概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題3詳解

1、一、第三章習(xí)題詳解:3.1設(shè)二維隨機(jī)向量(X,y)的分布函數(shù)為：/(x,y) =1 2一27+2”,0,x 0, 0,其他求產(chǎn)lvX2,3y5 .解:由于 F(2,5) = l-2-2-2-5+2-7,尸(1,5) = 1 2- 一2一5+2一6尸(2,3) = 1 - 2-2 - 2-3 + 2-5,b(1,3) = 1 _ 2- 一 2-3 +所以 P(1 X 2,3 V 0, 0, ，其他爭論x,y的獨(dú)立性.解：由于 Fx (x) = lim F(x, y) = - e-x (x0) yKOFy(y) = lim F(x,y) = l-ey (y 0)由于Fx(x)FY(y) = (1-

2、 *)(1 一 e-y) = 1- ex - e-y + e-u+y) = F(x9 y) (x09y 0) 所以，x與y是相互獨(dú)立的。設(shè)x與y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且均聽從區(qū)間(0,1)上的勻稱分布，求x+y 的概率密度函數(shù).解：由于x與y均聽從區(qū)間(o,i)上的勻稱分布，故x與y的邊緣密度函數(shù)分別為：fx(x) =0 xlJl 0ylo其他人)jo其他記2 = 乂 +工由于X與y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，依據(jù)書中72頁()式,Z的概率密 度函數(shù)可以寫為/+COfz(z)= fx(x)fY(z-x)dx當(dāng)0 z 1時(shí)，假設(shè)0 x v z ,那么上(z) = 公=z ；假設(shè)x0或xNz,

3、被積函數(shù)為0,此時(shí)明顯有fz(z) = 0.當(dāng) Izv2 時(shí)，假設(shè) z-l尤 1,那么人(z) = j ldx = 2- z ,假設(shè) xz-l 或 xNl,被積函數(shù)為0,此時(shí)明顯有f7(z) = 0；p+coz的其他情形,明顯有fz(z) = fx(xfY(z-x)dx=0.綜合起來，有 J 00(z, 0 z 1,fz(z)= 2-Z, lz2 其他此題也可以用先求分布函數(shù)然后再求導(dǎo)的方法來解,需要留意的一點(diǎn)是，當(dāng)lz2時(shí)，積 分區(qū)域要分成兩個(gè)局部.3.20設(shè)X與y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)分別為/x(x)= /x(x)= 0,求x+y的概率密度函數(shù).解：記2 = 乂 + 丫,由

4、于X與丫是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，依據(jù)書中72頁o式, z的概率密度函數(shù)可以寫為人(z)= fx(x)fY(z-x)dx,于是有/z(Z)= /z(Z)= 0,z x其他e 6 edx 6其他e 3(1- 6) z 00其他設(shè)二維隨機(jī)向量(x,y)的概率密度函數(shù)為于(x, y)=(2 x y), 0 x 1,0 1,其他求2 = 乂 + 丫的概率密度函數(shù).解：依據(jù)書中72頁()式,Z的概率密度函數(shù)可以寫為當(dāng)0zl時(shí)，假設(shè) 0 xz,那么 fz(z)= (2-x-y)dx= (2-x-(z-x)dx = (2-z)x=(2-z)z,假設(shè)x0或xz,被積函數(shù)為0,此時(shí)明顯有人(z) = 0；當(dāng)lz

5、v2時(shí)，假設(shè)zIvxvl,那么 1yz(z) = J (2 = j (2 -x-(z-x)dx = (2-z)x=(2-z)2,假設(shè)xz 1或被積函數(shù)為0,此時(shí)明顯有人(z) = 0；z的其他情形，明顯有人(z) = 0 .綜合起來，有，z(2-z), 0 z 1,1yz(z)= (2 z)?, lz2、0, 其他設(shè)隨機(jī)變量XUQM Y聽從參數(shù)為1的指數(shù)分布,并且X與丫相互獨(dú)立,求maxX,Y的概率密度函數(shù).解：由于X。0,1,所以分布函數(shù)為0,x 0,Fx(x) = X, 0 x 1.由于y聽從參數(shù)為1的指數(shù)分布，所以分布函數(shù)為4(y) =4(y) =-ey. y 200,y 0,X與y相互

6、獨(dú)立，故maxX,y的分布函數(shù)為0, z 0,%(z) = Fx (z)4(z) = z(l Z), 0 z 1,(1 c, zl,對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)以后得maxX,y的密度函數(shù)0, z 0,4ax(z) = /(z) = l,3.23設(shè)隨機(jī)變量X。1,丫U0,2,并且X與丫相互獨(dú)立，求minX,Y的概率密度函數(shù).解：由于X。0,1,所以分布函數(shù)為0,x0,Fx (x) = x, 0 x 1.由于y。0,2,所以分布函數(shù)為9,y 0,片(y)= Jy 0yiJyi.X與y相互獨(dú)立，故maxX,Y的分布函數(shù)為0, z 0,5n (z) = 1 1 弓1 K (Z) = ： z(3 z), 0 z 1

7、,Z1,對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)以后得maxX,y的密度函數(shù)1.5 z, 0 zl,f .(Z)= b. (z) = 47m,nV) minV)0, 其他設(shè)隨機(jī)變量X, X2,X相互獨(dú)立,并且都聽從正態(tài)分布N（4,4）,求 （X1,X2，X）的概率密度函數(shù).解：由于X卜X2，,X相互獨(dú)立,依據(jù)P76公式（），易知Z = X1 + X2-i卜XN( +4* + b； T卜 W), 于是(XX2,Xn)的概率密度函數(shù)為：之(七-)21=1/（七,，五) = 7% (%)/(%)&區(qū))=C 2標(biāo)n(2萬)%其中，一oo xi 800) = 1 -P(X 0立的隨機(jī)變量，且有相同的概率密度函數(shù)/（x） = 4,

8、求0,%0 x 0/(*)= 八0,x 00,x 0,二、第三章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充:(1)聯(lián)合分布 離散型假如二維隨機(jī)向量4的全部可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)?x,y),那么稱j為離散型隨機(jī)向量。設(shè)右二(X, Y)的全部可能取值為(七.，X )。j = 12)，且大事4二(七，兀)的概率為Pa,稱P(X,Y) = (x,., y.) = Pij (/, j = 1,2, .)為右二(X,y)的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布 有時(shí)也用下面的概率分布表來表示：二yi yj X1PhP12 Pu X2P21P22 P2J * * * * *XiPil Pij * * *這里夕叮

9、具有下面兩共性質(zhì): (1)Pi?。(i, j= 1,2,);ZZ Pij =上i j連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量J =(x,y),假如存在非負(fù)函數(shù)/(X, y)(-oo X +00,-00 y +oo),使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊 分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D,即D=(X, Y)|axb,cyd 有P(X,y)wO = J7(%,y)公辦， D那么稱J為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱/(演y)為片(X,丫)的分布密度或稱為(x,y)的聯(lián)合分布密度。分布密度/(x, y)具有下面兩共性質(zhì)：/(%,y)20;/(x, y)dxdy = 1.-QC J-CO(2) 二維隨機(jī)變量的本質(zhì)(2) 二維隨機(jī)變量的本質(zhì)4（x=%y

10、= y）=Kx=xny = y）(3) 聯(lián)合分布 函數(shù)設(shè)(x,y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)%，入二元函數(shù)F(x,y) = PXx,Yy稱為二維隨機(jī)向量(X, Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函 數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以大事(外,692)|-00X(691) X,yo K(692)的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)b(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1) 0 F(x, y) 不時(shí)，有尸(孫丁)之尸(，y)；當(dāng)為 %時(shí)，有尸(力,必)之尸有，)；(3)尸(x,y)分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x,

11、 y + 0);(4) F(-oo,-oo) = F(-oo,y) = F(x,-oo) = 0,F(+oo,+oo) = 1.(5)對(duì)于 x2, % Fg, y2)-F(x2,必)一尸(王，為)+/(為，必)之(4)離散型與連 續(xù)型的關(guān)系P(X = x, Y =P(x X x + dx, y Y y + dy) f(x, y)dxdy(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為P P(X =巧)=Z Pij (Lj = 1,2,)； jY的邊緣分布為P.j =尸(V =匕)=Z Pij (i，J = 1,2,)。 i連續(xù)型X的邊緣分布密度為r+oo fx(x) = J/(x, y)y；Y的邊緣分布密度

12、為/-KOfY(y)=J-00(6)條件分布離散型在六石的條件下，Y取值的條件分布為Pi.在人為的條件下，X取值的條件分布為P(X = ” = x)= Ap.j連續(xù)型在Y二y的條件下，X的條件分布密度為 )=0”;在X二x的條件下，Y的條件分布密度為八(7)獨(dú)立性一般型F(X, Y)=Fx(x)FY(y)離散型Pij = Pj有零不獨(dú)立連續(xù)型f(X, y)=fx(x)fY(y)直接推斷，充要條件：可分別變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分 布一 /、2/2 -/、12(1)6 J6b21 2 J/(x,y)=i，2g- pp =0隨機(jī)變量的 函數(shù)假設(shè)Xb X2, -Xm, Xm+l,Xn相互獨(dú)立

13、,h, g為連續(xù)函數(shù)，那么： h (Xl, X%Xm)和g (Xm+1,Xn)相互獨(dú)立。特例：假設(shè)X與Y獨(dú)立，貝|J： h (X)和g (Y)獨(dú)立。例如：假設(shè)X與Y獨(dú)立，那么：3X+1和5Y-2獨(dú)立。（8）二維勻稱分 布設(shè)隨機(jī)向量（X, Y）的分布密度函數(shù)為(羽 y)eDf(x, y)=0,其他其中Sd為區(qū)域D的面積，那么稱（X, Y） U （D）o聽從D上的勻稱分布，記為（X, Y）圖3. 1圖3. 3故(x,y)的概率分布為XY13001/813/8023/80301/83.4設(shè)二維隨機(jī)向量(x,y)的概率密度函數(shù)為:a(6-x-y),0,01,02, 其他(1)確定常數(shù)；(2)求 px4

14、o5y1.5 (3)求P(X, Y) e D，這里。是由x = 0,y = 0,x+y = l這三條直線所圍成的三角形區(qū)域.解:r+oo 廣+oo/! 02(1)由于 J J J(x, y)dxdy = )(6 - x - y)dxdy“g(6 x y)2 dx = -|j(6-x)2 -(4-x)26k=2。j (5 - x)dx = 9a+co-oo于(x, y)dxdy = 1,得 9q=1 ,故 q=1/9.-00p0.5 fl .5 1P(X0.5,r0，1川1是5個(gè)參數(shù)，那么稱(X, Y)聽從二維正態(tài)分布，t己為(X, Y)N (由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣

15、分布仍為正態(tài)分 布，即 xn(i，b；),yN(2,bW但是假設(shè)XNNQb；)，(x，y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y依據(jù)定義計(jì)算：Fz(z) = P(Zz) = P(X + Y 0,我們稱隨機(jī)變量w聽從自由度為n的分布,記為WZ2(/2), 其中n4-001x2 exdx.o所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量 分布中的一個(gè)重要參數(shù)。才2分布滿意可加性：設(shè)Z = Z匕/I% +% +, + %)t分布設(shè)X, Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)Y/n的概率密度為二、-二、-(X) t 0, y0,其他(1)求分布函數(shù);(2)求 pyx解：求分布函數(shù)尸（x

16、,y）;當(dāng)x0,y0,F(x, y) = J： J： f (憂,v)dudv =J： 2人2 辦=2e-2udu e-vdv =(1- 2x)(l- e-y)其他情形，由于/(x,y)=0,明顯有2x,y)=0。綜合起來，有/(羽y)=/(羽y)=（1-產(chǎn)）（1一噸,0,x 0, y0,其他(2)求 pyxPX y:我2人2心)公=2e ydye2xdjcr +00 71Q +oo |=e3ydy =ey -J。303f(x, y)=f(x, y)=向一個(gè)無限平面靶射擊，設(shè)命中點(diǎn)（X,y）的概率密度函數(shù)為 一二，一 %+8, (l + x +y )求命中點(diǎn)與靶心（坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離不超過Q的概率

17、.解：P(X2 +Y2 a2) =112x +ydrc 111=271 21 + 廣aJ =1 0a2設(shè)二維隨機(jī)向量（X,y）的概率分布如下表所示，求X和y的邊緣概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：由于 P（X = 1） = 0.15 + 0.25 + 0.35 = 0.75p（X = 3） = 0.05 + 0.18 + 0.02 = 0.25所以，X的邊緣分布為X13P0.750.25由于 p（y = 0）= 0.15 + 0.05 = 0.20p（y = 2） = 0.25 + 0.18 = 0.43p（y = 5） = 0.35+ 0.02 =

18、0.37所以，丫的邊緣分布為Y025P0.200.430.37設(shè)二維隨機(jī)向量(x,y)的概率密度函數(shù)為f（x, y） = 2。,0 x2,01,其他求邊緣概率密度/x(x),/y(y).解：由于，當(dāng) 0%2 時(shí)，fx (x) = j f(x, y)dy = xy2dy = 3 =搭；其他情形,明顯/x(x) =。,所以，x的邊緣分布密度為x/2 0 x2fx W = | 0其他又由于，當(dāng)OWyWl時(shí)、/y(y)=18/(乂、)力；=(_|孫2公=1%2/2=3;/其他情形，明顯力(y) = 0.所以，丫的邊緣分布密度為力(、)= 3y2o 1其他設(shè)二維隨機(jī)向量（X,y）的概率密度函數(shù)為4.8y

19、(2-X),0, 其他求邊緣概率密度/x（x）,/y（y） 解，積分區(qū)域明顯為三角形區(qū)域，當(dāng)。xl時(shí)，0yx,因此7X（X）=匚 /（X，y）dy = 4.8X2 -x）dy = 2.4（2 一 x）y2卜=2.4（2 - x）/ ；2.4Y(2 x) 0 xl于x（x）=其他情形，明顯/x（x）二 所以，X的邊緣分布密度為其他同理，當(dāng)0yWl時(shí)，因此4(y) = J /(x,y)dx = j 4.8y(2 x)dx = 2.4y(4x-x2) = 2.4y(3-y + y2)其他情形，明顯4（y） = 0.所以，y的邊緣分布密度為人（y） =人（y） =2.4y(3-4y + y2)00yl

20、其他設(shè)二維隨機(jī)向量（x,y）的概率密度函數(shù)為I C, X2 V X, 小以外，1他（1）確定常數(shù)C的值.（2）求邊緣概率密度fx （%）, 4 （y） .解：由于=23 1=c （x-x2）dx = c（- - -） = = J。23 （） 6所以c = 6.（2）由于，當(dāng)0 xKl 時(shí)，/x（x）= J：/（x,y）dy =cdy = 6（x ，）所以，X的邊緣分布密度為Y025P1/51/37/15fx (%)=fx (%)=6(x-x2) 0 x 1又由于，當(dāng)0yl時(shí)，力(y)=1J-oo所以，y的邊緣分布密度為其他0/y(y)=其他3.11求習(xí)題3.7中的條件概率分布.解：由T3.7知

21、，X、V的邊緣分布分別是X13P0.750.25Y025P0.200.430.370.25 1(i)當(dāng)x=i時(shí)，y的條件分布為0.15 1p(y = 21 X = 1)=0.75 50.35 _ 7075 -15p(y = 21 X = 1)=0.75 3(2)當(dāng)X=3時(shí)，y的條件分布為p(y = 01 X = 3)=0.051小 0.18 18= r(Y = 2 X = 5)=0.25 50.25 250.02 _ 2025 - 25Y025P1/518/252/25當(dāng)y=o時(shí)，x的條件分布為p(X=3|Y = 0) =噌/0.20 4p(X=3|Y = 0) =噌/0.20 4p(x =

22、i|y = o)= = 30.20 4X13P3/41/4(4)當(dāng)Y=2時(shí)，X的條件分布為n 250 1Rp(x = 11 y = 2) = y = 0.581 P(X = 31 y = 2) = U = 0.4190.430.43X13P0.5810.419當(dāng)丫=5時(shí)，X的條件分布為p(x = 11 y = 5)=0.946 p(x = 31 y = 5)=呼=0.054 0.37037X13p0.9460.054當(dāng)觀看到x=x（ox 1）時(shí)，y在區(qū)間。,1）上當(dāng)觀看到x=x（ox 1）時(shí)，y在區(qū)間。,1）上3.12設(shè)X在區(qū)間（0）上隨機(jī)地取值, 隨機(jī)地取值，求Y的概率密度函數(shù).解：由于fx

23、（X）=1 0 x 10 其他fyx(yx)= h-xy x0 其他所以（X,y）的聯(lián)合密度為于是于是/ (x, y) = fx(x)- fyx (y = 0 xl,xyl其他r-Ko”11fy(j) = y)dx = f 6k = -ln(l-)；) = ln- (0 y 1)J-8JO 1 - x1 - y故y的密度函數(shù)為Inl y0o y 1其他3.13設(shè)二維隨機(jī)向量（x,y）的概率密度函數(shù)為%2 +0,y, 0 xl,0y2, 其他又當(dāng)0yfxwI y)二/(羽 y)fy(y)6x2 + 2xy=v 2+y00 xl其他在X=x的條件下Y的條件概率密度為fyx (y I X)=f(x,

24、 y)/x(x)3x+ y6x + 200y2其他3111ii 1 yP(Y-x=1)= fm(y1)dy = dy3“210 103171=20 40 403.14問習(xí)題3.7中的X與丫是否相互獨(dú)立？ 解：由T3.7知，X、y的邊緣分布分別是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37PX = 1= 0.75, PY = 2 = 0.43，而PX = 1,Y = 2 = 0.25，明顯PX=1 xPy = 2w8乂=1,丫 = 2 = 0.25,從而乂與Y不相互獨(dú)立.3.15設(shè)二維隨機(jī)向量（X,y）的概率分布如下表所示，求X和y的邊緣概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02問。力取何值時(shí),x與y相互獨(dú)立?解：由于