陜西省西安電子科技大學(xué)附屬中學(xué)2016屆高考數(shù)學(xué)研討會(huì)-數(shù)學(xué)壓軸題的解題思路與方法

1、高考數(shù)學(xué)壓軸題的解題思路和方法 周接夏 汪貴宏2015年11月29日關(guān)于“壓軸題”的幾點(diǎn)說明：1.一題壓的軸變?yōu)槎囝}壓軸；2.解析幾何題重點(diǎn)在于幾何問題代數(shù)化的轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練；3.函數(shù)導(dǎo)數(shù)題重點(diǎn)體現(xiàn)創(chuàng)新能力的考查，有一定難度；4.和數(shù)列的結(jié)合往往增大了壓軸題的難度;5.我省與全國卷相比，壓軸題比較穩(wěn)，體現(xiàn)在考查知識(shí)點(diǎn)、方法上穩(wěn)中有進(jìn)。2/66一、總體認(rèn)識(shí)（研究考綱教材考題）二、規(guī)律探索（總結(jié)解題思路方法）三、應(yīng)對(duì)策略（教學(xué)輔導(dǎo)實(shí)踐反思）壓 軸 題 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式綜合題3/66一、總體認(rèn)識(shí)（一）考綱的角度（二）教材的角度（三）試題的角度4/66（一）考綱的角度（二）函數(shù)概念與基本初等函數(shù)5

2、函數(shù)與方程 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)5/66（十三）不等式2一元二次不等式（1）會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型（2）通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系（3）會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖6/66（一）考綱的角度（文）（十六）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（4）能利用以下給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（理）（十七）導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（4）能利用以下給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并了解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，能求簡單

3、復(fù)合函數(shù)（僅限于形如 復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).7/66導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（文理）（5）了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）. （6）了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）（7）會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題.（一）考綱的角度8/66（二）教材的角度 從高等數(shù)學(xué)的角度，導(dǎo)數(shù)概念的起點(diǎn)是極限，從數(shù)列的極限函數(shù)的極限導(dǎo)數(shù)。新課標(biāo)教材（北師大版）對(duì)于導(dǎo)數(shù)的引入做了一定的簡化，從變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導(dǎo)數(shù)，旨在強(qiáng)調(diào)導(dǎo)

4、數(shù)的幾何意義，從而順利的過渡到導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系，突出了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、最值等問題中的工具性作用。9/66 從函數(shù)的角度，四個(gè)二次（二次函數(shù),二次方程及其根的分布、二次不等式、二次三項(xiàng)式）它們?cè)诟呖贾姓加兄匾牡匚?二次函數(shù)是高中新課程中一個(gè)最基本的函數(shù)，其有關(guān)性質(zhì)仍是我們研究函數(shù)性質(zhì)最基本、也是最主要的簡單基本初等函數(shù)，而二次函數(shù)的定義域及值域的考查也以靈活多變的方式出現(xiàn)、三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)、分式函數(shù)、分段函數(shù)在考題中多有出現(xiàn),應(yīng)予特別關(guān)注.10/661.設(shè)問特點(diǎn)；2.交叉知識(shí)點(diǎn)；3.函數(shù)模型；4.數(shù)學(xué)思想方法；（三）試題的角度11/66近5年來陜西卷壓軸題試題

5、特點(diǎn)年份設(shè)問特點(diǎn)涉及知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型數(shù)學(xué)思想方法2011年單調(diào)區(qū)間最值恒成立單調(diào)性最值不等式含lnx的分?jǐn)?shù)函數(shù)分類討論2012年零點(diǎn)存在性參數(shù)范圍數(shù)列單調(diào)性零點(diǎn)存在定理數(shù)列放縮不等式多項(xiàng)式函數(shù)分類討論化歸轉(zhuǎn)化12/66年份設(shè)問特點(diǎn)涉及知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型數(shù)學(xué)思想方法2013年參數(shù)值公共點(diǎn)個(gè)數(shù)比較大小導(dǎo)數(shù)幾何意義最值 型函數(shù)分類討論2014年函數(shù)表達(dá)式參數(shù)范圍比較大小最值，單調(diào)性定積分?jǐn)?shù)列含lnx的函數(shù)分類討論數(shù)學(xué)歸納法2015年函數(shù)零點(diǎn)比較大小零點(diǎn)存在定理數(shù)列放縮多項(xiàng)式函數(shù)分類討論化歸轉(zhuǎn)化近5年來陜西卷壓軸題試題特點(diǎn)近5年來新課標(biāo)全國卷壓軸題試題特點(diǎn)年份設(shè)問特點(diǎn)涉及知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型數(shù)學(xué)思想方法2011年

6、知切線求值恒成立求參數(shù)范圍導(dǎo)數(shù)幾何意義不等式證明含lnx的分?jǐn)?shù)函數(shù)分類討論構(gòu)造函數(shù)2012年解析式單調(diào)區(qū)間參數(shù)最大值單調(diào)區(qū)間不等式含 型的函數(shù)分類討論構(gòu)造函數(shù)14/66年份設(shè)問特點(diǎn)涉及知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型數(shù)學(xué)思想方法2013年知切線求值證明不等式導(dǎo)數(shù)幾何意義最值單調(diào)性 型+二次函數(shù)分類討論構(gòu)造函數(shù)2014年知切線求值證明不等式導(dǎo)數(shù)幾何意義最值單調(diào)性 +lnx型函數(shù)分類討論構(gòu)造函數(shù)分離參數(shù)2015年知切線求值 零點(diǎn)個(gè)數(shù)零點(diǎn)存在定理切線單調(diào)性lnx型+多項(xiàng)式函數(shù)分類討論數(shù)形結(jié)合近5年來新課標(biāo)全國卷壓軸題試題特點(diǎn)15/66年份設(shè)問特點(diǎn)涉及知識(shí)點(diǎn)函數(shù)模型數(shù)學(xué)思想方法2013年求單調(diào)區(qū)間證明不等式零點(diǎn)存在定理

7、切線單調(diào)性 +lnx型函數(shù)分類討論構(gòu)造函數(shù)2014年求單調(diào)區(qū)間參數(shù)最大值ln2近似值基本不等式最值單調(diào)性 型函數(shù)分類討論構(gòu)造函數(shù)分離參數(shù)2015年證明單調(diào)性恒成立求參數(shù)范圍最值單調(diào)性 型+二次函數(shù)分類討論構(gòu)造函數(shù)近3年來新課標(biāo)全國卷壓軸題試題特點(diǎn)16/66熱點(diǎn)1：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理曲線的切線問題；熱點(diǎn)2：利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù),分式函數(shù),指對(duì) 函數(shù)的性質(zhì)問題；熱點(diǎn)3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、 以及已知函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)中的 參變量變化范圍等問題；熱點(diǎn)4：利用導(dǎo)數(shù)處理含參數(shù)的恒成立不等式問題； 熱點(diǎn)5：利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題.試題熱點(diǎn)：17/66 通過研究2010至

8、2015年新課標(biāo)全國卷、陜西卷的15道壓軸題，不難發(fā)現(xiàn)，這類題主要遵循“化簡構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性證明恒不等關(guān)系”這樣的解題流程。但難點(diǎn)在于：第一，構(gòu)造函數(shù)時(shí)并不存在通用的構(gòu)造方法，如果構(gòu)造不當(dāng)，會(huì)出現(xiàn)很大的求導(dǎo)計(jì)算量，甚至無法繼續(xù)解答；第二，即使構(gòu)造函數(shù)正確，在接下來的分類討論中，學(xué)生也很難理清分類討論的依據(jù)。18/66二、規(guī)律探索（總結(jié)解題思路方法）（一）重視兩大類解題方法 構(gòu)造函數(shù) 分離參數(shù)（二）重視數(shù)形結(jié)合的新趨向 （三）重視三次函數(shù)的研究（文科） 19/661.構(gòu)造函數(shù) 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容，能夠在基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造新的函數(shù)解決相應(yīng)問題，是考生再創(chuàng)造能力和化歸轉(zhuǎn)化能

9、力的體現(xiàn)，也能體現(xiàn)出了考生對(duì)函數(shù)基本思想的準(zhǔn)確理解。因此，構(gòu)造函數(shù)在壓軸題的考查中幾乎年年都出現(xiàn)。 事實(shí)上，近五年的新課標(biāo)全國卷壓軸題均可用構(gòu)造函數(shù)的方法來解答。20/66 如何構(gòu)造函數(shù) ？ 構(gòu)造函數(shù)的目的是為了通過研究構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而證明不等式。 而通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性首先要判斷構(gòu)造函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，因此，構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵在于其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否易求或易估21/66（2）構(gòu)造函數(shù)后分類討論的依據(jù)是什么？1、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性2、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)大小的不確定性3、函數(shù)最值問題取得的可能性4、導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)分布的不確定性實(shí)質(zhì)：四個(gè)二次的回歸22/6623/66作差法構(gòu)造函數(shù) 24/66作差法構(gòu)造

10、函數(shù) 兩次利用作差法構(gòu)造函數(shù) 29/66分離指、對(duì)函數(shù)構(gòu)造函數(shù) 放縮、控元構(gòu)造函數(shù) 作差法構(gòu)造函數(shù)是歷年高考?jí)狠S題中最常用的方法，在陜西近5年的理科壓軸題均是利用作差法構(gòu)造函數(shù)。 另外，由于陜西省高考數(shù)學(xué)壓軸題是三個(gè)設(shè)問，所以涉及的分類討論較簡單，無需分離參數(shù)； 34/66 近6年新課標(biāo)全國、卷的9道壓軸題均可用構(gòu)造函數(shù)的方法求得最值.但如2013、2011、2010這三年新課標(biāo)卷導(dǎo)數(shù)題即使構(gòu)造函數(shù)正確，也存在分類討論相當(dāng)復(fù)雜的情形，考生難以繼續(xù)作答. 可以利用分離參數(shù)法簡化構(gòu)造函數(shù)，使得問題簡單求解.2.分離參數(shù)37/66洛必達(dá)法則3.數(shù)形結(jié)合 導(dǎo)數(shù)除了其正負(fù)決定增減之外，還可以結(jié)合極值得到

11、函數(shù)的大致圖像，意味著導(dǎo)數(shù)可以和圖像問題結(jié)合，即是壓軸題中較多零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的本質(zhì). 41/66結(jié)合草圖看零點(diǎn)個(gè)數(shù) 對(duì)近6年新課標(biāo)全國卷的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)，若要用常規(guī)思維方法解決這類問題，有一定的難度，但若能夠滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，則很多同學(xué)都容易接受因此我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的過程，積累這方面的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力47/66 在高考中，尤其是文科數(shù)學(xué)中對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，三次函數(shù)是一個(gè)不錯(cuò)的載體。在文科數(shù)學(xué)課本選修1-1中，也大量的以三次函數(shù)為載體對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行訓(xùn)練，大小共出現(xiàn)了23題次。 新課標(biāo)全國卷中，2013年文科第11題與理科第10題為同一題目

12、，其中涉及到一個(gè)冷門：三次函數(shù)的對(duì)稱中心；2014年文科第2l題純粹考查三次函數(shù)。4.三次函數(shù)（文科） 只要深刻掌握三次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)，就能找到明確的解題思路。 一輪復(fù)習(xí)及模考中暴露的問題沒養(yǎng)成解答函數(shù)題定義域先行的良好習(xí)慣;對(duì)“恒成立”問題與“能成立”問題的識(shí)別 與練習(xí)不夠;有關(guān)函數(shù)應(yīng)用，對(duì)“對(duì)勾函數(shù)”f(x)=x+a/x (a0)和雙曲函數(shù)f(x)=x-1/x理解不到位；文科三次函數(shù)練習(xí)不到位，理科ex ,ln x型函數(shù) 的求導(dǎo)應(yīng)用有待加強(qiáng)；51/66三、應(yīng)對(duì)策略（教學(xué)輔導(dǎo)實(shí)踐反思）1.準(zhǔn)確定位，研究學(xué)生，提高針對(duì)性；2.重視知識(shí)的歸納梳理策略； 3.重視例題選擇和解法示范策略； 4

13、.重視解題后的反思策略 5.數(shù)學(xué)尖子生的培優(yōu)方法。1.準(zhǔn)確定位，研究學(xué)生，提高針對(duì)性高考的考查要求與學(xué)生的實(shí)際水平 依據(jù)學(xué)生水平以及內(nèi)容價(jià)值，對(duì)所授內(nèi)容進(jìn)行合理定位 教學(xué)進(jìn)度與教學(xué)難度 全局意識(shí)，統(tǒng)籌安排整學(xué)年的復(fù)習(xí)，犧牲“難度”也不要犧牲“進(jìn)度”，保證完成既定的復(fù)習(xí)進(jìn)程教師的“講”與學(xué)生的“學(xué)” 充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，課堂的“練”，要練在要害處；課堂的“講”，要講在學(xué)生的需求點(diǎn)上，縮小問題的切口，一節(jié)課著力解決一個(gè)或若干個(gè)問題 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，不應(yīng)只是把所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)簡單地重復(fù)，而應(yīng)該把基礎(chǔ)知識(shí)從整體上按數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)、知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)行整理，還要把平時(shí)所學(xué)的各個(gè)單元的局部的分散的零碎

14、知識(shí)，解題的思想方法，解題的規(guī)律進(jìn)行數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)，從而使學(xué)生能從整體上，系統(tǒng)上，網(wǎng)絡(luò)上把握知識(shí)、思想和方法。2.重視知識(shí)的歸納梳理策略 對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的系統(tǒng)復(fù)習(xí)不是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的簡單重復(fù)，而是從規(guī)律上，從內(nèi)在聯(lián)系上，從外部聯(lián)系上形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)在復(fù)習(xí)中，要精化每一個(gè)概念，夯實(shí)每一點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握好每一個(gè)思想方法。 56/663.重視例題選擇和解法示范策略 在復(fù)習(xí)時(shí)，例題的選擇很重要。對(duì)例題的選擇標(biāo)準(zhǔn)要注意典型性、示范性、綜合性、靈活性和探究性，每一個(gè)題目都應(yīng)該是一類題的代表，要做到由題及類，觸類旁通，“量不在多，典型就行，題不在難，反思就靈” 高考試題是經(jīng)過命題組反復(fù)推敲，不斷打磨命制的，因此，使

15、用好歷年高考試題是最好的選擇。例如，含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題在復(fù)習(xí)題及高考試題中屢屢出現(xiàn)，但是，學(xué)生每次遇到時(shí)還是把它看作是生題，原因就在于這種例題肯定講，但是精講不夠，可能只是就題論題，另一方面就是再遇到這類問題時(shí)，沒有注意化歸。 讓學(xué)生每時(shí)每刻有數(shù)學(xué)問題在思考！4.重視解題后的反思策略 在高考復(fù)習(xí)時(shí)，關(guān)鍵的問題是解決盲目解題的問題，常常遇到這種情形，學(xué)生每天都做了許多題，但是過一段時(shí)間，前面做過的題目全忘了，無效勞動(dòng)太多。 如何解決呢？關(guān)鍵的一點(diǎn)就在于反思， “功夫不是下在多解題上，而是用在解題后的反思上”，要讓學(xué)生懂得“好題第三遍才能真正明白”的道理，那么，反思什么呢？59/66 （1）對(duì)審題的反思（2）對(duì)解題思維過程的反思（3）對(duì)解法多樣化的反思（4）對(duì)題目本身及解法本身的規(guī)律的反思 通過反思,做