2022年新高考數(shù)學二輪提升數(shù)列專題第1講《等差、等比數(shù)列基本運算和拔高運算》（解析版）

1、第1講 等差、等比數(shù)列基本運算和拔高運算 參考答案與試題解析一選擇題（共6小題）1（2021春撫順期末）記為等差數(shù)列的前項和，已知，則ABCD【解答】解：，解得，故選：2（2021春懷化期末）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且，則A16B8C4D2【解答】解：根據(jù)題意，設等比數(shù)列的公比為，若，則，則有，解可得，則，故選：3（2021吉林校級月考）已知正項數(shù)列的前項和為，若和都是等差數(shù)列，且公差相等，則AB1CD【解答】解：由題意知數(shù)列的首項為，公差為因為數(shù)列的前項和是，所以，又也是公差為的等差數(shù)列，則，兩邊平方得：，兩邊平方得：得：，把代入得：所以或當時，不合題意，當時，代入解得所

2、以故選：4（2021春吉安期末）命題：公差不為0的等差數(shù)列的通項可以表示為關于的一次函數(shù)形式，反之通項是關于的一次函數(shù)形式的數(shù)列為等差數(shù)列為真，現(xiàn)有正項數(shù)列的前項和是，若和都是等差數(shù)列，且公差相等，則數(shù)列的一個通項公式為ABCD【解答】解：設正項數(shù)列的公差為，首項，平方得，整理得，因為對任意都成立，所以，又所以，代入得所以故選：5（2021肥城市模擬）若數(shù)列，則稱數(shù)列為“調和數(shù)列”已知正項數(shù)列為“調和數(shù)列”，且，則的最大值是A10B100C200D400【解答】解：由已知數(shù)列為調和數(shù)列可得為常數(shù)）為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質可得，又，故選：6（2021春大竹縣校級期中）若數(shù)列滿足，為常數(shù)），則

3、稱數(shù)列為調和數(shù)列，已知數(shù)列為調和數(shù)列，且，則的最大值為AB2CD4【解答】解：由題設知：，為常數(shù)），是等差數(shù)列，（當且僅當時取“等號“，（不等號兩邊同時加上，（當且僅當時取“等號“，的最大值為4故選：二填空題（共9小題）7（2021寶山區(qū)校級期中）已知是等差數(shù)列，記，設為的前項和，且，則當取最大值時，17【解答】解：設的公差為，則由，可得，其中；從而，時，時，；又由此可得，時，時，時，時，；因此只需比較與，即比較與零的關系：，故，故答案為：178（2021西湖區(qū)校級模擬）設公比不為1的等比數(shù)列滿足，且，成等差數(shù)列，則公比，數(shù)列的前4項的和為【解答】解：在公比不為1的等比數(shù)列，由，得，又，成等差

4、數(shù)列，即，解得則故答案為：；9（2021秦州區(qū)校級月考）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，且，成等差數(shù)列，記是數(shù)列的前項和，則126【解答】解：設正項等比數(shù)列的公比為，由，構成等差數(shù)列，得，又，所以，解得，所以故答案為：12610（2021浦東新區(qū)校級期中）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，記為在區(qū)間，中的項的個數(shù)，的前項和為，則【解答】解：因為，所以，解得，或（舍，故，故在區(qū)間，上，在，上，2個1，在，上，個2，歸納得，則，令，則，兩式相減得，故，由題意得，故答案為：11（2021欽州月考）正項等比數(shù)列中，記為的前項和若，則7【解答】解：根據(jù)題意，設正項等比數(shù)列的公比為，則，若，即，解可得，即，解可得

5、，故答案為：712（2021啟東市校級二模）在等差數(shù)列中，若任意兩個不等的正整數(shù)，都有，設數(shù)列的前項和為，若，則（結果用表示）【解答】解：設公差為， （1）， （2），由（1）（2）可得把代入可得，故答案為13（2021春徐州期中）已知等比數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)，仍是該數(shù)列中的某一項，則公比為【解答】解：等比數(shù)列滿足，且對任意正整數(shù)，仍是該數(shù)列中的某一項，都是的幾次方的形式，應該也是的幾次方的形式，只有可能等于，由，得，解得故答案為：14（2021九江三模）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，設，若存在正整數(shù)，使得，成等差數(shù)列，則5【解答】解：數(shù)列滿足，時，解得時，數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列

6、，存在正整數(shù)，使得，成等差數(shù)列，數(shù)列是單調遞減數(shù)列當時，由，解得，舍去當時，當時，不成立，可得：，解得15（2021六安模擬）設數(shù)列的前項和為，且，為等差數(shù)列，則【解答】解：，為等差數(shù)列，首項為：，第二項為：，公差為即，時，化為：數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為1則故答案為：三解答題（共6小題）16（2021春岳陽縣校級期末）記為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知，且，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值【解答】解：（1）為公差不為0的等差數(shù)列的前項和，且，成等比數(shù)列，可得，即，即，聯(lián)立求得，可得；（2），當或時，有最小值17（2021新課標）設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的

7、等差中項（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和【解答】解：（1）設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項，可得，即，即為，解得舍去），所以的公比為；（2）若，則，則數(shù)列的前項和為，兩式相減可得，化簡可得，所以數(shù)列的前項和為18（2021新課標）已知數(shù)列和滿足，（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）求和的通項公式【解答】解：（1）證明：，；，；即，；又，是首項為1，公比為的等比數(shù)列，是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；（2）由（1）可得：，；，19（2021浙江）已知等差數(shù)列的公差，設的前項和為，（）求及；（）求，的值，使得【解答】解：（）由，得，即，化為，解得或，又公差，則，所以（）由（）得

8、，由得，即，又，則，或，下面分類求解：當時，解得，；當時，解得，故舍去；當時，解得，故舍去；當時，解得，故舍去；綜上得，20（2021天津校級月考）設正項數(shù)列的前項和是，和都是等差數(shù)列，且公差相等，恰為等比數(shù)列的前三項（1）求的公比；（2）求的通項公式；（3）記數(shù)列，的前項和為，求證：對任意，都有【解答】解：（1）正項數(shù)列的前項和是，和都是等差數(shù)列，且公差相等，設公差為，則：兩邊平方得：同理：兩邊平方得：得：代入解得：或舍去）進一步解得：所以：（2）由（1）得：，恰為等比數(shù)列的前三項所以：，進一步求出：所以：當時，則：且：故對任意，都有成立21已知數(shù)列的首項為，前項和為，且有， （1）求數(shù)列的通項公式 （2）當時，若對于任意，都有，求的取值范圍； （3）當時，若，求能夠使數(shù)列為等比數(shù)列的所有數(shù)對【解答】解：（1）當時，由，