2019數(shù)學(xué)新設(shè)計北師大選修2-1精練：第二章空間向量與立體幾何2.5.3含答案

1、5.3直線與平面的夾角課后訓(xùn)練案鞏固提升.下列有關(guān)角的說法正確的是()A.異面直線所成的角的范圍是B.兩平面的夾角可以是鈍角C.斜線和平面所成角的范圍是D.直線與平面的夾角的取值范圍是解析；異面直線所成的角的范圍是(“3,A錯;兩平面的夾角的范圍是當(dāng),B錯;斜線與平面所成角就是斜線與平 面的夾角，規(guī)定斜線和平面所成角的范圍是 (w),C錯;而直線與平面的夾角的取值范圍是 l0 d,D X.答案;D.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AAi=2AB,則CD與平面BDCi所成角的正弦值等于()解析；以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè) AAi=2AB=2則 D(0Q0),C(0,1

2、,0)B(1,1,0)Ci(0,1,2)則北=(0,1,0期=(1,1,0)?6 =(0,1,2)(i+y=ot設(shè)平面BDCi的法向量為n=(,y,),則n，B,n，D“所以有W +令y=-2，得平面BDG的一個法向量為M瓦 2 TOC o 1-5 h z n = (2,-2,1).設(shè)CD與平面BDCi所成的角為。則sincos尸和,答案；A.在三棱柱ABC-AiBiCi中,各棱長相等側(cè)棱垂直于底面，點D是側(cè)面BBiCiC的中心，則AD與平面BBiCiC夾角的大小是()n111111A. -B.：C.-D.-解析;如圖，取BC的中點E,連接DE,AE,AD,依題意知三棱柱為正三棱柱，易得AEL

3、平面BBQC,故/ ADE為AD與平面BBiCiC的夾角.設(shè)各棱長為1,則AE= 2 ,DE=所以tan/ADE=fl所以/ ADE=.,故選C.答案;C.如圖在四才好隹P-ABCD中,PDL底面ABCD,四邊形ABCD為正方形，且PD=AB= 1,G為 ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角 腦足（）TtA回*4B.cos = 17小心C.tan = 3解析;建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 R0,0,i）A（i,0,0）B（i,i,0）C（0,i,0）所以 G一）.又平面ABCD的一個法向量為n = (0,0,1)則 cos=，所以PG與平面ABCD所成角的余弦值2； 34 B答案;B

4、.若平面 相一個法向量為n=(4,1,1)直線l的方向向量為a=(-2,-3,3)則l與狹角的余弦值為解析；,cos=.4一一：，QF -3+31-與跌角的余弦值為4同311/ 33M3答案；二it.如圖,ABCD是邊長為3的正方形，DEL平面ABCD,AF/ DE,DE=3AF,BE與平面ABCD的夾角為,則平面FBE與平面DBE夾角的余弦值是解析；因為DA,DC,DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系D-y,如圖所示.因為BE與平面ABCD的夾角為所以 西-、由AD=3可知則 A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3所以-=(0,-3,設(shè)平面4it即/ DBE=DE=3,AF= -,

5、.),B(3,3,0)C(0,3,0)-),.=(3,0-2BEF的法向量為n=(,y,),n Bf = 0, p3y+ = 0, nEF = 0,= 0t.，則n=(4,2,-).由題意知AC,平面BDE,-HH所以CA為平面BDE的法向量，C=(3,-3,0).所以 cos=-二 ：二J13二百故由題意知平面FBE與平面DBE夾角的余弦值為答案；，7.()如圖,在四中好隹S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBQ底面ABCD.已知/ABC=45 ,AB=2,BC=2 -,SA=SB=.(1)求證;SAL BC；求直線SD與平面SAB夾角的正弦值.(提示;用向量法求解)(1)證明如

6、圖，作由側(cè)面SBC1底面ABCD,得SO,平面ABCD.因為SA=SR所以AO=BO.又/ABC=45 ,故4 AOB為等腰直角三角形 且AO OB.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為軸正向，OB為y軸正向，OS為軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系 O-y,則A(,0,0)B(0,0),C(0,-,0),S(0,0,1),所以 ；二(-,0-1),- -=(0,2-,0).所以二：二二0.所以SAX BC.(TT(2)解如上圖，取AB的中點E* * 連接SE,取SE的中點Gr-，連接OG,則/轉(zhuǎn)驛愣胴對例)所以 :.=0,.：5 ； G=0,即OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SEAB垂直，所以O(shè)G,平面 SA

7、B.0G疥DS的夾角記為qSD與平面SAB的夾角記為口則 打畫余.因為D(-,-2-,0)所以二二(-,2-,1),所以cos所以直線8.05 as 22OGOS”，所以sin =SD與平面SAB夾角的正弦值為B:一)導(dǎo)學(xué)號90074044如圖,在四才麴t P-ABCD中,PAL平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,/BAD= 60 (1)求證;BDL平面PAC;(2)若PA=AB,求PB與平面PAC所成角的余弦值；若PA=4,求平面PBC與平面PDC所成角的余弦值 解因為底面ABCD是菱形所以BDXAC.又PAL平面ABCD,所以BD PA.又PAn AC=A，所以BD,平面PAC.設(shè)BDHAC=O,連接PO,由可知/ BPO即為PB與平面PAC所成的角.因為 PA=AB=2,所以 PB=2-.又/ BAD=60 ,阮苗所以O(shè)B=三BD=1,所以cos/ BPO=212，所以PB與平面PAC所成角的余弦值為以BD與AC的交點O為坐標(biāo)原點，OB為軸,OC為y軸，過點O且垂直于平面ABCD的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由已知可得,AO=OC=3,od=ob= i,所以P(0,-,4),B(1,0,0)C(0, ,0),D(-1,0,0),：=(0,2,-4)- = (-1,0),二=(-1,-設(shè)平面PBC的法向量為ni=(i,