概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題課中國(guó)礦業(yè)高校徐海學(xué)院彭紅軍L12個(gè)乒乓球中有9個(gè)新球，3個(gè)舊球。第一次競(jìng)賽，取出3個(gè)球，用完以后放回去，其次次競(jìng)賽又從中取出3個(gè)球。（1）求其次次取出的3個(gè)球中有2個(gè)新球的概率；（2）假設(shè)其次次取出的3個(gè)球中有2個(gè)新球，求第一次取到的3個(gè)球中恰有一個(gè)新球 的概率。解：（1）用全概率公式，設(shè)A。表示第一次取出三個(gè)球中有。個(gè)新球，Ai表示第一次 取出三個(gè)球中有1個(gè)新球，A2表示第一次取出三個(gè)球中有2個(gè)新球，A3表示第一次取 出三個(gè)球中有3個(gè)新球，B表示其次次取出的3個(gè)球中有2個(gè)新球。 TOC o 1-5 h z 301203p（4）= /，尸（A）= ”p（4）=三）=/。1

2、2。12。12。12p（B4）= N，p（ba）= 3，p（ = 3，p（5A3）= N I%孰2C|2=0. 455那么 p（b）= p（4）p（a）+ p（4a ）+ p（.）H耳4）+ p（a）p（b|a）（2）用BAYS公式:p（A|8）=尸胭a）=o. 14P（B）2.在某公共汽車站甲、乙、丙三人分別獨(dú)立的等公共汽車。設(shè)每個(gè)人等車時(shí)間 x（單位：分鐘）均聽從0, 5上的勻稱分布。求三人中至少有兩人等車時(shí)間不超過 兩分鐘的概率。解：設(shè)y表示甲、乙、丙三人中等車時(shí)間不超過2分鐘的人數(shù)，那么y3（3,0其中p表示每個(gè)人等車時(shí)間不超過2分鐘的概率，那么p = PX 2 = C1x 0.42

3、x0.6 + C； x0.43 = 0.3523.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：/(%) =ax,ex + b,0,0 x22Vx4 , 其他3E(X) = 2, P1X3=-,試求：(1) 的值；(2) P(2X3)； TOC o 1-5 h z r+8,2,4解：(1)I f(x)dx = axdx+ I (ex + b)dx = 2a + 6c + 2b = lJ xf(x)dx = ax2dx + J xf(x)dx = ax2dx + J-ooJoJ 2(cx + b)xdx = -a + c + 6b = 233Plv X3 = f/(x)dx = faxdx + (ex + b)dx

4、 = a + c + b = 解得：(2) P2X3 = f(x)dx = 25(-ix + l)/x = |4.設(shè)(x,y)的概率密度為f (x,y) =f (x,y) =be-(x+y)00 xl,0joo other求：(1) b的值;(2)PXY ；(3)邊緣概率密度九(%),(y)；(4)問x與y是否相互獨(dú)立?l + e-2- 2e-l2(t)解：(1) +f(xyy)dxdy = b exdxV eydy = 1 ,解得：b = J00 J00Jo Jo(2) P(X y) = dx e-x-ydy =_ p+oo _ /x(x)=r/(“M= FJ0otherc ,、 r+8fb

5、( ex-ydx = b(l- e-1 )e-y90 j +00/y(x) = J/(占 y)dx = j J。0 other.(4)由于/(與y)=/x(X)/y(y)。所以X, Y獨(dú)立.設(shè)圓的直徑聽從（0, 1）上的勻稱分布，求圓的面積的概率密度函數(shù)。7丫2解：設(shè)圓的直徑為X,圓的面積為S,那么S二二直徑的概率密度函數(shù)為九（幻=直徑的概率密度函數(shù)為九（幻=1,0%10, other（2分）7r Y 2面積S的分布函數(shù)%(s) = P(S s) = P(2-7r Y 2面積S的分布函數(shù)%(s) = P(S s) = P(2-5)=尸-2位“2/=P 0X2/=P 0Xo）0 x 0 xo）,

6、假如從總體4中抽取得樣本觀測(cè)值為假如從總體4中抽取得樣本觀測(cè)值為121381411139122219求參數(shù)e的最大似然估量值。解：設(shè)似然函數(shù)為： 101八 -疙/L=(H0eGXi)=* /=， xf 0(1 = 1,20 ,且lnL=10Ee eE巧 1=1（3分）令粵 = 0,那么解得的極大似然估量為：6 = /-，d0白；=1（4分）從而得到e的極大似然估量量為屋詈4=。.。752從而得到e的極大似然估量量為屋詈4=。.。752（3分）.假設(shè)有一商店銷售某種商品，每周進(jìn)貨量X和客戶的需求量y是相互獨(dú)立的 隨機(jī)變量，而且都聽從10,20上的勻稱分布，商店每售一件商品獲利1000元，假如 需

7、求量超過進(jìn)貨量，該商品須從其它商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每件商品可獲利500元， 問：該商店銷售此種商品每周內(nèi)的平均利潤(rùn)。由題意可得：c 10 x20 c 10 j20Jx = 110Jy = 1 100 other0 other設(shè)z為商店每周獲得的利潤(rùn)，那么：ioooyyxZ = X由于x,y相互獨(dú)立，故:/(%) = j 1000,10 x 20,10 j20other所以:f 20 f x1f 20 ey142500 ， 一、E(Z) = J。dxJ jOOOy xJy + JJyJ500(x + j)xdx = (兀)io io 100|。 i。1003.正常人的脈搏平均72次/min,現(xiàn)某醫(yī)

8、生測(cè)得10例慢性四乙基鉛中毒患者的脈 搏(單位：次/min)為：54, 67, 68, 78, 70, 66, 67, 70, 65, 69問四乙基鉛中毒者和正常人的脈搏有無(wú)顯著性差異(假設(shè)四乙基鉛中毒者的脈搏聽 從正態(tài)分布，a = 0.05,%(9) = 2.2622) ?I解：作o： = 72，M：w72由于人未知，采納統(tǒng)計(jì)量na 0.05, n = 10,查表知 Q(9) = 2.2622,2經(jīng)計(jì)算得 X = 67.4, S = 5.929,于是于是67.4-725.929= -2.453.V10由于T-% (9),故拒絕H0,認(rèn)為有顯著性差異。2.某種白熾燈泡的壽命聽從正態(tài)分布。在一批

9、該種燈泡中隨機(jī)地抽取10只測(cè)得其壽命值（以小時(shí)記）為:999. 17993. 051001.841005. 36989.81000.891003. 741000. 231001.261003. 19試求未知參數(shù)及/的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：（1）未知參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為:4 R48% j= /().025 ( - 1) 7n999.853 -=- x 2.262 = 999.853 3.4678(6分)二996.38524003.321（2）未知參數(shù)/的置信度為0.95的置信區(qū)間:(一 1)$2%).025(-1)/1211,5268 21L5268竟97519.023，2.7= 11,1195,78.3433.設(shè)（x,y）的聯(lián)合概率密度為24r/ 、 一y(2-x), 0 xl,