)與P2(0,0, 1),此時R, P2到原點的距離均為1,而曲面(x y) z1存在到原點的11 TOC o 1-5 h z 距離比1小的點，比如P( 一, 一,0)就是這樣的點，因此用代入法求解時， 這樣的最短距離不存在. 而 22 HYPERLINK l bookmark68 o Current Document 111 1用拉格朗日乘數(shù)法求解時，則可得到二個可能的極值點分別是P3(-, 1,0)與P4(，

24、1,0),且從222 2幾何圖形不難看出 P3 , P4正是兩個最值點，最短距離為? .原因是求u x2 y2 z2在約束條件(x y)2 z2 1的最值時，x與y的取值范圍必須滿足x y 1 ,而將z2 1 (x y)2代入222 一一u x y z后得u 1 2xy , x與y的取值氾圍都已是(，).利用拉格朗日乘數(shù)法用拉格朗日乘數(shù)法可求解含更多自變量的條件極值且無需解出顯函數(shù)，其方法簡捷.但其不足之處是所求的點只是可能的極值點，在解題過程中通常是根據(jù)問題的實際情況來推測.若想要確定該點是否是極值點及在該點的極值類型則需要根據(jù)拉格朗日函數(shù)L的二階微分符號來判斷.定理6 8( P257 P2

25、58)設(shè)P0是拉格朗日函數(shù)L的穩(wěn)定點，則21)若d L(P0) 0,則函數(shù)f在P。取條件極??；22)若d L(P0) 0,則函數(shù)f在P。取條件極大.42222一，例 9 求函數(shù) f (x1，x2,x3,羽)x1x2x3x4在條件akxk1(ak0,k 1,2,3,4)下的k 1極值.4解 設(shè)拉格朗日函數(shù)為L(x1, x2, x3,x4)x；x；x；x：(akxk1),k 1對L求偏導并令它們都等于 0,則有 TOC o 1-5 h z Lxi 2xiai 0,Lx22x2a20,LX32x3a30,LX42X4氏0,4 akxk 1 0. k 13,2akk 1解得Xi Mi 1,2,3,4)

26、, 2 ak k 1 ,2.又當 I、時， 2 ak k 1 2_220,14d L 2(d X1 L d X4)所以當xi Y(i 1,2,3,4)時，f取得極小值，極小值為 a： k 1運用梯度法求條件極值n 1,L ,Xn)igrad i(X1,X2,L ,Xn),鉆i 1的4) 0,(i 1,2,L ,n 1).將梯度法用于求條件極值問題，方程組解就是所求極值問題的可能極值點9( P35).例109( P35)試求n個正數(shù)，其和為定值n X1X2L Xngradf (一，X2 i(X1,X2,L ,l的條件下，什么時候乘積最大，并證明1， 一(X1 X2 LXn).n證本題的實質(zhì)是求y

27、 f(x1, x2,L,xn)x(x2Lxn在條件x1x2Lxnl下的最大值問題.根據(jù)本文定理，列出下列方程組，求解可能的極值點grad(x1X2L %)grad(x1 X2 LXn l),x1 x2 Lxn l.進一步求解得容易得到X2X3L XnLX1X2LxnXiXn ,L1.X2根據(jù)題意，則（-,-,L ,-）是唯一的極大值點L , XiX2 L Xn 11,1L ,1 ,也是最大值點.所以l nf(X1,X2,L ,Xn)一n即 n X1X2L Xn1 ,.一(X1 x2 L n利用球面坐標求條件極值利用空間坐標點M的直角坐標（X,y, z）與球面坐標（，,）之間的關(guān)系，應(yīng)用這一變換

28、可求解含平方和（或可化為含平方和）運算的條件極值問題10( P96)例111（P96）求函數(shù)uX2y2z2在條件（X y）2z21下的極值.解 利用球面坐標法，由目標函數(shù) u X2 y2 z2 ,可設(shè) x布sincos , y 而sin sin ,z Vu cos ,代入約束條件可得 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 2sin2 (2 sin2 ) 1 2u HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 31 1(當 -, 一時取等號)，于是u ,故所求極小值為u . HYPE

29、RLINK l bookmark122 o Current Document 422利用球面坐標求解條件極值問題其解法優(yōu)于代入法、乘數(shù)法，且解法簡潔，省去了對極值充分 性的考慮，比一般的方法省事許多，同時所獲得極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?6極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別及最值應(yīng)用在日常生活、工程技術(shù)與生產(chǎn)實踐中，我們常會遇到這樣的問題：在一定的條件下，怎樣才能 使產(chǎn)品最多而用料最省，成本最低而利潤最大等，這些問題通常都歸結(jié)為數(shù)學中的最值問題.下面我們給出最值的定義12（ P80）定義2設(shè)函數(shù)f在區(qū)域D上連續(xù)，如果存在 D中的點F0, P使得f（Po） M , f （P1） m, 且對于任意的點 P

30、D都有m f （P） M ,則稱M為f在D上的最大值，m為f在D上的最小值，Po稱為最大值點，P稱為最小值點.最大值與最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點與最小值點統(tǒng)稱為最值點最值和極值在某種程度上有相似點，也有不同點，了解了極值與最值的關(guān)系有助于求解函數(shù)的最值極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：1 ）極值是函數(shù)在某點的局部性質(zhì)，而最值是函數(shù)在區(qū)域的整體性質(zhì)；2）在給定的區(qū)域上極值可能有多個，而最大（?。┲底疃喔饔幸粋€；3）在區(qū)間內(nèi)部最值一定是函數(shù)在某個區(qū)域的極值，極值未必是最值；4）極值點不能是邊界點，最值點可以為邊界點；5）如果函數(shù)的最值在某個區(qū)域內(nèi)取得，該點一定是極值點；6）在整個區(qū)域上極小值可能大于極大值，

31、而最小值一定不大于最大值所以要求函數(shù)在區(qū)域上的最大（小）值，只要比較函數(shù)在所有穩(wěn)定點、不可導點和區(qū)域的邊界點上的函數(shù)值，就能從中找出函數(shù)在該區(qū)域上的最大值與最小值通常在求閉區(qū)域上的多元函數(shù)的最值時，都按下列步驟進行第一步：在區(qū)域內(nèi)部求出函數(shù)的所有穩(wěn)定點和偏導數(shù)不存在的點；第二步：計算在這些點處的函數(shù)值及函數(shù)在區(qū)域邊界上的函數(shù)值；第三步：比較上述所求值的大小，最大（小）者為最大（?。┲翟趯嶋H問題中，根據(jù)對問題的分析知函數(shù)的最值存在，而函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部只有一個穩(wěn)定點，則函數(shù)在該點的值就是所求的最大（?。┲道?127（ P176） 假設(shè)某企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一種產(chǎn)品， 兩個市場的需求價格分別是 P118 2Q1 ，P212Q2 （單位：萬元噸），Q1，Q2分別表示該產(chǎn)品