新高考數(shù)學(xué)二輪專題《圓錐曲線》第12講 定點(diǎn)問題（解析版）

1、第12講 定點(diǎn)問題一、解答題 1設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率等于.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，且滿足，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請說明理由.【答案】（）；（）【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合列方程組，解這個方程組求得，橢圓方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用，解得，此直線過定點(diǎn).試題解析：（1）（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，由得，（舍去），所以過定點(diǎn)12分考點(diǎn)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查利用向量作為工具解題的方法.第一問求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，除了這一條件

2、，題目還給了橢圓上的一點(diǎn)和橢圓的離心率，根據(jù)這三個條件列方程組，解這個方程組求得橢圓的方程.第二問建立的兩條直線是垂直的，所以考慮轉(zhuǎn)化為兩個向量的數(shù)量積等于零來求解.2已知橢圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓C的焦點(diǎn)，的周長是6（）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過動點(diǎn)P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（）；（）詳見解析.【分析】（）由題得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，進(jìn)一步求出直線的方程為，所以直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線

3、斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點(diǎn).【詳解】解：（）由于是橢圓的上頂點(diǎn)，由題意得，又橢圓離心率為，即，解得，又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，聯(lián)立，得，由題意，設(shè)，則，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)即，得， 又，l的斜率為，直線的方程為 把代入可得：所以直線恒過定點(diǎn).當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓中直線的定點(diǎn)問題，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3已知橢圓C：（ab0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1）

4、，P3（1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（）求C的方程；（）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn).【答案】(1) .(2)證明見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，由橢圓的對稱性可知C經(jīng)過，兩點(diǎn).另外由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直時，通過計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)l：（），將代入，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出，根據(jù)列出等式表示

5、出和的關(guān)系，從而判斷出直線恒過定點(diǎn).試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時，欲使l：，即，所以l過定點(diǎn)（2，）點(diǎn)睛:橢圓的對稱性是橢圓的一個重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線

6、過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，其通法是聯(lián)立方程，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡.4已知點(diǎn)P是橢圓C:上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P點(diǎn)且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn).若直線PA與直線PB的斜率之和為1，問:直線l是否過定點(diǎn)?證明你的結(jié)論【答案】（1）；（2）直線l過定點(diǎn)證明見解析.【分析】（1）由橢圓定義可知，再代入P即可求出，寫出橢圓方程；（2）設(shè)直線l的方程，聯(lián)立橢圓方

7、程，求出和之間的關(guān)系，即可求出定點(diǎn).【詳解】（1）由，得，又在橢圓上，代入橢圓方程有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時，解得，不符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程，由，整理得，由，整理得，即當(dāng)時，此時，直線l過P點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時， 有解，此時直線l：過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓中直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題.5已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)A為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B為上頂點(diǎn)，|AB|且|AF1|+|AF2|4.（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)F2作直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，記AM、AN的斜率分別為k1、k2，

8、若k1+k23，求直線l的方程.【答案】（1）；（2）【分析】（1）依題意得到關(guān)于、的方程組，解得即可；（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與曲線方程消元，列出韋達(dá)定理，由，即，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：（1）依題意可得解得，所以橢圓方程為（2）由（1）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得，消去整理得，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，即，所以代入得解得即：【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.6已知M過點(diǎn)，且與N：內(nèi)切，設(shè)M的圓心M的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程：（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)且與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)若直線PB與直線QB的斜率之積為，判斷直線l是否過定

9、點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由【答案】（1）；（2）存在，直線l過定點(diǎn)【分析】（1）由兩圓相內(nèi)切的條件和橢圓的定義，可得曲線C的軌跡方程；（2）設(shè)直線BP的斜率為，則BP的方程為，聯(lián)立橢圓方程，解得交點(diǎn)P，同理可得Q的坐標(biāo)，考慮P，Q的關(guān)系，運(yùn)用對稱性可得定點(diǎn)【詳解】解：（1）設(shè)M的半徑為R，因?yàn)閳AM過，且與圓N相切所以，即，由，所以M的軌跡為以N，A為焦點(diǎn)的橢圓設(shè)橢圓的方程為1（ab0），則2a4，且c，所以a2，b1，所以曲線C的方程為y21；（2）由題意可得直線BP，BQ的斜率均存在且不為0，設(shè)直線BP的斜率為，則BP的方程為ykx+1，聯(lián)立橢圓方程，可得，解得則，

10、因?yàn)橹本€BQ的斜率為，所以同理可得，因?yàn)镻，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，（或求得直線l的方程為）所以直線l過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓的方程，橢圓中直線過定點(diǎn)問題，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題7已知橢圓C：，直線l：ykx+b與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（1）如果k+b，求動直線l所過的定點(diǎn)；（2）記橢圓C的上頂點(diǎn)為D，如果ADB，證明動直線l過定點(diǎn)P（0，）；（3）如果b，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為B，向直線AB是過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由【答案】（1）定點(diǎn)（1，）；（2）見解析；（3）定點(diǎn)（0，2）【分析】（1）把bk代入直線方程可得定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)ADB，可得,結(jié)合韋達(dá)定

11、理可得關(guān)系；（3）結(jié)合對稱性求出直線AB的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，從而可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）k+b，bk，ykxkk（x1），所以動直線l過定點(diǎn)（1，）（2）聯(lián)立消去y得（1+2k2）x2+4kbx+2b220，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2 ，ADB，又D（0，1），（x1，y11）（x2，y21）x1x2+（y11）（y21）x1x2+（kx1+b1）（kx2+b1）x1x2+k2x1x2+（b1）2+k（b1）（x1+x2）（1+k2）x1x2+k（b1）（x1+x2）+（b1）2（1+k2）+k（b1）+（b1）2（b1），（b1）0，又b1（否則直線l過D），b

12、，所以動直線l過定點(diǎn)（0，）.（3）b，直線l為：ykx，由（2）知x1+x2，經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）的直線方程為： ， ，令x0得y ，ykx1 ，所以直線AB是過定點(diǎn)（0，2）【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，直線恒過定點(diǎn)問題，一般是求解直線的方程中關(guān)系式，從而得到定點(diǎn)，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).8已知橢圓C：，若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】證明見解析；【分析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消元，然后韋達(dá)定理可得x1x2，x1x2，然后算出

13、，然后由條件可得，即y1y2x1x22(x1x2)40，代入化簡可得和的關(guān)系，然后可得答案.【詳解】由 ，消去y并整理得：(34k2)x28mkx4(m23)0，由64m2k216(34k2)(m23)0，得34k2m20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2，x1x2y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)D(2，0)，即，即y1y2x1x22(x1x2)40，所以40，整理得：7m216mk4k20，解得m12k，m2，且滿足34k2m20.當(dāng)m2k時，l：yk(x2)，直線過定點(diǎn)(2，0)，與已知矛盾；當(dāng)m時，l：yk(x)

14、，直線過定點(diǎn)(，0)綜上可知，直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題的常見解法：假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)；從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意.9已知點(diǎn)為橢圓C：上一點(diǎn)，且直線過橢圓C的一個焦點(diǎn)（1）求橢圓C的方程（2）不經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，若，直線l是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，可得，再將點(diǎn)代入橢圓方程可得，結(jié)合即可求解. （2）

15、討論直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，將直線與橢圓方程聯(lián)立，消 可得，由題意利用韋達(dá)定理整理可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）點(diǎn)為橢圓C：上一點(diǎn)，則，解得， 直線過橢圓C的一個焦點(diǎn)，令，可得，即，所以，所以橢圓C的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)，（且），則，解得，直線恒過點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，直線與橢圓的交點(diǎn)，聯(lián)立方程，消 可得，則，所以，整理可得，所以，即，因?yàn)橹本€不過點(diǎn)，所以，所以，即，直線，當(dāng)時，則，所以直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查了求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題，考查了分類討論思想以及運(yùn)算求解能力，屬于難題.10橢圓C的焦點(diǎn)為，橢圓上一點(diǎn).直線l

16、的斜率存在，且不經(jīng)過點(diǎn)，l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓C的方程；（2）求證：直線l過定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由橢圓的定義及兩點(diǎn)間距離公式可得,即可求得,由焦點(diǎn)可得,進(jìn)而求解；（2）設(shè)直線l方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得,即可得到,且,再由可得,利用斜率公式可得,即可得證.【詳解】（1）解:由題,所以,則,所以橢圓方程為.（2）證明:設(shè)直線l方程為,直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),聯(lián)立,可得,即,設(shè),則,因?yàn)?所以,則,得,即,代入可得,把代入,解得，又直線不過點(diǎn),所以,即且,所以直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線恒過定點(diǎn)問題,考查運(yùn)算能力.

17、11已知橢圓的一個頂點(diǎn)為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)【答案】（1）；（2）答案見解析，直線過定點(diǎn).【分析】（1）首先根據(jù)頂點(diǎn)為得到，再根據(jù)離心率為得到，從而得到橢圓C的方程.（2）設(shè)，與橢圓聯(lián)立得到，利用直線BM與直線BN的斜率之積為和根系關(guān)系得到，從而得到直線恒過的定點(diǎn).【詳解】（1）一個頂點(diǎn)為，故，又，即，所以故橢圓的方程為（2）若直線l的斜率不存在，設(shè)，此時，與題設(shè)矛盾，故直線l斜率必存在設(shè)，聯(lián)立得，即，化為，解得或（舍去），即直線過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：定點(diǎn)問題，一般從三個方法把握

18、：（1）從特殊情況開始，求出定點(diǎn)，再證明定點(diǎn)、定值與變量無關(guān)；（2）直接推理，計(jì)算，在整個過程找到參數(shù)之間的關(guān)系，代入直線，得到定點(diǎn).12已知橢圓：的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若不過點(diǎn)的動直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，求證：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）證明見解析；定點(diǎn).【分析】（1）運(yùn)用離心率公式和基本量，的關(guān)系，以及點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得橢圓方程；（2）由已知可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，整理得.由，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得值，從而可證明直線過定點(diǎn).【詳解】（1）解：橢圓：的離心率為，且過點(diǎn)，可得，且，解得，則橢圓方程為.（2

19、）證明：由，可知，從而直線與軸不垂直，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得.設(shè)，則，由，得，由，得，將代入，得，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的綜合，及定點(diǎn)問題，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用. (1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形13如圖，已知橢圓上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線與圓相切，其中.（1）求橢圓的方程；（2）不過點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩

20、點(diǎn)，且，證明：動直線l過定點(diǎn)，并且求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）【分析】（1）確定圓M的圓心與半徑，利用直線AF與圓M相切關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式構(gòu)建方程，求得a，即可表示方程；（2）設(shè)直線AP的方程為，則直線AQ的方程為，分別于橢圓聯(lián)立方程求得交點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，即可表示直線l的方程，得答案.【詳解】（1）由題可知，則直線的方程為，即因?yàn)橹本€與圓相切，該圓的圓心為則故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)椴贿^點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且，即直線AP與坐標(biāo)軸不垂直也不平行由可設(shè)直線AP的方程為，則直線AQ的方程為聯(lián)立，消去y并整理得，解得或，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即將上式中的k換成，得

21、點(diǎn)Q所以直線l的斜率為，即直線l的方程為，化簡并整理得，故直線l恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的過定點(diǎn)問題，還考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于較難題.14已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)的直線l與E交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)l過點(diǎn)F時，直線l的斜率為，當(dāng)l的斜率不存在時，.（1）求橢圓E的方程.（2）以AB為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【答案】（1）.（2）以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)直線的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及以直徑的圓的方程，令，即可求得，即可判斷以為直徑的

22、圓過定點(diǎn)【詳解】（1）設(shè)橢圓半焦距為c，由題意，所以.l的斜率不存在時，所以，.所以橢圓E的方程為.（2）以AB為直徑的圓過定點(diǎn).理由如下：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，所以，以為直徑的圓的方程：，即，令，則，解得或，所以為直徑的圓過定點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率不存在時，此時以AB為直徑的圓的方程為.顯然過點(diǎn)綜上可知，以為直徑的圓過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題15已知橢圓：（），與軸負(fù)半軸交于，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，連接，并延

23、長交直線于，兩點(diǎn)，已知，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1） （2）證明見解析；定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）由條件直接算出即可（2）由得，由可得，同理，然后由推出即可【詳解】（1）由題有，.，.橢圓方程為.（2）由得，.又，同理又，此時滿足直線恒過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.16在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓，如圖所示，斜率為k（k0）且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x3于點(diǎn)D（3，m）（1）求m2+k2的最小值；（2）若|OG|2|OD|O

24、E|，求證：直線l過定點(diǎn)【答案】（1）2；（2）見解析【分析】（1）設(shè)出直線方程為，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡為一元二次方程的形式.根據(jù)直線和橢圓有兩個交點(diǎn)得出判別式大于零，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此求得直線的斜率和方程，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.（2）將直線的方程代入橢圓方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)以及兩點(diǎn)間的距離公式，求得，代入列方程，解方程求得的關(guān)系，由此判斷出直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)直線l的方程為ykx+t（k0），由題意，t0，由方程組，得（3k2+1）x2+6ktx+3t230，由題意0，所以3k2+1t2，設(shè)A（x1，y

25、1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此，此時，所以O(shè)E所在直線的方程為，又由題意知D（3，m），令x3，得，即mk1，所以m2+k22mk2，當(dāng)且僅當(dāng)mk1時上式等號成立，此時由0得0t2，因此當(dāng)mk1且0t2時，m2+k2取最小值2（2）證明：由（1）知D所在直線的方程為，將其代入橢圓C的方程，并由k0，解得，又，由距離公式及t0得，由|OG|2|OD|OE|，得tk，因此直線l的方程為yk（x+1），所以直線l恒過定點(diǎn)（1，0）【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查根于系數(shù)關(guān)系，考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)、直線和橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查兩點(diǎn)間的

26、距離公式，考查直線過定點(diǎn)的問題，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題.17已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、，且過點(diǎn)（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)M為C上的動點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，不過點(diǎn)A的直線（，）與C交于P，Q兩點(diǎn)，PQ的中點(diǎn)為E，若，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析，.【分析】（1）由橢圓離心率可得，再將點(diǎn)代入橢圓方程得，可出a,b，從而得到橢圓方程；（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可知，再由橢圓性質(zhì)可知，即可求得結(jié)果；（3）由，直角三角形斜邊中點(diǎn)等于斜邊一半，可知，設(shè)，聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理結(jié)合即可得到m與k的關(guān)系，從而得結(jié)

27、果.【詳解】（1）離心率，將點(diǎn)代入橢圓方程得，聯(lián)立解得，所以橢圓C的方程為（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，即由（1）可知，又，（3），且直角三角形斜邊中點(diǎn)等于斜邊一半，設(shè)，又，由，得，即或因?yàn)橹本€l不過點(diǎn)A，且滿足，直線l的方程為，即，直線l過定點(diǎn)【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求直線過定點(diǎn)，求直線過定點(diǎn)的思路：（1）設(shè)直線的點(diǎn)斜式，找到斜率與截距的關(guān)系，確定定點(diǎn)；（2）根據(jù)題目中的信息求出直線（如兩點(diǎn)），確定定點(diǎn)；（3）根據(jù)圓錐曲線的性質(zhì)確定直線定點(diǎn)的性質(zhì)，然后由性質(zhì)確定準(zhǔn)確的定點(diǎn).18已知橢圓過、兩點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上（不與橢圓的頂點(diǎn)重合），直線與直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求證