2022年全國(guó)新課標(biāo)高考模擬試題

1、2022 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)） 理科數(shù)學(xué)第一卷一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給同的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知集合 A 1,2,3,4,5 , B (x, y) x A, y A, x y A；,則中所含元素的個(gè)數(shù)為（）【解析】選x 5, y 1,2,3,4 ， x 4, y 1,2,3 ， x 3, y 1,2 ， x 2, y 1 共 10 個(gè)（2）將名教師，名學(xué)生分成個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)， 每個(gè)小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有（）種種種種【解析】選甲地由名教師和名學(xué)生：C1C 2 12

2、種24（3）下面是關(guān)于復(fù)數(shù) z 2的四個(gè)命題：其中的真命題為（）1 ip : z 2p12: z2 2i的共軛復(fù)數(shù)為p4: z 的虛部為p , p23p , p12p , pp , p【解析】選22(1 i)z 1 i (1 i)(1 i) 1 ip : z 1， p : z222 2i ，的共軛復(fù)數(shù)為1 i ， p4: z 的虛部為設(shè)是橢圓 E :x2 y2 a2b2 1(a b 0) 的左、右焦點(diǎn)，為直線(xiàn) x 3a上一點(diǎn)，2F PF 是底角為的等腰三角形，則的離心率為（）211223【解析】選F PF 是底角為的等腰三角形 PF F F 2(a c) 2c e c 332122 12a4已

3、知為等比數(shù)列，a a47（）【解析】選 2 ，a a5 6 8 ，則a a110a a47 2，a a5 6 a a4 7 8 a4 4, a7 2或a 2, a 447a 4, a47a 2, a 2 a1 4 a 8, a10 8, a 1 a a110 1 a a 7 747101110如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入正整數(shù)N (N 2) 和實(shí)數(shù)a , a12A B 為 a , a,., an,., a，輸出，則（）的和12nA B 為 a , a,., a的算術(shù)平均數(shù)212n和分別是a , a12和分別是a , a12【解析】選,., an,., an中最大的數(shù)和最小的數(shù)中最小的數(shù)和最大的

4、數(shù)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線(xiàn)畫(huà)出的 是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）【解析】選該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為此幾何體的體積為V 1 1 6 3 3 932等軸雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線(xiàn)y 2 16x 的準(zhǔn)線(xiàn)交于3兩點(diǎn)， AB 4；則的實(shí)軸長(zhǎng)為（）【解析】選設(shè)C : x2 y2 a2 (a 0) 交 y 2 16x 的準(zhǔn)線(xiàn)l : x 4 于 A(4, 23) B(4, 23)得： a2 (4)2 (23) 2 4 a 2 2a 4（9）已知 0 ，函數(shù) f (x) sin(x ) 在4( ,) 2上單調(diào)遞減。則的取值范圍是（）15131,2 42(0,42

5、【解析】選 2 (x ) 59, 不合題意 排除444 1 (x ) 3 , 5 合題意 排除(B)(C)444另： ( ) 2 ， (x ) , 3,2得： , 43 241 54222424224已知函數(shù) f (x) 1ln(x 1) x；則 y f (x) 的圖像大致為（）【解析】選g(x) ln(1 x) x g(x) x1 x g(x) 0 1 x 0, g(x) 0 x 0 g(x) g(0) 0得：或1 x 0 均有 f (x) 0排除 A,C, D （lbylf x）已知三棱錐S ABC 的所有頂點(diǎn)都在球的求面上， ABC 是邊長(zhǎng)為的正三角形， 為球的直徑，且SC 2 ；則此棱

6、錐的體積為（）23226632【解析】選36ABC 的外接圓的半徑r ，點(diǎn)到面的距離d R2 r 2 33為球的直徑點(diǎn)到面的距離為2d 263此棱錐的體積為V 1 S 2d 1 3 26 23ABC3436另：V 1 S3ABC 2R 13 排除 B,C, D6設(shè)點(diǎn)在曲線(xiàn) y ex 上，點(diǎn)在曲線(xiàn) y ln(2 x) 上，則最小值為（）21 ln22(1 ln 2)1 ln22(1 ln 2)【解析】選函數(shù) y 1 ex 與函數(shù) y ln(2 x) 互為反函數(shù)，圖象關(guān)于 y x 對(duì)稱(chēng)21 ex x 2211函數(shù) y ex 上的點(diǎn) P(x,ex ) 到直線(xiàn) y x 的距離為d 22111 ln 2

7、2設(shè)函數(shù) g(x) ex x g(x) ex 1 g(x) 1 ln 2 d22minmin由圖象關(guān)于 y x 對(duì)稱(chēng)得：最小值為2d2(1 ln 2)min第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13 題第 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答， 第 22-第 24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分。【解析】 b 2a b 10 (2a b)2 10 4 b 2 4 b cos 45 10 b 32已知向量夾角為 ，且 a 1, 2a b 10 ；則 b x, y 0(14) 設(shè)滿(mǎn)足約束條件： x y 1 ；則 z x 2 y 的取值范圍為 x y 3

8、【解析】 z x 2 y 的取值范圍為3,3約束條件對(duì)應(yīng)四邊形OABC邊際及內(nèi)的區(qū)域： O(0,0), A(0,1), B(1,2),C(3,0)則 z x 2 y 3,3某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布 N (1000,502 ) ，且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò) 1000 小時(shí)的概率為3【解析】使用壽命超過(guò) 1000 小時(shí)的概率為8三個(gè)電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布N (1000,502 )得：三個(gè)電子元件的使用壽命超過(guò)1000 小時(shí)的概率為

9、 p 123超過(guò) 1000 小時(shí)時(shí)元件 1 或元件 2 正常工作的概率P1 1 (1 p)2 4那么該部件的使用壽命超過(guò)1000 小時(shí)的概率為 p2數(shù)列滿(mǎn)足a (1)n a 2n 1，則的前項(xiàng)和為n1n【解析】的前項(xiàng)和為 p p 318可證明： bn1 a4n1a4n2a4n3a4n4 a4n3a4n2a a4n24n 16 bn 16b a a112a a34 10 S15 1015 1514216 1830三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿(mǎn)分 12 分）已知a,b, c 分別為ABC 三個(gè)內(nèi)角 A, B,C 的對(duì)邊， a cos C 3a sin C b

10、 c 0（1）求（2）若， ABC 的面積為；求。【解析】（1）由正弦定理得：a cos C 3a sin C b c 0 sin A cos C 3 sin Asin C sin B sin C sin A cos C 3 sin Asin C sin(a C) sin C13 sin A cos A 1 sin( A 30 ) 2 A 30 30 A 60（2） S 1 bc sin A 3 bc 42a2 b2 c2 2bc cos A b c 4解得： b c 2 （l fx lby）18.（本小題滿(mǎn)分 12 分）某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價(jià)格出售，

11、 如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝， n N ）的函數(shù)解析式?；ǖ暧涗浟?100 天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：以 100 天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花，表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn) 16 枝或 17 枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn) 16 枝還是 17 枝？ 請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥浚?）當(dāng)n 16 時(shí)， y 16 (10 5) 80當(dāng)n 15 時(shí)， y 5n 5(16 n) 10n 8010n 80(n 15)得： y 80（

12、2）（i）可取，(n 16)(n N )P( X 60) 0.1,P(X 70) 0.2, P(X 80) 0.7的分布列為EX 60 0.1 70 0.2 80 0.7 76DX 162 0.1 62 0.2 42 0.7 44（ii）購(gòu)進(jìn) 17 枝時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)為y (14 5 3 5) 0.1 (15 5 2 5) 0.2 (16 5 1 5) 0.16 17 5 0.54 76.476.4 76 得：應(yīng)購(gòu)進(jìn) 17 枝（19）（本小題滿(mǎn)分 12 分）如圖，直三棱柱 ABC A B C中， AC BC 1 AA ，是棱的中點(diǎn)， DC111121 BD證明： DC1求二面角 A1 BCBD

13、C1的大小。【解析】（1）在 RtDAC 中， AD AC得： ADC 45同理： A DC 45 CDC 90111得： DC1 DC, DC1 BD DC1 面 BCD DC1 BC（2） DC1 BC, CC1 BC BC 面 ACC A11 BC AC取的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作OH BD 于點(diǎn)，連接C O, C H11AC B C C O A B ，面 A B C 面 A BD C O 面 A BD111111 1111111OH BD C H BD得：點(diǎn)與點(diǎn)重合1且C DO 是二面角 ABD C的平面角1112a設(shè) AC a ，則C O ， C D 2a 2C O C DO 30既二面角 A1

14、1BD C12111的大小為（20）（本小題滿(mǎn)分 12 分）設(shè)拋物線(xiàn)C : x2 2 py( p 0) 的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為， A C ，已知以為圓心，為半徑的圓交于兩點(diǎn)；（lbyl fx）若BFD 900 ， ABD 的面積為；求的值及圓的方程；若 A, B, F 三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，直線(xiàn)與平行，且與只有一個(gè)公共點(diǎn)， 求坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值?！窘馕觥浚?）由對(duì)稱(chēng)性知： BFD 是等腰直角，斜邊BD 2 p點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離d FA FB 2 pS 4ABD 1 BD d 4 2 p 222圓的方程為 x2 ( y 1)2 80由對(duì)稱(chēng)性設(shè) A(x ,0 x2 )(x 2 p0p0) ，則F (0,) 2

15、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)得： B(x, p x2 ) p x2 x2 3 p2p0002 p2 p203 p3 p p得： A(3 p, 3 p )，直線(xiàn)m : y 222 x p x 3y 03 p22333 p2x 2 py y x2 y x x p 切點(diǎn) P(, p )2 pp333633直線(xiàn)n : y p (x 3 p ) x 3y p 06336坐標(biāo)原點(diǎn)到距離的比值為（21）（本小題滿(mǎn)分 12 分）: 3 。（lfx lby）3 p3 p261已知函數(shù)滿(mǎn)足滿(mǎn)足 f (x) f (1)ex1 f (0)x x2 ；2求的解析式及單調(diào)區(qū)間；1若 f (x) x2 ax b ，求(a 1)b 的最大值

16、。21【解析】（1） f (x) f (1)ex1 f (0)x x22 f (x) f (1)ex1 f (0) x令得： f (0) 11f (x) f (1)ex1 x x2 f (0) f (1)e1 1 f (1) e2得： f (x) exx x212 g(x) f (x) ex1 xg(x) ex 1 0 y g(x) 在 x R 上單調(diào)遞增f (x) 0 f (0) x 0, f (x) 0 f (0) x 0得：的解析式為 f (x) exx 1 x22且單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ) ，單調(diào)遞減區(qū)間為(,0)（2） f (x) 1 x2 ax b h(x) ex (a 1)x b

17、 0 得h(x) ex (a 1)2當(dāng)a 1 0 時(shí)， h(x) 0 y h(x) 在 x R 上單調(diào)遞增x 時(shí)， h(x) 與h(x) 0 矛盾當(dāng)a 1 0 時(shí)， b ex b 0當(dāng)a 1 0 時(shí)， h(x) 0 x ln(a 1),h(x) 0 x ln(a 1)得：當(dāng) x ln(a 1)時(shí)， h(x)min (a 1) (a 1)ln( a 1) b 0(a 1)b (a 1)2 (a 1)2 ln(a 1)(a 1 0)令 F (x) x2 x2 ln x(x 0) ；則 F(x) x(1 2ln x)F (x) 0 0 x e , F (x) 0 x e當(dāng) x e 時(shí)， F (x)

18、emax2當(dāng)a e 1,b e 時(shí)， (a 1)b 的最大值為 e2請(qǐng)考生在第 22,23,24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分， 做答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。（22）（本小題滿(mǎn)分 10 分）選修 4-1：幾何證明選講如圖，分別為ABC 邊 AB, AC 的中點(diǎn)，直線(xiàn)交ABC 的外接圓于兩點(diǎn)，若CF / / AB ，證明：CD BC ；BCDGBD【解析】（1） CF / / AB ， DF / / BC CF / /BD/ /AD CD BFCF / / AB AF BC BC CD（2） BC / /GF BG FC BDBC / /GF GDE BGD DBC BDC BCDGBD（23）本小題滿(mǎn)分 10 分)選修 44；坐標(biāo)系與參