十變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)計(jì)算

1、第十節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算【最新考綱】1了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義3能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C（C為常數(shù)）,y1_=x,y=-，y=x2,y=x3,y=.x的導(dǎo)數(shù).4能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并了解復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)（僅限于形如y=f（ax+b）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).夯罷雙基夯罷雙基）|基礎(chǔ)梳理導(dǎo)數(shù)的概念（1）函數(shù)在広=心處的導(dǎo)數(shù)；定義：稱(chēng)函數(shù)y=f（）在無(wú)=工。處的瞬時(shí)變化率応心。+管）一*%）=恤護(hù)為函數(shù)嚴(yán)念）在Xr-0疋27文工=工。處的導(dǎo)數(shù)，記作fGQ或”丨工一、O即心）=恤護(hù)=1血竺埠二厶*丄

2、*工m幾何意義：函數(shù)*工）在點(diǎn)忑處的導(dǎo)數(shù)#（吧）的幾何意義是曲線S在點(diǎn)（工。JJ。）處的切線斜率.相應(yīng)地，切線方程為歹/（並）（孔）（JT碼）*（2）函數(shù)于（文）的導(dǎo)函數(shù)：稱(chēng)函數(shù)fa）=lin/5十羅為八工）的導(dǎo)函數(shù).Ar0J?基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)兩數(shù)/（T）=*才一1/(工)=sin工ff(.JC)cos工f(jr)=cosjc廠（工）=sinjcf(x)=aTff(t)=aTna(u0)/3=蘭/(J7)=10gaJ7/3=j-lna/(j?)=lnjrr（-）=工導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（土gCr）丁=/工）主g*Gr）:（2f（Qg（K）了=尸（工）&（工+子（工（工）；（3）輕，=十

3、3（,）一打/VQ）（g3H0）.Lg（H）_T（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)w=v（j?）在點(diǎn)工處可導(dǎo),y=f（tO在點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)代譏工）在點(diǎn)jc處口導(dǎo)，且嚴(yán)（工）=f（u）（即必=必*|學(xué)情自測(cè)(質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“X”)TOCo1-5hzf0)與(f(Xo)表示的意義相同.()求廠(X寸，可先求f(xo)再求廠0X()曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).()若f(x)=e2x，則f(x)e2x.()答案：x(2)X(3)V(4)X某汽車(chē)的路程函數(shù)是s(t)=2t3-2gt2(g=10m/s2),則當(dāng)t=2s時(shí)，汽車(chē)的加速度是()A.14m/sB.4

4、m/s2C.10m/s2D.4m/s2解析：由題意知，汽車(chē)的速度函數(shù)為v(t)=s(t)6t2gt,則V(t)=12tg,故當(dāng)t=2s時(shí)，汽車(chē)的加速度是V(2)12X210=14(m/s2).答案：A已知曲線y=x4+ax2+1在點(diǎn)(1,a+2)處切線的斜率為8,則a=()A.9B.6C.9D.6解析：y=4x3+2ax，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知在點(diǎn)(一1,a+2)處的切線斜率k=y|x=-1=42a=8,解得a=6.答案：D(2015課標(biāo)全國(guó)I卷)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7),貝Sa=.解析：丁f(x)3ax2+1,f(1)=3a+1.又f(1)=

5、a+2,切線方程為y(a+2)=(3a+1)(x-1).T切線過(guò)點(diǎn)(2,7),7(a+2)=3a+1,解得a=1.答案：1TOCo1-5hz5.(2015天津卷)已知函數(shù)f(x)=axlnx,x(0,+)，其中a為實(shí)數(shù)，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f(尊3,則a的值為.(們解析：fIx=alnx+xJ=a(1+Inx).由于f(1=)a(1+In1)=a,又f(射3,所以a=3.答案：31名師微博通法領(lǐng)悟卜-一兩種區(qū)別曲線y=f(x)“在點(diǎn)P(xo,yo)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(xo,yo)的切線”的區(qū)別：前者P(x。，yo)為切點(diǎn)，而后者P(xo,y。)不一定為切點(diǎn).曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)

6、的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn).1.利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆.2f(Xo)代表函數(shù)f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值；(f(Xo)是函數(shù)值f(xo)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值f(xo)是一個(gè)常量，其導(dǎo)數(shù)一定為o,即(f(xo)=o.對(duì)含有字母參數(shù)的函數(shù)要分清哪是變量哪是參數(shù)，參數(shù)是常量，其導(dǎo)數(shù)為零.一、選擇題31.已知物體的運(yùn)動(dòng)方程為s=t2+3（t是時(shí)間，s是位移），則物體在時(shí)刻t=2時(shí)的速度為（）A19A.4B17B.4小1513C4D43解析：Ts=2t.2,st=2=44=134.答案：D2.若f(x)=2xf(+x2，則f(等于()A

7、.2B.0C.-2D.-4解析：f(x=2f(+2x,A令x=1,得f(t)2,f(0)=2f()4.答案：D3.若曲線y=ax在x=0處的切線方程是xln2+y1=0則a=()1A2B.21C.In2D.In解析：由題知，y=axlna,yx=0=Ina,又切點(diǎn)為(0,1),1故切線方程為xlnay+1=0,二a=2答案：A1TOCo1-5hz4.(2016佛山一中月考)曲線y=尹2+x在點(diǎn)(2,4)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為()A.1B.2c42C.3D.31解析：丁y=?x2+x,.y=x+1,切線在點(diǎn)(2,4)處的斜率為3,由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為y4=3(x2),即卩

8、3xy2=0.2令x=0,得y=2;令y=0,得x=3.122所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=2x|2|x3=3.答案：D5.已知y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線，令g(x)=xf(x),gf(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，貝SgD.4解析：由題圖可知曲線y=f(x)在x=3處切線的斜率等于一3,1-f(3)=-3，Tg(x)=xf(x)，二g(x)=f(x)+xf(x)二g(3)=f(3)+3f)3(們又由題圖可知f(3)=1,所以g(3)1+3x-3=0.答案：B16.已知曲線y=則曲線的切線斜率取得最大值時(shí)的切線方程為(x+4y2=0B.x

9、4y+2=04x+2y1=0D.ex解析：y=(ex+1)24x2y1=0TOCo1-5hz11=1，因?yàn)閑x0所以ex+xex+P處的切線斜率k2=m2(m0)，因?yàn)閮汕芯€垂直，所以k1k2=1,所以m=1,n=1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1).答案：(1,1)三、解答題10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).121(1)y=xnlgx;(2)y=X+7+X3；(3)y=logasinx(a0且1).解：(1)y=nxn1lgx+xnx+2ee2exx：x=2(當(dāng)且僅當(dāng)ex=1x,即x=0時(shí)取等號(hào)),貝卩ex+!+24,ee11故y=10)上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為.解析：y=ex，曲線y=ex在點(diǎn)(0,

10、1)處的切線的斜率k-=e0=1,111設(shè)P(m,n),y=x(x0)的導(dǎo)數(shù)為y=x2(x0)，曲線y=x(x0)在點(diǎn)1ni1=x(nlgx+In10).仝+31(2)y=i-1丿+1)牛(2x2)+(x3)=X24x_33x_4(3)令y=logau,u=sin兀,11logaey=logae*cosx=logae=uatanxatanx211.已知函數(shù)f(x)=xx，g(x)=a(2lnx)(a0).若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在x=1處的切線斜率相同，求a的值，并判斷兩條切線是否為同一條直線.2a解：根據(jù)題意有f(x)1+2,g(x)=-.曲線y=f(x)在x=1處的切線斜率為f(=3,曲線y=g(x