大學(xué)物理第四、五、六章習(xí)題參考答案

1、第4章 機(jī)械振動(dòng)4.1基本要求1掌握描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率、相位和初相位的物理意義及之間的相互關(guān)系2掌握描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析法、旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法，并會(huì)用于簡(jiǎn)諧振動(dòng)規(guī)律的討論和分析3掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的基本特征，能建立一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的微分方程，能根據(jù)給定的初始條件寫(xiě)出一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程，并理解其物理意義4理解同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律，了解拍和相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的特點(diǎn)4.2基本概念1簡(jiǎn)諧振動(dòng) 離開(kāi)平衡位置的位移按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）規(guī)律隨時(shí)間變化的運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程 2振幅A 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體的最大位置坐標(biāo)的絕對(duì)值。3周期T 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體完成一次全振動(dòng)所需

2、的時(shí)間。4頻率 單位時(shí)間內(nèi)完成的振動(dòng)次數(shù)，周期與頻率互為倒數(shù)，即5圓頻率 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體在秒內(nèi)完成振動(dòng)的次數(shù)，它與頻率的關(guān)系為6相位和初相位 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程中項(xiàng)稱為相位，它決定著作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體狀態(tài)；t=0時(shí)的相位稱為初相位7簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)具有動(dòng)能和勢(shì)能。彈性勢(shì)能 動(dòng)能 彈簧振子系統(tǒng)的機(jī)械能為 8阻尼振動(dòng) 振動(dòng)系統(tǒng)因受阻尼力作用，振幅不斷減小。9受迫振動(dòng) 系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動(dòng)。周期性外力稱為驅(qū)動(dòng)力。10共振 驅(qū)動(dòng)力的角頻率為某一值時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象。4.3基本規(guī)律1一個(gè)孤立的簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量是守恒的物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間做周期性

3、變化，位移最大時(shí)，勢(shì)能達(dá)到最大值，動(dòng)能為零；物體通過(guò)平衡位置時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值，但其總機(jī)械能卻保持不變，且機(jī)械能與振幅的平方成正比。圖4.1表示了彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間的變化（）。為了便于將此變化與位移隨時(shí)間的變化相比較，在下面畫(huà)了x-t曲線，由圖可以看出，動(dòng)能和勢(shì)能的變化頻率是彈簧振子振動(dòng)頻率的兩倍。圖4.1 彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能隨時(shí)間的變化2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成若一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即合振動(dòng)仍是一個(gè)角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合位移合振動(dòng)的振幅合振動(dòng)的初相振動(dòng)加強(qiáng)：， 振動(dòng)減弱：， 當(dāng)取其他值時(shí) 若兩個(gè)振動(dòng)同方向，但不同頻率，則合成振動(dòng)不再是周期振動(dòng)，而是振幅隨

4、時(shí)間周期性變化的振動(dòng)。若兩振動(dòng)的振動(dòng)方向相互垂直，頻率相同。一般情況下，合成振動(dòng)軌跡為一橢圓。若兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)頻率不相同，且為簡(jiǎn)單比關(guān)系，則其合成振動(dòng)的軌跡為封閉的曲線，曲線的具體形狀取決于兩個(gè)振動(dòng)的頻率比。若兩頻率比為無(wú)理數(shù)，則合成運(yùn)動(dòng)軌跡永不封閉。4.4學(xué)習(xí)指導(dǎo)1重點(diǎn)解析簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要有以下兩種類型：（1）已知簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式求有關(guān)物理量（2）已知運(yùn)動(dòng)情況或振動(dòng)曲線建立簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式對(duì)于類型（1）主要采用比較法，就是把已知的振動(dòng)表達(dá)式與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一般表達(dá)式加以比較，結(jié)合有關(guān)公式求得各物理量。對(duì)于類型（2）的解題方法，一般是根據(jù)題給的條件，求出描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的

5、三個(gè)特征量、,然后將這些量代入簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一般式，就得到要求的運(yùn)動(dòng)表達(dá)式。其中角頻率由系統(tǒng)的性質(zhì)決定,.振幅A可由初始條件求出，；或從振動(dòng)曲線上直接看出。初相有兩種解法，一是解析法，即從初始條件得到,這里有兩個(gè)值，必須根據(jù)條件去掉一個(gè)不合理的值；另一是旋轉(zhuǎn)矢量法，正確畫(huà)出振幅矢量圖，這是求初相最簡(jiǎn)便且直觀的方法。例 如圖4-2所示為某質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線。求該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。圖4-2分析：若要求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，必須求出三個(gè)特征量、。利用振動(dòng)曲線可以看出，t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位移，t=0.5s時(shí)，x=0。利用這些信息可以確定、。解：方法1 解析法t=0時(shí)，于是有解得：圖4-3由t=0時(shí)刻對(duì)應(yīng)的曲線斜率

6、可知，所以質(zhì)點(diǎn)速度，即：所以為求，先寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程將t=0.5s，x=0代入上式得，同樣結(jié)合該點(diǎn)的速度方向可以得到，所以質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程是方法2：旋轉(zhuǎn)矢量法由振動(dòng)曲線可知，t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)位移，質(zhì)點(diǎn)速度，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖4-3所示，由圖可知。t=0.5s時(shí)，x=0，。此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)矢量，即旋轉(zhuǎn)矢量由t=0時(shí)的經(jīng)0.5s轉(zhuǎn)至，共轉(zhuǎn)了，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程是2難點(diǎn)釋疑疑難點(diǎn)1 旋轉(zhuǎn)矢量圖4-4自O(shè)x軸的原點(diǎn)O作一矢量，使它的模等于振動(dòng)的振幅A，并使矢量在Oxy平面內(nèi)繞點(diǎn)O作逆時(shí)針?lè)较虻膭蚪撬俎D(zhuǎn)動(dòng)，其角速度與振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量就叫做旋轉(zhuǎn)矢量。如圖4-4所示。旋轉(zhuǎn)矢量的矢端在Ox軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

7、，可表示物體在Ox軸上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。旋轉(zhuǎn)矢量與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表4-1所示。表4-1 旋轉(zhuǎn)矢量與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系旋轉(zhuǎn)矢量是研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)的一種比較直觀的方法，可以使運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量表現(xiàn)得直觀，運(yùn)動(dòng)過(guò)程顯示得清晰，有助于簡(jiǎn)化簡(jiǎn)諧振動(dòng)討論中的數(shù)學(xué)處理。但必須指出，旋轉(zhuǎn)矢量本身并不在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是旋轉(zhuǎn)矢量端點(diǎn)的投影點(diǎn)在作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。問(wèn)題：簡(jiǎn)諧振子從平衡位置運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)所需的時(shí)間為嗎？走過(guò)該距離的一半所需的時(shí)間是嗎？振子從平衡位置出發(fā)經(jīng)歷時(shí)運(yùn)動(dòng)的位移是多少？解析 從平衡位置運(yùn)動(dòng)到最遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖4-5中的角度變化是，所需的時(shí)間振子的速度不是常數(shù)，振子做變速直線運(yùn)動(dòng)，所以走

8、過(guò)該距離的一半所需的時(shí)間不是。振子從平衡位置運(yùn)動(dòng)到處（OM 位置）時(shí)，振幅矢量轉(zhuǎn)過(guò)了的角度，即圖4-5即振子從平衡位置運(yùn)動(dòng)到所用的時(shí)間是，而不是。振子從運(yùn)動(dòng)到平衡位置所用的時(shí)間是。振子從平衡位置出發(fā)經(jīng)歷時(shí)運(yùn)動(dòng)的位移是疑難點(diǎn)2 當(dāng)一個(gè)彈簧振子的振幅加倍時(shí)，則振動(dòng)周期、最大速度、質(zhì)點(diǎn)受力最大值和振動(dòng)能量如何變化？解析 彈簧振子的振幅一般由初始條件確定。振幅加倍時(shí)，振動(dòng)周期不變，因?yàn)閷?duì)于給定的彈簧振子系統(tǒng)其周期是一定的，即；最大速度的表達(dá)式是，所以振幅加倍時(shí)最大速度也加倍，質(zhì)點(diǎn)受力最大值為f=kA，所以振幅加倍時(shí)受力最大值也加倍；簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)中機(jī)械能守恒為，所以振幅加倍時(shí)振動(dòng)能量變?yōu)樵瓉?lái)4倍4.5習(xí)

9、題解答4.1 兩根輕彈簧和一質(zhì)量為m的物體組成一振動(dòng)系統(tǒng),彈簧的勁度系數(shù)為k1和k2,串聯(lián)后與物體相接,則此系統(tǒng)的固有頻率為等于 k1k2習(xí)題4.1圖m(A) (B) (C) (D) 解析：正確答案（B）兩彈簧k1和k2串聯(lián)后可等效為勁度系數(shù)k的彈簧，設(shè)k1和k2的形變量分別為x1和x2，k的形變量為 x，則有xx1+x2，亦即據(jù)此可確定系統(tǒng)的固有頻率為4.2 把單擺擺球從平衡位置向位移正方向拉開(kāi)，使擺線與豎直方向成一微小角度，然后由靜止放手任其振動(dòng)，從放手時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。若用余弦函數(shù)表示其運(yùn)動(dòng)方程，則該單擺振動(dòng)的初相為 (A) (B)/2 (C) 0 (D) 解析：正確答案（C）由已知條件可知其

10、初始時(shí)刻的位移正向最大。利用旋轉(zhuǎn)矢量圖可知，初相相位是0。選（C）4.3 用余弦函數(shù)描述一簡(jiǎn)諧振動(dòng)。已知振幅為A，周期為T(mén)，初相，則振動(dòng)曲線為 習(xí)題4.3圖解析：正確答案（A）由已知條件可知：初始時(shí)刻振動(dòng)的位移是，速度是，方向是向y軸正方向，則振動(dòng)曲線上t=0時(shí)刻的斜率是正值。習(xí)題4.4圖4.4 已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，位移的單位為厘米，時(shí)間單位為秒。則此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為： （A）cm（B）cm（C）cm（D）cm解析：正確答案（D）由振動(dòng)圖像可知，初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移是，且向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，下圖是其對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，由圖可知，其初相位是，振動(dòng)曲線上給出了質(zhì)點(diǎn)從到的時(shí)間是1s，其對(duì)

11、應(yīng)的相位從變化到，所以它的角速度。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程為4.5 質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，已知振動(dòng)周期為T(mén)，則其振動(dòng)動(dòng)能變化的周期是 (A) T/4 (B) T/2(C) T (D) 2T解析：正確答案（B）質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能表達(dá)式是，可見(jiàn)其變化的周期是簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的。4.6 設(shè)某人一條腿的質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，當(dāng)他以一定頻率行走時(shí)最舒適，試用一種簡(jiǎn)單的模型估算出該人行走最舒適的頻率應(yīng)為 （A）（B）（C）（D）解析：正確答案（D）可以將人行走時(shí)腿的擺動(dòng)當(dāng)作復(fù)擺模型，這樣人行走時(shí)最舒適的頻率應(yīng)是復(fù)擺的簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率。此人的一條腿可看成是一個(gè)質(zhì)量為m，長(zhǎng)為的細(xì)長(zhǎng)桿，它繞端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,根據(jù)復(fù)擺的周期公式，這里。故

12、頻率習(xí)題4.7圖4.7 圖中所畫(huà)的是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線。若這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相為 （A） （B）（C） （D）0解析：正確答案（B）由振動(dòng)曲線可知，這是兩個(gè)同振動(dòng)方向，同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的相位差是，運(yùn)動(dòng)方程分別是和，它們的振幅不同，對(duì)于這樣兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可用旋轉(zhuǎn)矢量法，很方便求得合運(yùn)動(dòng)方程是。4.8 質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，周期為T(mén)，當(dāng)它由平衡位置向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從處到-A處這段路程所需要的時(shí)間為 （A） （B） （C） （D）解析：正確答案（B）已知條件結(jié)合對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，它由平衡位置向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)在處對(duì)應(yīng)的相位是，位移是-A處對(duì)應(yīng)的相位是，所以這段路程的相位差

13、是，對(duì)應(yīng)的時(shí)間是4.9 彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，已知此振子勢(shì)能的最大值為100J，當(dāng)振子處于最大位移的一半時(shí)其動(dòng)能為 （A）25J （B）50J （C）75J （D）100J解析：正確答案（C）物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，振子勢(shì)能的表達(dá)式是，其動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間做周期性變化，物體通過(guò)平衡位置時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值；位移最大時(shí)，勢(shì)能達(dá)到最大值，動(dòng)能為零，但其總機(jī)械能卻保持不變。當(dāng)振子處于最大位移的一半時(shí)其勢(shì)能為，所以此時(shí)的動(dòng)能是。4.10一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，速度最大值，振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一時(shí)刻為t=0,則振動(dòng)表達(dá)式為。解析：速度的最大值，A=0.02m，所以。振動(dòng)的一般表達(dá)式，現(xiàn)在只

14、有初相位沒(méi)確定，速度具有正最大值的時(shí)位于原點(diǎn)處，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知：，振動(dòng)表達(dá)式為4.11已知一個(gè)諧振子的振動(dòng)曲線如圖所示，求：（1）a、b、c、d、e各狀態(tài)的相位分別為 。習(xí)題4.11圖解析：0、結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量圖，振動(dòng)曲線上的a、b、c、d、e對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖上的a、b、c、d、e,所以其相位分別是0、習(xí)題4.12圖4.12 一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖所示，振幅矢量長(zhǎng)2cm，則該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相為 ，振動(dòng)方程為。解析：，振動(dòng)方程的一般表達(dá)式是，是指t=0時(shí)對(duì)應(yīng)的相位，也是初相位。由圖可知t=0時(shí)的角度是，所以該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的初相為。角速度是。代入振動(dòng)方程可得。4.13 一單擺的懸線長(zhǎng)l=1.5m,在頂端

15、固定點(diǎn)的豎直下方0.45m處有一小釘，如圖所示。設(shè)擺動(dòng)很小，則單擺的左右兩方振幅之比的近似值為 。習(xí)題4.13圖解析：0.84左右擺動(dòng)能量應(yīng)相同，應(yīng)有，所以4.14 質(zhì)點(diǎn)按如下規(guī)律沿ox軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：，求此振動(dòng)的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。解析：本題屬于由運(yùn)動(dòng)方程求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)各特征量的問(wèn)題，可采用比較法求解。即將已知的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的一般形式作比較，即可求得各特征量，而速度和加速度的計(jì)算與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中由運(yùn)動(dòng)方程求解速度和加速度的計(jì)算方法相同。將該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的一般形式作比較后可得：周期是0.25s, 振幅是0.1m, 初相位是，速度最大值，加速度最

16、大值習(xí)題4.15圖4.15 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試求：（1）振動(dòng)表達(dá)式（2）點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的相位（3）到達(dá)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)位置所需時(shí)間。解析：（1）根據(jù)振動(dòng)曲線對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)振幅矢量可知，初相，從t=0到t=1s時(shí)間內(nèi)相位差為，所以角頻率為可得振動(dòng)表達(dá)式為(2)P點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的相位為0。(3)到達(dá)P點(diǎn)所需時(shí)間為4.16 沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的小球，振幅A=0.04m，速度的最大值。若取速度為正的最大值時(shí)t=0。試求：（1）振動(dòng)頻率；（2）加速度的最大值；（3）振動(dòng)的表達(dá)式。解析：速度的最大值，A=0.04m，。（2）加速度的最大值。（3）速度為正的最大值時(shí)t=0，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知：4.17 物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng),振

17、幅為6.0cm，周期為2.0s，在 t=0時(shí)物體位于 3.0cm處且向負(fù)x方向運(yùn)動(dòng)求：（1）初相位；（2）t1.0s時(shí)，物體的位置、速度和加速度分析:初相位的確定可采用兩種方法：旋轉(zhuǎn)矢量法和解析法。解析； （1）取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為,現(xiàn)在用旋轉(zhuǎn)矢量法求解初相位。根據(jù)初始條件，初始時(shí)刻旋轉(zhuǎn)矢量 A 的矢端應(yīng)在圖中的M位置，所以.M(2)依題意，A=0.06m，T=2.0s，則.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)為,t=1.0s代入上式，可得：把已知量代入上式可得：、4.18 在一平板上放一質(zhì)量為m=2kg的物體，平板在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為T(mén)=0.5s，振幅A=4cm，求：（1）

18、物體對(duì)平板的壓力的表達(dá)式；（2）平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí)，物體才能離開(kāi)平板？解析：（1）設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為正方向，t=0時(shí)刻，振動(dòng)的相位為零，GN則平板的運(yùn)動(dòng)方程是物體的運(yùn)動(dòng)和平板相同。分析物體受力可知： 所以根據(jù)牛頓第三定律可知物體對(duì)平板的壓力與平板對(duì)物體的支持力是一對(duì)作用力與反作用力。所以物體對(duì)平板的壓力（2）當(dāng)平板振動(dòng)的最大加速度大于g時(shí)，物體能離開(kāi)平板習(xí)題4.19圖4.19一彈簧振子由彈性系數(shù)為k的輕彈簧和質(zhì)量為M的物塊組成，將彈簧的一端與頂板相連。開(kāi)始時(shí)物塊靜止，一顆質(zhì)量為m、速度為v0的子彈由下而上射入物塊，且留在物塊中。求子彈留在物塊中系統(tǒng)的振幅與周期，并求出系統(tǒng)的總振動(dòng)

19、能量。解析：子彈擊中物塊后系統(tǒng)的角頻率為，所以周期為。設(shè)子彈擊中物塊后系統(tǒng)獲得速率為v，由動(dòng)量守恒定律可得.子彈進(jìn)入物塊后，振子的平衡位置改變了，以新的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸正方向。以子彈進(jìn)入物塊的瞬間為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，則t=0時(shí)刻，振子的初位移為，其中為子彈未進(jìn)入物塊時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量，;為子彈進(jìn)入物塊后彈簧的伸長(zhǎng)量，因此方法一：根據(jù)已知條件可得振子的振幅為：系統(tǒng)的總振動(dòng)能量方法2：子彈射入物塊后，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以系統(tǒng)的總振動(dòng)能量即為初始時(shí)刻的振動(dòng)能量，4.20 一物體質(zhì)量為0.25 kg，在彈性力作用下作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，彈簧的勁度系數(shù)k = 25 Nm1，如果起始振動(dòng)時(shí)具有勢(shì)能0.06J

20、和動(dòng)能0.02J，求 (1) 振幅； (2) 動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)的位移； (3) 經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)物體的速度。解析：物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，振子勢(shì)能的表達(dá)式是，動(dòng)能表達(dá)式是。其動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間做周期性變化，物體通過(guò)平衡位置時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值；位移最大時(shí)，勢(shì)能達(dá)到最大值，動(dòng)能為零，但其總機(jī)械能卻保持不變?yōu)椤Ｓ捎谡駝?dòng)過(guò)程總機(jī)械能卻保持不變，A=0.08m。動(dòng)能恰等于勢(shì)能時(shí)，也就是此時(shí)勢(shì)能是總機(jī)械能的一半，（3）通過(guò)平衡位置時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值，此時(shí)， .4.21一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)，振子質(zhì)量為2kg，系統(tǒng)振動(dòng)頻率為1000Hz，振幅為0.5cm，則其振動(dòng)能量是多少？解析：簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的

21、能量，把已知量代入上式可得：4.22一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為。求：（1）當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半？（2）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到上述位置所需最短時(shí)間為多少？解析：4.23 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為畫(huà)出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。 解析：作兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，如圖所示。由圖得合振動(dòng)的振幅和初相分別為A(5-3)cm=2cm，合振動(dòng)方程為4.24 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)，其振動(dòng)方程分別為試求：（1）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程；（2）質(zhì)點(diǎn)在任一位置時(shí)所受的作用力。解析：（1）由題意：，以上兩式化簡(jiǎn)后得：（2）t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位矢為，所

22、以加速度為因此質(zhì)點(diǎn)在任一位置所受的作用力 方向始終指向原點(diǎn)4.25 火車在鐵軌上行駛，每經(jīng)過(guò)鐵軌接縫處即受到一次振動(dòng)，從而使裝在彈簧上面的車廂上下振動(dòng)。設(shè)每段鐵軌長(zhǎng)12.5，彈簧平均負(fù)重5.410N，而彈簧每受9.8103N的力將壓縮1.6mm。試問(wèn)火車速度多大時(shí)，振動(dòng)特別強(qiáng)?解析：由題意可得彈簧勁度系數(shù)系統(tǒng)的振動(dòng)角頻率火車的固有周期 因此，當(dāng)火車在接軌處受到振動(dòng)周期等于固有周期時(shí)，振動(dòng)將最強(qiáng)，于是時(shí)，振動(dòng)將特別強(qiáng)烈。4.26 阻尼振動(dòng)起始振幅為3.0cm，經(jīng)過(guò)10s后振幅變?yōu)?.0cm，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間振幅將變?yōu)?0.30cm?解析：阻尼振動(dòng)的振幅表達(dá)式是：，代入數(shù)據(jù)可得：解得： t=20.96

23、s4 開(kāi)放性習(xí)題6.27 請(qǐng)以“共振”為關(guān)鍵詞，通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)了解物理學(xué)、社會(huì)學(xué)、管理學(xué)等領(lǐng)域里共振效應(yīng)。(略)第5章 機(jī)械波5.1基本要求1理解描述簡(jiǎn)諧波的各物理量的意義及相互間的關(guān)系.2理解機(jī)械波產(chǎn)生的條件掌握由已知質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程得出平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)的方法理解波函數(shù)的物理意義理解波的能量傳播特征及能流、能流密度概念3了解惠更斯原理和波的疊加原理.理解波的相干條件，能應(yīng)用相位差和波程差分析、確定相干波疊加后振幅加強(qiáng)和減弱的條件.4理解駐波及其形成。5了解機(jī)械波的多普勒效應(yīng)及其產(chǎn)生的原因.5.2基本概念1機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機(jī)械波，機(jī)械波產(chǎn)生的條件首先要有作機(jī)械振動(dòng)的物體，即

24、波源；其次要有能夠傳播這種機(jī)械振動(dòng)的彈性介質(zhì)。它可以分為橫波和縱波。2.波線與波面 沿波的傳播方向畫(huà)一些帶有箭頭的線，叫波線。介質(zhì)中振動(dòng)相位相同的各點(diǎn)所連成的面，叫波面或波陣面。在某一時(shí)刻，最前方的波面叫波前。3波長(zhǎng) 在波傳播方向上，相位差為的兩個(gè)鄰點(diǎn)之間的距離稱為波長(zhǎng)，它是波的空間周期性的反映。4周期T與頻率 一定的振動(dòng)相位向前傳播一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需的時(shí)間稱為波的周期，它反映了波的時(shí)間周期性，波的周期與傳播介質(zhì)各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。周期的倒數(shù)稱為頻率，波的頻率也就是波源的振動(dòng)頻率。5波速 單位時(shí)間里振動(dòng)狀態(tài)（或波形）在介質(zhì)中傳播的距離。它與波動(dòng)的特性無(wú)關(guān)，僅取決于傳播介質(zhì)的性質(zhì)。6平面簡(jiǎn)諧波

25、的波動(dòng)方程 在無(wú)吸收的均勻介質(zhì)中沿x軸傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為或其中，“-”表示波沿x軸正方向傳播；“+”表示波沿x軸負(fù)方向傳播。波函數(shù)是x和t的函數(shù)。給定x，表示x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，即給出x處質(zhì)點(diǎn)任意時(shí)刻離開(kāi)自己平衡位置的位移；給定t，表示t時(shí)刻的波形，即給出t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)自己平衡位置的位移。7波的能量 波動(dòng)中的動(dòng)能與勢(shì)能之和，其特點(diǎn)是同體積元中的動(dòng)能和勢(shì)能相等。任意體積元的8平均能量密度、能流密度 一周期內(nèi)垂直通過(guò)某一面積能量的平均值是平均能量密度，用表示。單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)垂直于波傳播方向單位面積的平均能量，叫做波的能流密度，用表示。其中，9波的衍射 波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，其傳播方向發(fā)

26、生改變，并能繞過(guò)障礙物而繼續(xù)向前傳播，這種現(xiàn)象稱為波的衍射（繞射）。10波的干涉 幾列波疊加時(shí)產(chǎn)生強(qiáng)度穩(wěn)定分布的現(xiàn)象稱為波的干涉現(xiàn)象。產(chǎn)生波的相干條件是：頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定的兩列波的疊加。加強(qiáng)和減弱的條件，取決于兩波在相干點(diǎn)的相位差， 時(shí)，合振幅達(dá)到極大，稱為干涉相長(zhǎng)振幅為極小，稱為干涉相消。11駐波 它由兩列同振幅的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加而成。駐波方程：。12半波損失 波由波疏介質(zhì)行進(jìn)到波密介質(zhì)，在分界面反射時(shí)會(huì)形成波節(jié)，相當(dāng)于反射波在反射點(diǎn)損失了半個(gè)波長(zhǎng)的過(guò)程。13多普勒效應(yīng) 因波源或觀察者相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，而使觀察者接收到的波的頻率與波源的振動(dòng)頻率不同的現(xiàn)象

27、。5.3基本規(guī)律圖5-11惠更斯原理 介質(zhì)中波動(dòng)傳到的各點(diǎn)均可看做能夠發(fā)射子波的新波源，此后的任一時(shí)刻，這些子波的包跡就是該時(shí)刻的波前。據(jù)此，只要知道了某一時(shí)刻的波面，就可用幾何作圖的方法決定下一時(shí)刻的波面。因而惠更斯原理在很廣泛的范圍內(nèi)解決了波的傳播問(wèn)題。下面通過(guò)球面波的傳播來(lái)說(shuō)明惠更斯原理的應(yīng)用。如圖5-1所示，t時(shí)刻的波面是半徑為R1的球面 S1，按惠更斯原理，S1上的每一點(diǎn)都可以看成發(fā)射子波的點(diǎn)波源。以 S1面上各點(diǎn)為中心，以為半徑作半球面，這些半球面就是這些新的子波的波前，它們的包絡(luò)面S2就是（t+t）時(shí)刻的波面。2多普勒效應(yīng) 當(dāng)觀察者和波源之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者所測(cè)到的頻率和波源

28、的頻率不相同的現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。當(dāng)波源與觀察者在同一直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二者關(guān)系為。u：機(jī)械波在介質(zhì)中的傳播速度：波源相對(duì)于介質(zhì)的速度：觀察者相對(duì)于介質(zhì)的速度為觀察者接近波源時(shí)，前取“+”號(hào)，遠(yuǎn)離時(shí)，則取“-”號(hào)；波源朝向觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)，前取“-”號(hào)，遠(yuǎn)離時(shí)，則取“+”號(hào)。 5.4學(xué)習(xí)指導(dǎo)1重點(diǎn)解析下面將討論本章的習(xí)題分類及解題方法：（1）已知波動(dòng)表達(dá)式求有關(guān)的物理量，如振幅、周期、波長(zhǎng)、質(zhì)元間的相位差等.通常采用比較法，即將已知的波動(dòng)表達(dá)式與標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)表達(dá)式進(jìn)行比較，從而找出相應(yīng)的物理量；也可以根據(jù)各物理量的關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算得到結(jié)果。（2）已知波動(dòng)的有關(guān)物理量，建立波動(dòng)表達(dá)式基本步驟如下：（a）由題

29、給條件寫(xiě)出波源或傳播方向上某一點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式。(b)在波線上建立坐標(biāo)后，任取一點(diǎn)P，距原點(diǎn)為x，計(jì)算出p點(diǎn)的振動(dòng)比已知點(diǎn)的振動(dòng)在時(shí)間上超前或落后。設(shè)超前或落后的時(shí)間為t，將原振動(dòng)表達(dá)式中加上或減去t，即得該波的表達(dá)式。也可計(jì)算出P點(diǎn)振動(dòng)相位比已知點(diǎn)超前或落后，設(shè)超前或落后相位為，則將原振動(dòng)表達(dá)式中的相位加上或減去。注意：超前為加，落后為減。為方便起見(jiàn)，有時(shí)常把波線上的已知點(diǎn)選為坐標(biāo)原點(diǎn)。（3）已知波形曲線，建立波動(dòng)表達(dá)式從波形曲線上確定有關(guān)的物理量。如波長(zhǎng)、振幅等，特別要注意從曲線上確定某點(diǎn)（如原點(diǎn)）的振動(dòng)相位，這可用旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法確定，然后寫(xiě)出該點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式，再根據(jù)傳播方向?qū)懗霾▌?dòng)表達(dá)

30、式。例1 已知一平面波在t=0s時(shí)的波形曲線如圖5-2所示，波沿x軸正向傳播，已知波的周期.求（1）該波的波函數(shù)；（2）點(diǎn)P處質(zhì)元的振動(dòng)方程。圖5-2分析：首先要選一個(gè)參考點(diǎn)，如坐標(biāo)原點(diǎn)，求出該點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程，因此必須求出振動(dòng)的特征量、。然后由圖中信息求出波長(zhǎng)或波速，再根據(jù)波的傳播方向，寫(xiě)出波函數(shù)。將P點(diǎn)x坐標(biāo)值代入波函數(shù)即可求P處質(zhì)元的振動(dòng)方程。解：選坐標(biāo)原點(diǎn)為參考點(diǎn)，由圖可知振幅，則圓頻率波沿x軸正向傳播，顯然，利用旋轉(zhuǎn)矢量法，畫(huà)出t=0時(shí)刻對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖5-3所示，則，于是原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程為為求波函數(shù)，要求出波長(zhǎng)或波速。先設(shè)波函數(shù)為由波形曲線可知t=0時(shí)刻，x=0.4m處，

31、,代入波函數(shù)得所以波函數(shù)為（2）P點(diǎn) x=0.8m代入波函數(shù)即可求P處質(zhì)元的振動(dòng)方程是（4）波的干涉和駐波波的干涉問(wèn)題主要是計(jì)算相干波在空間各處相遇是增強(qiáng)還是減弱，這可通過(guò)二者相位差或波程差來(lái)確定。駐波問(wèn)題中，波腹和波節(jié)的位置是計(jì)算問(wèn)題的重點(diǎn)，而寫(xiě)出反射波是關(guān)鍵。例2 兩波在一根很長(zhǎng)的弦線上傳播，其波動(dòng)方程分別為求(1)兩波的頻率、波長(zhǎng)、波速(2)兩波節(jié)疊加后的節(jié)點(diǎn)位置(3)疊加后振幅最大的那些點(diǎn)的位置解：（1）與標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程比較可得：頻率、波長(zhǎng)、波速。（2）節(jié)點(diǎn)位置則有：（3）波腹位置：則有：（5）多普勒效應(yīng)求解多普勒效應(yīng)問(wèn)題時(shí)，首先要分析波源和觀察者的運(yùn)動(dòng)情況，以便應(yīng)用不同公式進(jìn)行處理。

32、應(yīng)特別注意公式中符號(hào)規(guī)則。對(duì)于有反射面的情況，反射面相當(dāng)于一個(gè)“觀察者”，分析反射波時(shí)相當(dāng)于一個(gè)“波源”。2難點(diǎn)釋疑疑難點(diǎn)1. 如何理解駐波，“半波損失”。兩列振幅相同、振動(dòng)方向相同、頻率相同的相干波沿相反方向傳播時(shí)，就疊加形成駐波。其表達(dá)式為：波節(jié)位置：波腹位置：相鄰兩波節(jié)或波腹之間的距離為，相鄰波節(jié)間各點(diǎn)振動(dòng)同相位，波節(jié)兩側(cè)范圍內(nèi)媒質(zhì)的振動(dòng)相位差為。駐波沒(méi)有能量和相位的傳播，這就是駐波中“駐”字的含義。但不斷進(jìn)行著動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換，以及能量從波節(jié)到波腹和從波腹到波節(jié)的轉(zhuǎn)移。半波損失是指波由波疏介質(zhì)進(jìn)入波密介質(zhì)時(shí)，在反射點(diǎn)處，反射波與入射波疊加形成波節(jié)。相對(duì)于入射波，反射波相位突變，相當(dāng)

33、于出現(xiàn)了半個(gè)波長(zhǎng)的波程差。疑難點(diǎn)2. 波動(dòng)過(guò)程任一體積元的機(jī)械能不守恒。圖5-4理想的諧振動(dòng)系統(tǒng)是一個(gè)孤立系統(tǒng)，在振動(dòng)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)受保守力作用，系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，總機(jī)械能保持不變。波動(dòng)過(guò)程中，雖然質(zhì)元也在做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但質(zhì)元振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能卻同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)減小變?yōu)榱?和諧振動(dòng)系統(tǒng)有著明顯的不同。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，很多學(xué)生感到很困惑，這是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)。問(wèn)題的關(guān)鍵是要理解勢(shì)能產(chǎn)生的原因：具有形變因而產(chǎn)生勢(shì)能。從圖5-4中可明確看到，質(zhì)元在最大位移處幾乎沒(méi)有形變，在平衡位置處形變最大，故勢(shì)能最大。5.5習(xí)題解答5.1 一平面簡(jiǎn)諧波在彈性媒質(zhì)中傳播時(shí)，某一時(shí)刻在傳播方向上介質(zhì)中某質(zhì)元在負(fù)的最

34、大位移處，則它的能量 (A) 動(dòng)能為零，勢(shì)能最大(B) 動(dòng)能為零，勢(shì)能為零(C) 動(dòng)能最大，勢(shì)能最大(D) 動(dòng)能最大，勢(shì)能為零解析：正確答案（B）介質(zhì)中某質(zhì)元的動(dòng)能表達(dá)式，質(zhì)元的彈性勢(shì)能，所以在波動(dòng)傳播的介質(zhì)中，任一體積元的動(dòng)能、勢(shì)能均隨作周期性變化，且變化是同相位的。體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能和總機(jī)械能均最大。體積元的位移最大時(shí)，三者均為零。習(xí)題5.2圖5.2 一平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為y = 0.1cos(3tx+) (SI)t = 0 時(shí)的波形曲線如圖所示，則 (A) O點(diǎn)的振幅為0.1m (B) 波長(zhǎng)為3m (C) a、b兩點(diǎn)間相位差為/2 (D) 波速為9m/s 解析：正確答案（C

35、）波動(dòng)方程的一般表達(dá)式是，對(duì)比所給波動(dòng)方程可知：各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振幅都是0.1m，波長(zhǎng)，角頻率，所以波速。a、b兩點(diǎn)間距離差是，對(duì)應(yīng)的相位差是。5.3 某平面簡(jiǎn)諧波在t = 0.25s時(shí)波形如圖所示,則該波的波函數(shù)為 Oy(cm)x(cm)t=0.25s0.5u=8cm/s習(xí)題5.3圖(A)(B)(C)(D)解析：正確答案（A）波動(dòng)方程的一般表達(dá)式是，由圖可知，A=0.5cm , 所以x 前系數(shù)取負(fù)值。t=0.25s時(shí)，此時(shí)的相位是已知條件代入方程可得：所以，波的波函數(shù)為5.4 一余弦波沿x軸負(fù)方向傳播，已知x=-1m處振動(dòng)方程為，若波速為，則波動(dòng)方程為 (A) (B)(C) (D)解析：正確答案（

36、C）沿x軸負(fù)方向傳播的波動(dòng)方程的一般表達(dá)式是，本題中x=-1m處的相位是，相位差與波程差之間的關(guān)系是，可知任意x處的相位比x=-1m的相位多，所以任意x處的相位是。5.5 頻率為100Hz，傳播速度為的平面簡(jiǎn)諧波，波線上距離小于波長(zhǎng)的兩點(diǎn)振動(dòng)的相位差為，則此兩點(diǎn)相距 (A)1.5m (B)2.19m (C)0.5m (D)0.25m解析：正確答案（A）相位差與波程差之間的關(guān)系是，本題中，。5.6 兩列相干波沿同一直線反向傳播形成駐波,則相鄰波節(jié)間各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng) (A)振幅相同,相位相同(B)振幅不全相等,相位相同(C)振幅相同,相位不同(D)振幅不全相等,相位不同解析：正確答案（B）駐波方程為，

37、因此根據(jù)其特點(diǎn)，兩波節(jié)間各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)振幅不同，但相位相同。5.7 在波長(zhǎng)為的駐波中，兩個(gè)相鄰波腹之間的距離為 (A) (B) (C) (D) 解析：正確答案（B）駐波方程為，波腹處質(zhì)點(diǎn)就滿足條件是：，相鄰波腹間的距離是波長(zhǎng)的一半，為。5.8 一機(jī)車汽笛頻率為750 Hz，機(jī)車以時(shí)速90公里遠(yuǎn)離靜止的觀察者，觀察者聽(tīng)到的聲音的頻率是（設(shè)空氣中聲速為） (A)810 Hz (B)699 Hz (C)805 Hz (D)695 Hz。 解析：正確答案（D）本題是多普勒效應(yīng)的應(yīng)用，機(jī)車汽笛是一個(gè)聲源，觀察者靜止。所以觀察者聽(tīng)到的聲音的頻率可用公式：。選（D）5.9 t=0時(shí)刻波形曲線如左圖所示，此時(shí)a點(diǎn)運(yùn)

38、動(dòng)方向 ，b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向 ，坐標(biāo)為x的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)曲線如右圖所示時(shí)，則a時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向 ，b時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向 。習(xí)題5.9圖解析：-y,y, y,-y本題給出了兩個(gè)很相似的曲線圖，但本質(zhì)卻完全不同。求解本題要弄清波動(dòng)圖和振動(dòng)圖的不同的物理意義。左圖是波形曲線，由波型狀態(tài)和傳播方向可知，a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向是沿y軸負(fù)向，b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向是沿y軸正向。右圖是振動(dòng)曲線，由曲線和傳播方向可知，a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向是沿y軸正向，b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向是沿y軸負(fù)向。5.10 一橫波波函數(shù)為m，則頻率= ，波長(zhǎng)= ,初相= 。 解析：100HZ,0.2m,波動(dòng)方程的一般表達(dá)式是，對(duì)比將已知波的表達(dá)式，可知頻率=100HZ, 波長(zhǎng)=0.2m, 初相=

39、5.11波相干的條件是 。解析：兩列波相干的條件是頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定。5.12頻率為500Hz的波，其波速為，相位差為的兩點(diǎn)間距離為 。解析：0.23m相位差與波程差之間的關(guān)系是，本題中，。5.13 沿x軸正向傳播的波，波速為，原點(diǎn)振動(dòng)方程為，試求(1) 此波的波長(zhǎng)。(4m)(2)波函數(shù)。(3)同一質(zhì)元在1s末和2s末這兩個(gè)時(shí)刻的相位差(rad)(4),處兩質(zhì)元在同一時(shí)刻的相位差解析：（1）由原點(diǎn)的振動(dòng)方程知，振動(dòng)周期T=2s .所以此波的波長(zhǎng)是（2）由原點(diǎn)的振動(dòng)方程可得波函數(shù)（3）同一質(zhì)元在兩個(gè)時(shí)刻的相位差為（4）波線上兩點(diǎn)在同一時(shí)刻的相位差為B點(diǎn)比A點(diǎn)滯后。5.14 一橫波

40、波函數(shù)為，求：(1) 振幅、波長(zhǎng)、頻率和初相位(2)x=2m處質(zhì)點(diǎn)在t=2s時(shí)振動(dòng)的位移(3)傳播方向上時(shí)間間隔為1s的兩質(zhì)點(diǎn)的相位差解析：（1）將給定的方程化為與標(biāo)準(zhǔn)形式的波動(dòng)方程比較，可得振幅A=0.5m，波長(zhǎng)，角頻率，頻率，初相位（2）把x=2m，t=2s代入波函數(shù)，可得振動(dòng)的位移。（3）本題目中，傳播方向上時(shí)間間隔為1s的兩質(zhì)點(diǎn)之間的距離是兩個(gè)波長(zhǎng)。對(duì)應(yīng)的相位差是5.15 一波源位于坐標(biāo)原點(diǎn)向x軸正方向發(fā)射一橫波，周期T=1s，波長(zhǎng)=10m，振幅A=0.5m，當(dāng)t=0s時(shí)刻波源振動(dòng)位移恰好為正方向最大值，求：（1）波函數(shù)；（2）t1=0.25s時(shí)，x=2.5m處質(zhì)點(diǎn)位移；（3）t2=0

41、.5s時(shí)，x=2.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。解析：波函數(shù)動(dòng)方程一般形式是，要求波函數(shù)只要求振幅、波長(zhǎng)、角頻率和初相位。（1）振幅A=0.5m，波長(zhǎng)=10m，角頻率，當(dāng)t=0s時(shí)刻波源振動(dòng)位移恰好為正方向最大值,可知此時(shí)對(duì)應(yīng)的的相位是0，即是初相位。波函數(shù)是（2）t1=0.25s時(shí)，x=2.5m代入波函數(shù)，即可得質(zhì)點(diǎn)位移（3）t2=0.5s時(shí)，x=2.5m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度習(xí)題5.16圖5.16 如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形圖，設(shè)此簡(jiǎn)諧波的頻率為250Hz，且此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向向下，求(1) 該波的波動(dòng)方程。(2) 在距原點(diǎn)為100m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程的表達(dá)式。 解析：由P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，可

42、判定該波向左傳播。對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)元，t=0時(shí)的位置，有，所以原點(diǎn)的振動(dòng)方程為波動(dòng)方程為（2）在距原點(diǎn)為100m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程是5.17 如圖所示為平面簡(jiǎn)諧波在時(shí)的波形曲線，求該波的波動(dòng)方程。 習(xí)題5.17圖解析：設(shè)x=0處質(zhì)元的振動(dòng)方程是由圖可知：A=0.1m,時(shí)，速度方向?yàn)?y方向，原點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)方程是該波的波動(dòng)方程為5.18 一平面簡(jiǎn)諧波以u(píng)=0.8ms-1的速度沿x軸負(fù)方向傳播。已知距坐標(biāo)原點(diǎn)x=0.4m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖所示。試求：(1) x=0.4m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程(2) 該平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程(3) 畫(huà)出t=0時(shí)刻的波形圖習(xí)題5.18圖解析：（1）振動(dòng)方程的表達(dá)式，由圖可知振

43、幅A=0.05m，T=1s,角頻率，t=0s時(shí)，位移是正的最大可知初相位。所以振動(dòng)方程是（2）沿x軸負(fù)方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程的表達(dá)式其中A=0.05m，角頻率，波長(zhǎng)，所以波動(dòng)方程可寫(xiě)成由x=0.4m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程可知，當(dāng)t=0s, x=0.4m處質(zhì)點(diǎn)的的相位是0， t=0s, x=0.4m代入波動(dòng)方程可得相位表達(dá)式波動(dòng)方程是（3）t=0代入波動(dòng)方程可得。圖略5.19一平面波在介質(zhì)中以u(píng)沿x軸正方向傳播，已知A點(diǎn)振動(dòng)方程，A、B兩質(zhì)點(diǎn)相距為d，xA0）習(xí)題5.25圖解析：沿ox軸傳播的波與從AB面上的P點(diǎn)反射來(lái)的波在x處相遇，兩波的波程差是代入干涉加強(qiáng)的條件，有可得（當(dāng)x=0時(shí)，由，可

44、得）5.26 如圖，一角頻率為，振幅為A的平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播。設(shè)在t=0時(shí)該波在原點(diǎn)O處引起的振動(dòng)使介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向y軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。M 是垂直于x軸的波密介質(zhì)反射面。已知，（為該波波長(zhǎng)），設(shè)反射波不衰減，求：（1）入射波與反射波的表達(dá)式；（2）P點(diǎn)的振動(dòng)方程。習(xí)題5.26圖解析：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程的表達(dá)式，對(duì)于入射波，x前系數(shù)取負(fù)號(hào)，反射波取正號(hào)。題目已知條件是：t=0時(shí)該波在原點(diǎn)O處引起的振動(dòng)使介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)由平衡位置向y軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)矢量法可知相位是，即是初相位，。入射波表達(dá)式是。入射波在O點(diǎn)的相位是，由于M是垂直于x軸的波密介質(zhì)反射面，波是從波密媒質(zhì)反射回波疏媒質(zhì)，在反

45、射點(diǎn)反射時(shí)有相位的突變。反射波的相位是設(shè)反射波的表達(dá)式是，則t時(shí)刻，反射波在O點(diǎn)的相位是比較以上反射波O點(diǎn)的相位的兩個(gè)表達(dá)式，可得，所以反射波的表達(dá)式是（2）P點(diǎn)的振動(dòng)是入射波與反射波在P點(diǎn)引起振動(dòng)的合成。入射波在P點(diǎn)引起振動(dòng)表達(dá)式是反射波在P點(diǎn)引起振動(dòng)表達(dá)式是所以5.27 一駐波波函數(shù)為，求(1)形成此駐波的兩行波的振幅和波速各為多少？(2)相鄰兩波節(jié)間的距離多大？ (3)時(shí)，處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的速度多大？解析：（1）將與駐波方程相比較可知A=0.01m,，所以，傳播速度（2）相鄰兩波節(jié)點(diǎn)之間的距離（3）質(zhì)元振動(dòng)速度 5.28一輛機(jī)車以的速度駛近一位靜止的觀察者，如果機(jī)車的汽笛的頻率為550Hz，此

46、觀察者聽(tīng)到的聲音頻率是多少？（空氣中聲速為） 解析：觀察者不動(dòng)，波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收到的頻率為5.29一聲源的頻率為1080Hz，相對(duì)地面以的速率向右運(yùn)動(dòng)。在其右方有一反射面相對(duì)地面以的速率向左運(yùn)動(dòng)。設(shè)空氣中聲速為。求：（1）聲源在空氣中發(fā)出的聲音的波長(zhǎng)；（2）反射回的聲音的頻率和波長(zhǎng)。解析：（1）波源運(yùn)動(dòng)時(shí)，波長(zhǎng)將發(fā)生變化。聲源在空氣中發(fā)出的聲音的波長(zhǎng)（2）聲源向右運(yùn)動(dòng)，反射面也在運(yùn)動(dòng)，則反射面相當(dāng)于觀察者。波源和觀察者在他們的連線上相向運(yùn)動(dòng)時(shí)求解反射回的聲音的頻率時(shí)，反射面相當(dāng)于聲源，觀察者不動(dòng)。則對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)是5.30 頻率為f=400Hz的音叉以的速率遠(yuǎn)離一名觀測(cè)者同時(shí)又朝一面大墻運(yùn)動(dòng)

47、。求：（1）觀察者所聽(tīng)到的未經(jīng)反射的聲音的頻率；（2）所聽(tīng)到經(jīng)反射后聲音的頻率；（3）每秒能聽(tīng)到幾次拍的聲音，已知聲速為。解析：（1）此時(shí)的情景是聲源遠(yuǎn)離觀察者運(yùn)動(dòng)。觀察者所聽(tīng)到的未經(jīng)反射的聲音的頻率（2）此時(shí)的情景是聲源靠近觀察者運(yùn)動(dòng)。所聽(tīng)到經(jīng)反射后聲音的頻率（3）拍頻是，每秒能聽(tīng)到4.7次拍的聲音4 開(kāi)放性習(xí)題5.31請(qǐng)以“波浪能量”和“海洋能利用”為關(guān)鍵詞，通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)了解我國(guó)利用海洋能發(fā)電的現(xiàn)狀。（略）第6章 波動(dòng)光學(xué)6.1基本要求1理解相干光的條件及獲得相干光的方法. 2掌握光程的概念以及光程差和相位差的關(guān)系，了解半波損失，掌握半波損失對(duì)薄膜干涉極大值和極小值條件的影響。3能分析楊氏雙

48、縫干涉條紋及薄膜等厚干涉條紋的位置4了解邁克耳孫干涉儀的工作原理5了解惠更斯菲涅耳原理及它對(duì)光的衍射現(xiàn)象的定性解釋.6了解用波帶法來(lái)分析單縫夫瑯禾費(fèi)衍射條紋分布規(guī)律的方法，會(huì)分析縫寬及波長(zhǎng)對(duì)衍射條紋分布的影響.7了解衍射對(duì)光學(xué)儀器分辨率的影響.8掌握光柵方程，會(huì)確定光柵衍射譜線的位置，會(huì)分析光柵常數(shù)及波長(zhǎng)對(duì)光柵衍射譜線分布的影響.9理解自然光與偏振光的區(qū)別.10理解布儒斯特定律和馬呂斯定律.11了解線偏振光的獲得方法和檢驗(yàn)方法.6.2基本概念1相干光若兩束光的光矢量滿足頻率相同、振動(dòng)方向相同以及在相遇點(diǎn)上相位差保持恒定，則這兩束光為相干光。能夠發(fā)出相干光的光源稱為相干光源。2光程光程是在光通過(guò)

49、介質(zhì)中某一路程的相等時(shí)間內(nèi)，光在真空中通過(guò)的距離。若介質(zhì)的折射率為n，光在介質(zhì)中通過(guò)的距離為L(zhǎng)，則光程為nL。薄透鏡不引起附加光程差。光程差與相位差的關(guān)系。3半波損失光在兩種介質(zhì)表面反射時(shí)相位發(fā)生突變的現(xiàn)象。當(dāng)光從光疏介質(zhì)（折射率較小的介質(zhì)）射向光密介質(zhì)（折射率較大的介質(zhì)）時(shí)，反射光的相位較之入射光的相位躍變了，相當(dāng)于反射光與入射光之間附加了半個(gè)波長(zhǎng)的光程差，所以稱為半波損失。4楊氏雙縫干涉楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是利用波陣面分割法來(lái)獲得相干光的。用單色平行光照射一窄縫S，窄縫相當(dāng)于一個(gè)線光源。S后放有與其平行且對(duì)稱的兩狹縫S1和S2，兩縫之間的距離很小。兩狹縫處在S發(fā)出光波的同一波陣面上，構(gòu)成一對(duì)初

50、相位相同的等強(qiáng)度的相干光源，在雙縫的后面放一個(gè)觀察屏，可以在屏幕上觀察到明暗相間的對(duì)稱的干涉條紋，這些條紋都與狹縫平行，條紋間的距離相等。5薄膜干涉薄膜干涉是利用分振幅法來(lái)獲得相干光的。由單色光源發(fā)出的光經(jīng)薄膜上表面的反射光和經(jīng)薄膜下表面反射再折射形成的光是相干光，它們?cè)诒∧さ姆瓷浞较虍a(chǎn)生干涉。薄膜干涉的應(yīng)用有增透膜，增反膜等。6劈尖兩片疊放在一起的平板玻璃，其一端的棱邊相接觸，另一端被細(xì)絲隔開(kāi)，在兩塊平板玻璃的表面之間形成一空氣薄層，叫做空氣劈尖。自空氣劈尖上下兩面反射的光相互干涉。形成明暗交替、均勻分布的干涉條紋。7牛頓環(huán)一塊曲率半徑很大的平凸透鏡與一平玻璃相接觸，構(gòu)成一個(gè)上表面為球面，下

51、表面為平面的空氣劈尖。由單色光源發(fā)出的光經(jīng)劈尖空氣層的上下表面反射后相互干涉，形成明暗相間且間距不等的同心圓環(huán)，因其最早是被牛頓觀察到的，故稱為牛頓環(huán)。8邁克爾孫干涉儀用互相垂直的兩平面鏡形成等效空氣層，分振幅法產(chǎn)生相干光。條紋移動(dòng)數(shù)目N與反射鏡移動(dòng)的距離之間的關(guān)系為9夫瑯和費(fèi)單縫衍射單色平行光垂射到單縫上，在屏上形成一組平行于單縫的直條紋，中央明紋最寬最亮，寬度是其它明紋的二倍。分析方法：半波帶法10圓孔衍射 艾里斑圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中央為一亮斑，稱為愛(ài)里斑，周圍為一些同心明暗環(huán)。愛(ài)里斑的半角寬度為11最小分辨角 光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)瑞利判據(jù)規(guī)定：兩個(gè)物體通過(guò)光學(xué)儀器孔徑衍射后，當(dāng)一個(gè)愛(ài)里

52、斑中心剛好落在另一個(gè)愛(ài)里斑的第一級(jí)暗環(huán)上時(shí)，兩個(gè)愛(ài)里斑剛好能夠分辨，儀器的最小分辨角在光學(xué)中,將定義為光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng),即12衍射光柵任何具有空間周期性的衍射屏都可以看成光柵。主極大的位置由光柵方程決定13自然光 普通光源中各原子發(fā)光是獨(dú)立的，每個(gè)波列的振幅、相位和振動(dòng)方向都是隨機(jī)的，在垂直于光的傳播方向的平面內(nèi)，在同一時(shí)刻沿各個(gè)方向振動(dòng)的光矢量都有。平均說(shuō)來(lái)，光矢量具有均勻的軸對(duì)稱分布，各方向光矢量振動(dòng)的振幅相同，這種光稱為自然光。14線偏振光 光矢量只在一個(gè)固定平面內(nèi)沿一個(gè)固定方向振動(dòng)，這種光就是一種完全偏振光，叫線偏振光。15部分偏振光 是介于偏振光與自然光之間的一種光，例如把一束偏振

53、光與一束自然光混合，得到的光就屬于部分偏振光。在垂直于光傳播方向的平面內(nèi)，各方向的光振動(dòng)都有，但它們的振幅不相等。6.3基本規(guī)律惠更斯菲涅耳原理菲涅耳根據(jù)波的疊加和干涉原理，提出了“子波相干疊加”的概念，對(duì)惠更斯原理作了物理性的補(bǔ)充。菲涅耳認(rèn)為，從同一波面上各點(diǎn)發(fā)出的子波是相干波。在傳播到空間某一點(diǎn)時(shí)，各子波進(jìn)行相干疊加的結(jié)果，決定了該處的波振幅。楊氏雙縫干涉 當(dāng)波長(zhǎng)為的單色光入射到縫間距為d的雙狹縫后，在距狹縫為D的屏幕上會(huì)形成兩縫透過(guò)的相干光疊加后的干涉條紋，以兩縫中心垂線與屏幕的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則明暗條紋的位置應(yīng)滿足下列條件相鄰兩條明紋或暗紋的間距為薄膜干涉 將一波長(zhǎng)為的擴(kuò)展光源照射到一

54、厚度為d、折射率為、置于折射率為介質(zhì)的薄膜上，薄膜上下兩表面的反射光在相遇點(diǎn)的光程差為其中為入射光線與薄膜表面法線之間的夾角。由此可得出薄膜干涉的明暗紋條件公式中是在表面產(chǎn)生的附加光程差，是否要這一項(xiàng)，要根據(jù)薄膜及上下表面兩側(cè)介質(zhì)的折射率來(lái)考慮。4等厚干涉 劈尖反射光干涉極大（明紋）和極?。ò导y）的條件是：（光線垂直入射）相鄰明（或暗）條紋中心之間的距離（簡(jiǎn)稱條紋間距）相等在劈尖上方觀察干涉圖形是一些與棱邊平行的、均勻分布、明暗相間的直條紋。牛頓環(huán)的明暗紋條件（光線垂直入射）牛頓環(huán)明（暗）半徑分別為5單縫夫瑯和費(fèi)衍射 利用半波帶法可得單縫夫瑯和費(fèi)衍射明暗紋條件中央明紋角寬度和線寬度分別為其余明

55、紋角寬度和線寬度分別為6 光柵的夫瑯和費(fèi)衍射主極大的位置由光柵方程決定忽略單縫衍射時(shí)，光柵衍射條紋為等間距、等亮度、相鄰兩條明紋間有寬廣暗區(qū)的明亮尖銳條紋。但由于單縫衍射的存在，衍射光強(qiáng)對(duì)光柵條紋光強(qiáng)起調(diào)制作用，使明紋的亮度不再相同，并且會(huì)出現(xiàn)缺級(jí)現(xiàn)象，缺級(jí)的條件為同時(shí)滿足即當(dāng)衍射角同時(shí)滿足光柵衍射極大和單縫衍射暗紋條件時(shí)，相應(yīng)的光柵衍射極大將缺失。缺級(jí)條件是：也就是說(shuō)，a+b與a的比等于整數(shù)比時(shí)便有缺級(jí)現(xiàn)象。7馬呂斯定律（對(duì)線偏振光），為通過(guò)檢偏器后的光強(qiáng)，為入射于檢偏器的光強(qiáng)，為光振動(dòng)方向與偏振化方向的夾角。8布儒斯特定律當(dāng)自然光從折射率為的各向同性介質(zhì)向折射率為的各向同性介質(zhì)入射時(shí)，若入

56、射角i0滿足則反射光變成完全偏振光，且其光振動(dòng)的方向垂直于入射面，這一規(guī)律稱為布儒斯特定律，這一特定的入射角i0稱為布儒斯特角或起偏振角。此時(shí)，反射線與折射線相互垂直。6.4學(xué)習(xí)指導(dǎo)1重點(diǎn)解析（1）雙縫干涉條紋的計(jì)算研究雙縫干涉問(wèn)題，主要是計(jì)算兩束相干光的光程差，根據(jù)干涉明暗條紋的條件，就可以得到條紋的形態(tài)和分布。例1 在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，設(shè)雙縫之間的距離為d=0.2mm，屏與雙縫間的距離D1.00m。當(dāng)波長(zhǎng)的單色光垂直入射時(shí)，求10條干涉條紋之間的距離。若以白光入射，將出現(xiàn)彩色條紋，求第二級(jí)光譜的寬度。分析：在楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，如果入射光為單色光，則干涉條紋為等距分布的明暗相間的直條紋。

57、n條條紋之間的距離為。如果入射光為白光，中心零級(jí)明紋極大處為白色，其它各級(jí)條紋均因波長(zhǎng)不同而彼此分開(kāi)，具有一定的寬度，第k級(jí)干涉條紋的寬度為解：（1）在楊氏雙縫干涉的圖樣中，其干涉條紋為等距分布的明暗相間的直條紋。相鄰條紋之間的距離為10條干涉條紋之間有9個(gè)間距，所以10條干涉條紋之間的距離為（2）第二級(jí)彩色條紋光譜寬度是指第二級(jí)紫光明紋中心位置到第二級(jí)紅光明紋中心位置之間的距離。楊氏雙縫干涉明紋的位置為所以第二級(jí)光譜的寬度為（2）薄膜干涉條紋的計(jì)算在計(jì)算薄膜干涉的光程差時(shí)，特別要注意反射光的半波損失問(wèn)題。當(dāng)光從折射率為的媒質(zhì)中垂直（或近于垂直）入射到折射率為的媒質(zhì)，若,則在界面上的反射光有半

58、波損失。例2 一油輪漏出的油(折射率n1 = 1.20)污染了某海域，在海水(n2 = 1.30)表面形成了一層薄薄的油污。(1)如果太陽(yáng)正位于海域上空，一直升飛機(jī)的駕駛員從機(jī)上向下觀察，他所正對(duì)的油層厚度為460nm，則他將觀察到油層呈什么顏色? (2)如果一潛水員潛入該區(qū)域水下，又將觀察到油層呈什么顏色? 解 這是一個(gè)薄膜干涉問(wèn)題。太陽(yáng)光垂直照射在海面上，駕駛員和潛水員看到的分別是反射光的干涉結(jié)果和透射光的干涉結(jié)果。（1）由于油層的折射率n1小于海水的折射率n2但大于空氣的折射率，所以在油層上，下表面反射的太陽(yáng)光均發(fā)生的相位躍變。兩反射光之間的光程差為:當(dāng)，即，k=1,2,.把n1=1.2

59、0,d=460nm代入，干涉加強(qiáng)的光波波長(zhǎng)為，其中，波長(zhǎng)為 的綠光在可見(jiàn)范圍內(nèi)，所以駕駛員看到薄膜呈綠色。（2）此題中透射光的光程差為：，所以潛水員看到薄膜呈紫紅色（3）單縫衍射和光柵衍射條紋的計(jì)算；單縫夫瑯禾費(fèi)衍射和光柵衍射條紋的計(jì)算要記住單縫衍射明暗條紋的條件：從形式上看，似乎與干涉的明暗條件相反，二者是矛盾的。事實(shí)上，從疊加的意義看是完全一致的。對(duì)于光柵衍射，主要在明紋的條件，即光柵方程例3 波長(zhǎng)為600nm的單色光垂直入射到寬度a=0.10mm的單縫上，觀察夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，透鏡焦距f=1.0m，屏在透鏡的焦平面處，求中央明紋的寬度。第二級(jí)暗紋到中央明紋的距離。解：(1)中央明紋的寬度

60、指在屏上兩側(cè)第一暗紋的間距，由單縫衍射暗紋公式令k=1，得 又 其中是第一級(jí)暗紋到中央明紋中心的距離，中央衍射明紋的寬度是代入已知數(shù)據(jù)得(2)第k級(jí)暗紋到中央明紋的距離為當(dāng)k=2時(shí)得到第二級(jí)暗紋到中央明紋的距離（4）光學(xué)儀器分辨率的計(jì)算光學(xué)儀器分辨率的計(jì)算根據(jù)瑞利判據(jù)得到光學(xué)儀器最小分辨角例4 用肉眼觀察1.0km遠(yuǎn)處的物體，問(wèn)能分辨物體的細(xì)節(jié)尺寸是多大？若用通光孔徑為5.0cm的望遠(yuǎn)鏡觀察，問(wèn)能分辨物體的細(xì)節(jié)尺寸是多大？設(shè)人眼瞳孔的直徑是5.0mm，光的波長(zhǎng)為500nm。解：人眼的最小分辨角設(shè)人眼分辨物體的細(xì)節(jié)尺寸是d，則望遠(yuǎn)鏡的最小分辨角望遠(yuǎn)鏡分辨物體的細(xì)節(jié)尺寸是（5）馬呂斯定律和布儒斯特