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文檔簡介

1、預(yù)測與決策教程第11章 多目標決策基本概念決策方法多目標風險決策分析模型有限個方案多目標決策問題的分析方法層次分析法網(wǎng)絡(luò)分析法第11章 多目標決策211.1 基本概念一、問題的提出例13.1 房屋設(shè)計某單位計劃建造一棟家屬樓,在已經(jīng)確定選址及總規(guī)定總建筑面積的前提下,作出了三個設(shè)計方案,現(xiàn)要求從以下5個目標綜合選出最佳的設(shè)計方案:低造價(每平方米造價不低于500元,不高于700元);抗震性能(抗震能力不低于里氏5級不高于7級);建造時間(越快越好);結(jié)構(gòu)合理(單元劃分、生活設(shè)施及使用面積比例等);造型美觀(評價越高越好)這三個方案的具體評價表如下:具 體 目 標方案1(A1)方案2(A2)方案

2、3(A3)低造價(元/平方米)500700600抗震性能(里氏級)6.55.56.5建造時間(年)21.51結(jié)構(gòu)合理(定性)中優(yōu)良造型美觀(定性)良優(yōu)中基本特點目標不至一個目標間的不可公度性目標間的矛盾性具 體 目 標方案1(A1)方案2(A2)方案3(A3)低造價(元/平方米)500700600抗震性能(里氏級)6.55.56.5建造時間(年)21.51結(jié)構(gòu)合理(定性)中優(yōu)良造型美觀(定性)良優(yōu)中基本特點目標體系是指由決策者選擇方案所考慮的目標組及其結(jié)構(gòu);備選方案是指決策者根據(jù)實際問題設(shè)計出的解決問題的方案;決策準則是指用于選擇的方案的標準。通常有兩類:最優(yōu)準則,滿意準則。 多目標問題的三個

3、基本要素1)劣解和非劣解如某方案的各目標均劣于其他目標,則該方案可以直接舍去。這種通過比較可直接舍棄的方案稱為劣解。 如圖中A、B、C、D、E、F、G均為劣解。非劣解:既不能立即舍去,又不能立即確定為最優(yōu)的方案稱為非劣解。如圖中 H、I。二、幾個基本概念7第一目標值第二目標值A(chǔ)BCDEFGHI對于m個目標,一般用m個目標函數(shù),它滿足刻劃,其中x表示方案。最優(yōu)解:設(shè)最優(yōu)解為2)選好解在處理多目標決策時,先找最優(yōu)解,若無最優(yōu)解,就盡力在各待選方案中找出非劣解,然后權(quán)衡非劣解,從中找出一個按某一準則較為滿意的解,這個過程稱為“選好解”。單目標辨優(yōu)多目標辨優(yōu)權(quán)衡(反映了決策者的主觀價值和意圖)11.2

4、 決策方法一、化多目標為單目標的方法二、重排次序法三、分層序列法一、化多目標為單目標的方法1. 主要目標優(yōu)化兼顧其它目標的方法 2. 線性加權(quán)和法 3. 平方和加權(quán)法 4. 乘除法 設(shè)有m個目標 f1(x),f2(x), ,fm(x); 均要求為最優(yōu),但在這m個目標中有一個是主要目標,例如為 f1(x),并要求其為最大。在這種情況下,只要使其它目標值處于一定的數(shù)值范圍內(nèi),即就可把多目標決策問題轉(zhuǎn)化為下列單目標決策問題:1. 主要目標優(yōu)化兼顧其它目標的方法 設(shè)有一多目標決策問題,共有 f1(x),f2(x),, fm(x) 等m個目標,則可以對目標 fi(x) 分別給以權(quán)重系數(shù) (i=1,2,,

5、 m),然后構(gòu)成一個新的目標函數(shù)如下:2. 線性加權(quán)和法 計算所有方案的F(x)值,從中找出最大值的方案,即為最優(yōu)方案。在多目標決策問題中,或由于各個目標的量綱不同,或有些目標值要求最大而有些要求最小,則可首先將目標值變換成效用值或無量綱值,然后再用線性加權(quán)和法計算新的目標函數(shù)值并進行比較,以決定方案取舍。 并要求min F(x)。其中 是第 i (i=1,2,m)個目標的權(quán)重系數(shù)。3. 平方和加權(quán)法 設(shè)有m個目標的決策問題,現(xiàn)要求各方案的目標值f1(x),f2(x),, fm(x)與規(guī)定的m個滿意值f1*,f2*,, fm*的差距盡可能小,這時可以重新設(shè)計一個總的目標函數(shù):4.乘除法 并要求

6、min F(x)。 當有m個目標f1(x),f2(x),fm(x)時,其中目標f1(x),f2(x),fk(x)的值要求越小越好,目標fk(x),fk+1(x),fm(x)的值要求越大越好,并假定fk(x),fk+1(x),fm(x) 都大于0。于是可以采用如下目標函數(shù),重排次序法是直接對多目標決策問題的待選方案的解重排次序,然后決定解的取舍,直到最后找到“選好解”。舉例說明:例13.2 設(shè)某新建廠選擇廠址共有n個方案m個目標。由于對m個目標重視程度不同,事先可按一定方法確定每個目標的權(quán)重系數(shù)。若用 fij 表示第 i 方案第 j 目標的目標值,則可列表如下。 二、重排次序法(1)無量綱化。為

7、了便于重排次序,可先將不同量綱的目標值 fij 變成無量綱的數(shù)值 yij。 變換方法:對目標 fj,如要求越大越好,則先從n個待選方案中找出第 j 個目標的最大值確定為最好值,而其最小值為最差值。即:并相應(yīng)地規(guī)定而其它方案的無量綱值可根據(jù)相應(yīng)的 f 的取值用線性插值的方法求得。對于目標 fi,如要求越小越好,則可先從 n 個方案中的第 j 個目標中找最小值為最好值,而其最大值為最差值??梢?guī)定(2) 通過對n個方案的兩兩比較,即可從中找出一組“非劣解”,記作B,然后對該組非劣解作進一步比較。(3) 通過對非劣解B的分析比較,從中找出一“選好解”。最簡單的方法是設(shè)一新的目標函數(shù):若Fi值為最大,則

8、方案 i 為最優(yōu)方案。分層序列法是把目標按照重要程度重新排序,將重要的目標排在前面,例如已知排成 f1(x),f2(x),fm(x)。然后對第1個目標求最優(yōu),找出所有最優(yōu)解集合,用R1表示,接著在集合R1范圍內(nèi)求第2個目標的最優(yōu)解,并將這時的最優(yōu)解集合用R2表示,依此類推,直到求出第m個目標的最優(yōu)解為止。將上述過程用數(shù)學語言描述,即三、分層序列法這種方法有解的前提是R1,R2,Rm-1等集合非空,并且不至一個元素。但這在解決實際問題中很難做到。于是又提出了一種允許寬容的方法。所謂“寬容”是指,當求解后一目標最優(yōu)時,不必要求前一目標也達到嚴格最優(yōu),而是在一個對最優(yōu)解有寬容的集合中尋找。這樣就變成

9、了求一系列帶寬容的條件極值問題,也就是 i=1,2,m-1, 設(shè)有方案A,自然狀態(tài)有l(wèi)個,目標有n個,該方案在第一個自然狀態(tài)下各目標的后果值為11,12 ,,1n,第二個自然狀態(tài)下各目標的后果值分別為21,22 ,,2n,等等。第 l 個自然狀態(tài)下各目標的后果值分別為l1,l2 ,,ln11.3 多目標風險決策分析模型p1p2pll1,l2 ,,ln21,22 ,,2n11,12 ,,1nA該方案第一個目標的期望收益值為一般地,假設(shè)有m個備選方案,n個目標,第i個備選方案面臨 li 個自然狀態(tài)。該模型可表述為下圖。第二個目標的期望收益值為第n個目標的期望收益值為多目標風險型決策模型各方案中各目

10、標的期望收益值分別為 這樣,便把有限個方案的多目標風險型決策問題轉(zhuǎn)化成為有限方案的多目標確定型決策問題:11.4 有限個方案多目標決策問題的分析方法 1. 基本結(jié)構(gòu) 問題:從現(xiàn)有的m個備選方案 中選取最優(yōu)方案(或最滿意方案),決策者決策時要考慮的目標有n個: 。決策者通過調(diào)查評估得到的信息可用下表表示32這一表式結(jié)構(gòu)可用矩陣表示為稱為決策矩陣,是決策分析方法進行決策的基礎(chǔ)。這一表式結(jié)構(gòu)可用矩陣表示為稱為決策矩陣,是決策分析方法進行決策的基礎(chǔ)。決策準則:其中 為第j個目標的權(quán)重。第一,在決策矩陣中,各目標采用的單位不同,數(shù)值及其量級可能有很大的差異。如果使用原來目標的值,往往不便于比較各目標。第

11、二,權(quán)重如何確定?存在兩個問題:xy(1,2)xy 把一個向量化為單位向量1)效用值法2)向量規(guī)范化2.決策矩陣的規(guī)范化 把造價向量(500,700,600)規(guī)范化 把造價向量(500,700,600)規(guī)范化 一般地,bij 無量綱,在區(qū)間(0,1)內(nèi)。但變換后各屬性的最大值和最小值并不是統(tǒng)一的,其最大者不一定是1,最小者不一定是0,有時仍不便比較。還有一個問題,上面例子中的造價是越小越好,而抗震性能是震級越高越好,這樣二者不統(tǒng)一,還需作處理。3)線性變換如目標為效益(目標值愈大愈好),可令如目標為成本(目標值愈小愈好),令 如收益向量(20,40,30)如造價向量(500,700,600)3

12、. 確定權(quán)的方法首先,選聘L個老手(即專家或有豐富經(jīng)驗的實際工作者),請他們各自獨立地對n個目標 給出相應(yīng)的權(quán)重。設(shè)第 j 位老手所提供的權(quán)重方案為:,滿足則匯集這些方案可列出如表所示。 1) 老手法目標權(quán)重老手給定允許 ,若如果檢驗不通過,則需要和那些對應(yīng)于方差估值大的老手進行協(xié)商,充分交換意見,再讓他們重新調(diào)整權(quán)重,更新權(quán)重方案表。重復上述過程,最后得到一組滿意的權(quán)重均值作為目標的權(quán)重。方法實用,但L不能太小。檢驗:則取各目標的權(quán)重為2)環(huán)比法這種方法先隨意把各目標排成一定順序,接著按順序比較兩個目標的重要性,得出兩目標重要性的相對比率環(huán)比比率,然后再通過連乘把此環(huán)比比率換算為都以最后一個

13、目標基數(shù)的定基比率,最后在歸一化為權(quán)重。設(shè)某決策有五個目標,下面按順序來求其權(quán)重,見下表。否則, ,即 。選擇一組權(quán) ,使比較各目標的相對重要度, ( )第 i 個目標對第 j 個目標的相對重要性的估計值; 這兩個目標的權(quán)重和的比;如果決策人對 ( )的估計一致,則3)權(quán)的最小平方法為最小,其中滿足 如用拉格朗日乘子法解此有約束的優(yōu)化問題,則拉格朗日函數(shù)為:為最小,其中滿足4. 強制決定法 此法要求把各個目標進行兩兩對比,兩個目標比較,重要者記1分,次要者記0分。 舉例說明??紤]一個機械設(shè)備設(shè)計方案決策,設(shè)其目標有:靈敏度、可靠性、耐沖擊性、體積、外觀和成本共6項,首先畫一個棋盤表格如下,其中

14、打分所用列數(shù)為15(如目標數(shù)為n,則打分數(shù)為n(n-1)/2)。 在每個列內(nèi)只打兩個分,即在重要的那個目標行內(nèi)打1分,在次要的那個目標行內(nèi)打0分。該列的其余各行任其空著。表中總分列為各行得分之和,修正總分列是為了避免使權(quán)系數(shù)為0而設(shè)計的,其數(shù)值由總分列各數(shù)分別加上1得到,權(quán)重為各行修正總分歸一化的結(jié)果。下節(jié):層次分析法11.5. 層次分析法(AHP) 11.5 層次分析法(AHP) 層次分析法(AHP, the analytic hierarchy process)是20世紀70年代由美國學者薩蒂最早提出的一種多目標評價決策法。特點:將決策者對復雜系統(tǒng)的評價決策思維過程數(shù)學化?;舅枷胧前褟碗s

15、的問題分解成若干層次和因素,在同層次各要素間簡單地進行比較、判斷和計算,以獲得不同要素和不同備選方案的權(quán)重。步驟:定量信息要求較少,但要對問題的本質(zhì)包含的要素相互間的邏輯關(guān)系掌握透徹。1) 對構(gòu)成決策問題的各種要素建立多級遞階的結(jié)構(gòu)模型;總目標子目標評價準則方案2)對同一層次的要素以上一級的要素為準則進行兩兩比較,根據(jù)評定尺度確定其相對重要程度,并據(jù)此建立判斷矩陣;3)確定各要素的相對重要度;4)對重要度進行綜合,對各方案進行優(yōu)先排序。一、多級遞階結(jié)構(gòu)用層次分析法分析的系統(tǒng),其多級遞階結(jié)構(gòu)一般可以分成三層,即目標層,準則層和方案層。目標層為解決問題的目的,要想達到的目標。準則層為針對目標評價各

16、方案時所考慮的各個子目標(因素或準則),可以逐層細分。方案層即解決問題的方案。層次結(jié)構(gòu)往往用結(jié)構(gòu)圖形式表示,圖中標明上一層次與下一層次元素之間的聯(lián)系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯(lián)系,稱為完全相關(guān)結(jié)構(gòu)。層次結(jié)構(gòu)往往用結(jié)構(gòu)圖形式表示,圖中標明上一層次與下一層次元素之間的聯(lián)系。如果上一層的每一要素與下一層次所有要素均有聯(lián)系,稱為完全相關(guān)結(jié)構(gòu)。目 標準則1準則3準則2方案1方案2方案1目標層A準則層C方案層P完全相關(guān)性結(jié)構(gòu)圖某城市鬧市區(qū)域的某一商場附近,由于顧客過于稠密,常常造成車輛阻塞以及各種交通事故。市政府決定改善鬧市區(qū)的交通環(huán)境。經(jīng)約請各方面專家研究,制定出三種可供選擇的方案:A

17、1:在商場附近修建天橋一座,供行人橫穿馬路;A2:同樣目的,在商場附近修建一條地下行人橫道;A3:搬遷商場?,F(xiàn)試用決策分析方法對三各備選方案進行選擇。一個完全相關(guān)性結(jié)構(gòu)的案例(實用決策分析p.213)這是一個多目標決策問題。在改變鬧市區(qū)交通環(huán)境這一總目標下,根據(jù)當?shù)氐木唧w情況和條件,制定了以下5個分目標作為對備選方案的評價和選擇標準:C1:通車能力;C2:方便過往行人及當?shù)鼐用?;C3:新建或改建費用不能過高;C4:具有安全性;C5:保持市容美觀。改變鬧市區(qū)交通環(huán)境(G)通車能力C1方便市民C2改建費用C3安全性C4市容美觀C5天橋A1地道A2搬遷A3經(jīng)濟生態(tài)效益最佳經(jīng)濟效益生態(tài)效益工業(yè)總產(chǎn)值產(chǎn)

18、品銷售收入實現(xiàn)利潤總額實現(xiàn)利稅總額全員勞動生產(chǎn)率物能消耗量物能有毒有害量產(chǎn)污量產(chǎn)污增長率產(chǎn)污等標系數(shù)產(chǎn)污有毒量產(chǎn)品有毒有害率產(chǎn)品回收利用率包裝重復使用次數(shù)環(huán)保投資回報率如上一層每一要素都有各自獨立的、完全不相同的下層要素,稱為完全獨立性結(jié)構(gòu)。一個完全獨立性結(jié)構(gòu)的案例二、判斷矩陣 判斷矩陣是層次分析法的基本信息,也是計算各要素權(quán)重的重要依據(jù)。1. 建立判斷矩陣設(shè)對于準則H,其下一層有 n 個要素 A1,A2, , An。以上一層的某一要素H 作為判斷準則,對下一層的n個要素進行兩兩比較來確定矩陣的元素值,其形式如下:63HA1A2A3Anaij表示以判斷準則H 的角度考慮要素Ai對Aj的相對重要

19、程度。若假設(shè)在準則H下要素 A1,A2,An的權(quán)重分別為w1,w2,wn,即w = ( w1, w2, , wn)T, 則aij=wi/wj,矩陣稱為判斷矩陣。若假設(shè)在準則H下要素 A1,A2,An的權(quán)重分別為 w1, w2,wn,即w = ( w1,w2,wn)T, 則 aij=wi/wj, aij 應(yīng)該滿足:1)aii = 12) aij =1/ aji3) aikakj = aij2. 判斷尺度判斷矩陣中的元素aij是表示兩個要素的相對重要性的數(shù)量尺度,稱做判斷尺度,其取值如表所示。判斷尺度定義判斷尺度定義1對H而言,Ai和Aj同樣重要7對H而言,Ai比Aj重要的多3對H而言,Ai比Aj

20、稍微重要9對H而言,Ai比Aj絕對重要5對H而言,Ai比Aj重要2,4,6,8介于上述兩個相鄰判斷尺度之間67三、相對重要度及判斷矩陣的最大特征值的計算在應(yīng)用層次分析法進行系統(tǒng)評價和決策時,需要知道Ai關(guān)于H 的相對重要度,也就是Ai關(guān)于H 的權(quán)重,即已知 三、相對重要度及判斷矩陣的最大特征值的計算在應(yīng)用層次分析法進行系統(tǒng)評價和決策時,需要知道Ai關(guān)于H 的相對重要度,也就是Ai關(guān)于H 的權(quán)重,即已知 求由= n 由= n AW = nW由= n 知,n為矩陣A的一個特征值,W 是矩陣A 的對應(yīng)于特征值n 的特征向量。AW = nW成立,這樣的數(shù) 稱為方陣A的特征值,非零向量x稱為A的對應(yīng)于

21、的特征向量。假設(shè)A是n階矩陣,如果數(shù) 和n維非零列向量x,使關(guān)系式矩陣 A 的特征向量成立,這樣的數(shù) 稱為方陣A的特征值,非零向量x稱為A的對應(yīng)于 的特征向量。假設(shè)A是n階矩陣,如果數(shù) 和n維非零列向量x,使關(guān)系式矩陣 A 的特征向量即特征方程時,A具有唯一的非零最大特征值 ,且當矩陣A的元素 滿足由于判斷矩陣A的最大特征值所對應(yīng)的特征向量即為W,為此,可先求出判斷矩陣的最大特征值所對應(yīng)的特征向量,再經(jīng)過歸一化處理,即可求出Ai關(guān)于H的相對重要度。 由于判斷矩陣A的最大特征值所對應(yīng)的特征向量即為W,為此,可先求出判斷矩陣的最大特征值所對應(yīng)的特征向量,再經(jīng)過歸一化處理,即可求出Ai關(guān)于H的相對重

22、要度。 求A的最大特征值和其對應(yīng)的特征向量單位化得權(quán)重向量W設(shè)某一AHP判斷矩陣為計算該矩陣的最大特征值及對應(yīng)的特征向量的步驟如下:1. 方根法1)計算矩陣A的每一行元素的乘積Mi2) 計算 Mi 的 n 次方根 i= 1,2,n2) 計算 Mi 的 n 次方根 i= 1,2,n3)對向量作歸一化處理,即令從而得到另一向量即為所求。4) 計算A的最大特征值由例 求判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量。例 求判斷矩陣的最大特征值及其對應(yīng)的特征向量。解:(1)求A中各行元素之乘積M1=1/15, M2=15, M3=1(2)求Mi 的n次方根(n 3)M1=1/15, M2=15, M3=1(2

23、)求Mi 的n次方根(n 3)(3) 對向量 w(0)(0.4055, 2.4662, 1)T 作歸一化處理M1=1/15, M2=15, M3=1即為所求特征向量。w(0.4055, 2.4662, 1)T4) 求精度比較:注:乘冪法為“計算方法”中計算矩陣的最大特征值的最常用的方法之一。這里取精度為0.0001。求解步驟如下:1)將判斷矩陣A中各元素按列作歸一化處理,得另一矩陣B=(bij),其元素一般項為2)將矩陣B中各元素按行分別相加,其和為2. 和積法3) 對向量作歸一化處理,得向量即為所求。3) 對向量作歸一化處理,得向量即為所求。4)求 的方法與方根法相同,即對前例用和積法求得的

24、結(jié)果如下:四、相容性判斷這樣就提示我們可以用 的關(guān)系來度量偏離相容性的程度。若矩陣A 完全相容,則有 ,否則由于判斷矩陣的三個性質(zhì)中的前兩個容易被滿足,第三個“一致性”則不易保證。如判斷矩陣A被判斷為A有偏差,則稱A為不相容判斷矩陣,這時就有度量相容性的指標為C.I.(Consistence Index),度量相容性的指標為C.I.(Consistence Index),一般情況下,若C.I.0.10,就可認為判斷矩陣A有相容性,據(jù)此計算的W是可以接受的,否則重新進行兩兩比較判斷。度量相容性的指標為C.I.(Consistence Index),一般情況下,若C.I.0.10,就可認為判斷矩陣

25、A有相容性,據(jù)此計算的W是可以接受的,否則重新進行兩兩比較判斷。判斷矩陣的維數(shù)n越大,判斷的一致性將越差,故應(yīng)放寬對高維判斷矩陣一致性的要求,于是引入修正值R.I,見下表,并取更為合理的C.R為衡量判斷矩陣一致性的指標。維數(shù)123456789R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45五、綜合重要度的計算 方案層 n 個方案對準則層的各準則的相對權(quán)重為: 設(shè)有目標層A、準則層C、方案層P 構(gòu)成的層次模型(對于層次更多的模型,其計算方法相同),準則層C對目標層A的相對權(quán)重為:AC1C2C3C4P1P2P3p11p12p13p14c1c2c3c4P1對A的權(quán)重為:

26、p11c1+p12c2+p13c3+p14c4案例1某公司董事會準備挑選一位總經(jīng)理,根據(jù)公司章程,董事會提出了挑選總經(jīng)理的十二條標準(1)忠誠正派;(2)責任心強;(3)虛懷若谷;(4)有遠見;(5)有組織協(xié)調(diào)能力;(6)知人善用;(7)多某善斷;(8)精通業(yè)務(wù);(9)學歷高,知識面廣;(10)具有現(xiàn)代管理知識;(11)身體健康;(12)年齡合適。在報名競爭的總經(jīng)理人選中,根據(jù)董事會任命的人事小組評選結(jié)果,得分最高的三人總分一樣,其得分如下:標準候選人得分123456789101112總分甲96784985868785乙89978768565785丙88775857669985為了從中選出一人

27、為總經(jīng)理,應(yīng)進行權(quán)重分析。若得到十二個指標的權(quán)重,便可詳細區(qū)分。選經(jīng)理B1B2B3B4123456789101112B1:道德水平B2:管理才能B3:學識水平B4:健康水平目標層準則層標準層AB1B2B3B4B11223B21/2152B31/21/512B41/31/21/21(每行相加)(歸一化)維數(shù)123456789R.I0.000.000.580.961.121.241.321.411.45B2C4C5C6C7C8C413331C51/31211/2C61/31/2121/3C71/311/211/2C812321B3C8C9C10C811/31/2C9312C1021/21B4C11C12C1113C121/31案例2改變鬧市區(qū)交通環(huán)境(G)通車能力C1方便市民C2改建費用C3安全性C4市容美觀C5天橋A1地道A2搬遷A3GC1C2C3C4C5C113535C21/31313C31/51/311/33C41/31313C51/51/31/31/31C1A1A2A3A1115A2115A31/51/51C2A1A2A3A1135A21/312A31/51/21C3A1A2A3A1147A21/414A31/71/41C4A1A2A3A111/21/3A2211A3311C5A1A2A3A111/21/3A2211A3311思考與練習試述層次分析法的基本思

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