(整理)可交換矩陣成立的條件和性質(zhì)

1、精品文檔內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)本科學(xué)年論文作系專年學(xué)可交換矩陣成立的條件與性質(zhì)者：別：業(yè)：級(jí)：號(hào)：指導(dǎo)教師：導(dǎo)師職稱：指導(dǎo)教師評(píng)語(yǔ)：該學(xué)生在整個(gè)論文書(shū)寫(xiě)過(guò)程中態(tài)度端正，能配合指導(dǎo)教師，指導(dǎo)教師交給的任務(wù)基本能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的完成。在開(kāi)題以后，對(duì)論文題目理解正確，在指導(dǎo)下能完成論文初稿的書(shū)寫(xiě)，書(shū)寫(xiě)基本符合規(guī)范。但對(duì)參考書(shū)目及參考文獻(xiàn)的依賴性太大，應(yīng)在論文中添加自己獨(dú)立的理解及總結(jié)。成績(jī)：中指導(dǎo)教師：內(nèi)容提要矩陣是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的內(nèi)容，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中以及其他科學(xué)領(lǐng)域中有著重大的理論意義.眾所周知，矩陣的乘法在一般情況下是不滿足交換律的，即在通常情況下，AB主BA但是，在某種特殊情況下，矩陣的乘法也能滿足交

2、換律可交換矩陣有著很多特殊的性質(zhì)和重要的作用.本文從可交換矩陣和相關(guān)知識(shí)的定義出發(fā)，探討了矩陣可交換的一些條件和可交換矩陣的部分性質(zhì)，并且介紹了幾類(lèi)特殊的可交換矩陣.關(guān)鍵字：矩陣可交換條件性質(zhì)上三角矩陣AbstractMatrixisanimportantcontentinaltitude-mathematics,ithasagreattheoreticsignificanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefields.Asfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsati

3、sfytheexchangeruleunderthenormalcondition,thatistosay,normally,AB主BA.Whereas,insomecertainconditions,themultiplicationofmatrixcouldsatisfytheexchangerule.Theexchangeablematrixhasmanyspecialpropertiesandimportanteffections.Thispaperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartsofthepropertyofthee

4、xchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrix.Allofthesearediscussedfromtheconceptofexchangeablematrixandrelativeinformation.KeyWords：matrixinterchangeableconditionspropertyuppertriangularmatrix目錄引言1一可交換矩陣及相關(guān)定義1（一）矩陣1（二）可交換矩陣3可交換矩陣成立的條件與性質(zhì)3（一）可交換矩陣成立的條件3（二）相關(guān)結(jié)論5（三）可交換矩陣

5、的性質(zhì)7幾類(lèi)常用的可交換矩陣7可交換矩陣的應(yīng)用8總結(jié)10參考文獻(xiàn)10致謝10可交換矩陣成立的條件與性質(zhì)引言隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，科學(xué)與工程計(jì)算即科學(xué)計(jì)算的研究受到科學(xué)技術(shù)人員的極大重視，其應(yīng)用范圍已經(jīng)滲透到各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域.計(jì)算機(jī)的普及，使得矩陣?yán)碚撛絹?lái)越受到學(xué)者、工程技術(shù)人員和科技人員的關(guān)注.矩陣?yán)碚摬粌H僅是一門(mén)重要的數(shù)學(xué)理論，而且在數(shù)值分析、數(shù)學(xué)建模、最優(yōu)化方法等數(shù)學(xué)分支上有極其重要的應(yīng)用，還在計(jì)算機(jī)科學(xué)、無(wú)線電技術(shù)和衛(wèi)星通信等尖端技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域和社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等許多方面都有著重要的用途和具體應(yīng)用背景.利用矩陣?yán)碚撆c方法來(lái)處理錯(cuò)綜復(fù)雜的工程問(wèn)題時(shí)，具有表達(dá)簡(jiǎn)潔、對(duì)工程問(wèn)題的

6、實(shí)質(zhì)刻畫(huà)深刻的優(yōu)點(diǎn)，因此應(yīng)用矩陣?yán)碚摵头椒▉?lái)處理工程技術(shù)上的各種問(wèn)題，越來(lái)越受到工程界人士的極大重視，逐漸成為數(shù)學(xué)建模中解決實(shí)際問(wèn)題常用的一種方法，矩陣?yán)碚撆c應(yīng)用已成為眾多學(xué)科領(lǐng)域的教學(xué)工具.在科學(xué)技術(shù)人員和學(xué)者在解決這些矩陣的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，逐漸發(fā)現(xiàn)把數(shù)學(xué)的一些計(jì)算公式，如平方和、平方差等許多運(yùn)算律運(yùn)用到矩陣的計(jì)算中來(lái)，既利于計(jì)算速度的提高，也方便于通過(guò)計(jì)算機(jī)的編程來(lái)進(jìn)行大型矩陣的迅速計(jì)算.一、可交換矩陣及相關(guān)定義矩陣1、矩陣的定義由mxn個(gè)數(shù)aC=1,2,m,j=1,2,n）排成的m行n列的數(shù)表ija11a21a12a22a1na2nG)an1an2ann個(gè)整體，總是加一個(gè)括弧，并用大稱為m行

7、n列矩陣，簡(jiǎn)稱mxn矩陣，為表示它是寫(xiě)黑體字母表示它，也可以記為A=a）或A.這里的a表示位于A的第i行第j列的ijmxnij元素mxn稱為矩陣的階數(shù).精品文檔精品文檔矩陣可分為實(shí)矩陣與復(fù)矩陣.當(dāng)行數(shù)與列數(shù)相等，矩陣稱為方陣.只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣所有元素為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.兩個(gè)矩陣如果行數(shù)與列數(shù)完全相同，則稱為同型矩陣.2、矩陣的運(yùn)算G）加減法ijmxn設(shè)A=Ca),B=Cb)為同型矩陣，則ijmxnA+B=Cz+b）ijij這里若設(shè)-B為B的負(fù)矩陣，即-B=（b），則可以定義減法運(yùn)算mxnijmxnA一B=Cz一b)ijijmxn（2）數(shù)與矩陣的乘積設(shè)

8、A=Ca）,keR為實(shí)數(shù),ijmxn則kA稱為矩陣A的數(shù)乘，且kA=Cka)ijmxn即給A的每個(gè)元素均乘以數(shù)k.（3）矩陣的乘積設(shè)A=C),B=b)，則ijmx5ij5xnC2)C3)C4)C5)ijmxn稱c為矩陣A與矩陣B的乘積.其中c二ab+abhfabC二1,2,m;j二1,2,n)iji11ji22ji55j即C的第i行第j列元素為A的第i行各元素與B的第j列各元素對(duì)應(yīng)相乘再相加.注意：只有當(dāng)A的行數(shù)與B的列數(shù)相等時(shí)，A與B才能相乘.（4）對(duì)稱矩陣在一個(gè)n階方陣A中，若元素滿足如下性質(zhì)：TOC o 1-5 h zA=A,0i,jn-1（6）ijji則稱A為對(duì)稱矩陣.（5）反對(duì)稱矩陣

9、設(shè)A是一個(gè)n階方陣，如果AT=一AC7）則稱A為反對(duì)稱矩陣.精品文檔可交換矩陣一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律，其原因有以下幾點(diǎn)：1.AB有意義時(shí)，BA不一定有意義.AB與BA均有意義時(shí)，可能它們的階數(shù)不相等.AB與BA均有意義時(shí)，且它們的階數(shù)相等時(shí)，仍可能出現(xiàn)AB豐BA.因此，把滿足乘法交換律的矩陣稱為可交換矩陣，即若矩陣A,B滿足AB二BA(8)則稱矩陣A和B是可交換的.二、矩陣可交換成立的條件與性質(zhì)若AB二BA成立，則稱方陣A與B為可交換矩陣設(shè)f(xaxm+aixm-1+aix1+aom一1(9)系數(shù)a,a,a均為數(shù)域P中的交換數(shù),01mA為P上的一個(gè)n階方陣，記f(a)=aAm+am

10、m-1Am-ihfaA+aE10容易看出：任何方陣A都與其伴隨矩陣A*是可交換的，且二者的乘積為|Al|n;對(duì)于任何方陣A，f(x)=aAp+aAp-1ffaI01p與g(A)=bAq+bAq-1+-01(一)可交換矩陣成立的條件定理11設(shè)n階方陣A,B滿足條件A+B=AB.則A,B可交換.證明由條件A+B=AB,diagle,e=I,變形可得1nA-1+B-AB=(A-1)+B(I-A)=-(A-1)(B-1)即(A-1)(B-1)=I,所以A-1為可逆矩陣，其逆矩陣為B-1,有(A-1)(B-1)=(B-1)(A-1)=I即AB一A一B+1=BA一B一A+1,從而可得AB=BA.定理2刃設(shè)

11、A,B均為對(duì)稱矩陣，則A,B可交換的充要條件是AB為對(duì)稱矩陣.證明設(shè)A,B均為對(duì)稱矩陣，由于AB=BA，故(AB=BtAt=BA=AB所以AB是對(duì)稱的.反之，由于CAB)t=AB，所以AB=(AB)t=BtAt=BA，因此，A,B可交換.精品文檔精品文檔推論設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，則A,At都可交換.定理33設(shè)A為對(duì)稱矩陣，B為反對(duì)稱矩陣，則A,B可交換的充要條件是AB為反對(duì)稱矩陣.證明設(shè)At二A，Bt=_B，由于AB二BA，所以(AB=BtAt=BA二(AB)(10)所以AB為反對(duì)稱矩陣.反之，若AB為反對(duì)稱矩陣，則-(AB)=(AB=BtAt=一6a)G)從而AB=BA.定理43設(shè)A,B均為反

12、對(duì)稱矩陣，則A,B可交換的充要條件是AB為對(duì)稱矩陣.證明因A,B均為反對(duì)稱矩陣，故有At=A，Bt=B，又因?yàn)锳,B可交換，故有AB=BA成立.從而TOC o 1-5 h z(AB)T=BtAt=(B)一A)=AB=BA(12)反之，若AB為對(duì)稱矩陣，則AB=(AB)T=BTAT=(B)(A)=BA=AB(13)所以A,B是可交換矩陣.定理5若A,B為同階可逆矩陣，則A,B可交換的充要條件是A-1,B-1可交換.證明因AB=BA，故有B1A1=(AB)1=(BA)1=A1B1(14)即A-1與B-1是可交換的.反之，因A-i，B-1可交換，故有(BA)1=A1B1=B1A1=(AB)1(15)

13、兩邊求逆得到AB=BA.推論可逆矩陣A,B可交換的充要條件是(AB)-1=B-1A-1.定理613若A,B為n階方陣，則AB可交換的條件是(AB=ATBT證明如果AB=BA，那么(AB=(BA=ATBT反之，若Cab=BtAt，則(AB=BtAt=(BA，即AB=BA.精品文檔精品文檔定理75矩陣A能與一切n階矩陣可交換的充分必要條件是A為數(shù)量矩陣.證明若A與一切n階矩陣可交換，自然與對(duì)角線上元素互不相同的對(duì)角矩陣可交換，由此可知A必為一對(duì)角線矩陣設(shè)d1d2A=.dn取矩陣11.00.0B=.000.0代入條件AB=BA，得d二d二二d，所以A是一個(gè)數(shù)量矩陣.12n反之，設(shè)A二al,B為任意n

14、階矩陣，則AB=(aI)B=aB=Ba=(BI=B(Ia)=BA(16)弓理1A=0時(shí)(即A為零矩陣時(shí))，與A可交換得矩陣B可以是任意的與A同價(jià)的B矩陣.A的冪矩陣總是與A可交換.定理&7與A可交換的多項(xiàng)式矩陣總可以轉(zhuǎn)化為小于等于n-1次的多項(xiàng)式矩陣.定理97一個(gè)矩陣A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型后，若中沒(méi)有純量矩陣的約當(dāng)塊，那么與A可交換的矩陣其充要條件為B可化為A的n-1次多項(xiàng)式.定理107下列均是A,B可交換的充要條件：(1)A-B=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)(2)(AB)=AB定理115可逆矩陣A,B可交換的充要條件是：(AB)=AxB.定理127(1)設(shè)A,B均為(反)對(duì)稱矩陣，則

15、A,B可交換的充要條件是AB為對(duì)稱矩陣設(shè)A,B有一為對(duì)稱矩陣，另一為反對(duì)稱矩陣，則A,B可交換的充要條件是AB為反對(duì)稱矩陣.(二)相關(guān)結(jié)論定理137設(shè)A,B是可交換矩陣，則以下結(jié)論成立：A2-B2=(A-B)(A+B)=(A+B)(A-B)(A+B=A2+2AB+B2(A-B)2=A2-2AB+B2精品文檔(4)(AB)K二BkAk,ABm二BmA，其中k,m分別為正整數(shù)AmBmm1+Am2B+Bm1(5)(a+B)m=CkAm-kBkmk=0證明(1)因?yàn)?A+B)(AB)=A2+ABBAB2(A+B)(AB)=A2AB+BAB2由已知ab=ba，可得a2B2=(AB)(A+B)=(A+B)

16、(AB)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2由已知AB=BA，可得(A+B)2=A2+2AB+B2同理可得：(AB)2=A22AB+B2由已知AB=BA,可得(AB)k=ABABAB=AABBAB=AAABB=AkBk,ABm=ABBB=BABB=BBBA=BmA運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)m=2時(shí)，由(1)等式成立，即A2B2=(AB)(A+B)假設(shè)m=k1時(shí)，等式成立，即有k2+Ak3BFFBk2)Ak1Bk1=(A當(dāng)m=k時(shí)，由已知AB=BA，有AkBk=(Ak1Bk1(AFB)Ak1BFBk1A)k2+Ak3BHFBk2=(AAk-2B+Bk-1A=Ak+Ak1B+A2Bk-

17、2B2Ak-2B3Ak3一B3Ak1B+Bk1A由性質(zhì)有Bk1A=ABk1，Ak1B=BAk1因此，上式可轉(zhuǎn)化為：AkBk=Ak+Ak1B+A2Bk2B2Ak2BkAk1B+Bk1A=Ak+Ak1B+A2Bk2+ABk1BAk1-B2Ak2B3Ak3Bk精品文檔精品文檔k-1+Ak-2B+Bk-1=Ak-i(AB)+Ak-2B(AB)+Bk-i(AB)m-1+Am-2B+Bm-1即證得同理可證得AmBm=(Am-1+Am-2B+Bm-1B)Am-Bm對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法同(4)即可得證.(三)可交換矩陣的性質(zhì)高等代數(shù)中可交換矩陣具有一些特殊的性質(zhì).性質(zhì)12設(shè)A,B可交換，則有：AB=BA,BA=A

18、B，其中m,k都是正整數(shù)Af(B)=f(B,其中f(B)是B的多項(xiàng)式，即A與B的多項(xiàng)式可交換(3)A-B=(A-B)(A+AB？+B)=(A+AB?+B)(A-B)(4)(A+B)m=CkAm-1Bkmk=0，性質(zhì)2(矩陣二項(xiàng)式定理)設(shè)A,B可交換，則有：若A,B均為對(duì)合矩陣，則AB也為對(duì)合矩陣若A,B均為冪等矩陣，則AB,A+B-AB也為冪等矩陣若A,B均為冪幺矩陣，則AB也為冪幺矩陣若A,B均為冪零矩陣，則AB,A+B均為冪零矩陣.三、幾類(lèi)常用的可交換矩陣假設(shè)以下矩陣均為n階實(shí)方陣，定理147(1)設(shè)A,B至少有一個(gè)為零矩陣，則A,B可交換設(shè)A,B至少有一個(gè)為單位矩陣，則A,B可交換設(shè)A,

19、B至少有一個(gè)為數(shù)量矩陣，則A,B可交換設(shè)A,B均為對(duì)角矩陣，則A,B可交換設(shè)A,B均為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，則A,B可交換設(shè)A*是A的伴隨矩陣，則A*與A可交換設(shè)A可逆，則A與A可交換設(shè)AB二E，則A,B可交換.定理1517設(shè)AB=aA+卩B,其中a,卩為非零實(shí)數(shù)，則A,B可交換設(shè)Am+aAB=E,其中m為正整數(shù)，a為非零實(shí)數(shù)，則A,B可交換.定理1617設(shè)A可逆，若AB二O或A二AB或A二BA，則A,B可交換(2)設(shè)A,B均可逆，若對(duì)任意實(shí)數(shù)k,均有A=(A-kE)B，則A,B可交換.四、可交換矩陣的應(yīng)用例1設(shè)A與所有的n階矩陣均可交換，證明A一定是數(shù)量矩陣.證明記(J，用E將第i行第j列的元素表示為

20、1,而其余元素為零的nxn矩陣.ijnxn因A與任何矩陣均可交換，因此必與E可交換.ij由AEij二EA，得ijaii二ajj(i,j=1,2,n)及aij=0(i豐j,i,j=1,2,n).故A是數(shù)量矩陣.例2與任意一個(gè)n階方陣相乘都可交換的方陣必為數(shù)量矩陣？解不妨設(shè)B為可逆矩陣，由于AB=BA，所以對(duì)于任意可逆陣B都有B-1AB二A即A的任意線性變換仍是A自己，這樣的矩陣只能是KI.例3如果矩陣A與所有的n階矩陣可交換，則A一定是數(shù)量矩陣，即A二aE.TOC o 1-5 h z證明記A用E將第i行第j列的元素表示為1,而其余元素為零的矩陣因A與任ijij何矩陣均可交換，所以必與E可交換由A

21、E二EA得ijija=a(i=j=1,2,3,.n及a=0i不等于j)jiijij故A是數(shù)量矩陣?yán)?若矩陣A,A都與B可交換，則KA+LA,AA也都與B可交換.121212解由已知AB=BA，AB=BA，那么1122(KA+LA)B=KAB+LAB=BKA+BLA=B(KA+LA)12121212(AA)B=A(AB)=ABA=(AB)A=B(AA)1212121212例5A與B可交換(即AB二BA)的充分必要條件是AB為對(duì)稱矩陣(即(AB=AB).解題目根本就是錯(cuò)的，A取單位陣，B取任意非對(duì)稱陣，那么AB非對(duì)稱但AB=BA.一定要加一個(gè)條件A和B本身都是對(duì)稱陣才有結(jié)論若AB=BA，貝V(AB

22、=(BA=AtBt=AB反之，若(AB=AB，則AB=BTAT=BA.例6設(shè)A,B為乘積可交換的n階矩陣，且初等因子為一次的，則存在n階可逆矩陣P，使得都為對(duì)角矩陣.證明在V中選取一組基，存在線性變換,它們?cè)谠摶碌木仃嚪謩e為A,B，且A,B與對(duì)角形相似.例7所有與A可交換的矩陣對(duì)于矩陣的加法和乘法作成環(huán).解一般地，由于交換性問(wèn)題,乘法公式對(duì)于n階矩陣的多項(xiàng)式不再成立，如果所出現(xiàn)的n階矩陣互相都是交換的，則乘法公式成立例如(A+B)2=A2土2AB+B2oA和B可交換.(A+B)(A-B)=A2-B2oA和B可交換.A和B可交換n(不是o!)有二項(xiàng)公式.例8(1)設(shè)矩陣A=diag(a,a，,

23、a)為對(duì)角矩陣，其中i豐j時(shí)，12na豐a(i,j=1,2,n),則A,B可交換的充要條件是B為對(duì)角矩陣若A,B均為對(duì)角矩陣ij則，A,B可交換.若B與A=diag(a,a，,a)可交換，i不等于j時(shí)，a豐a，12nij(i,j=1,2,n)，證明設(shè)B=(b),AB=(C),BA=(d)，因?yàn)锳為對(duì)角矩陣，故jnxnjnxnjnxnc=ab,d=ab(i,j=1,2,n)ijiijijjij由AB=BA，即c=dCj=1,2,n)得ijij-a)b=0ijij而i豐j時(shí)，a-a豐0(i,j=1,2,n),ij精品文檔精品文檔故b.=0(i豐j,i,j=1,2,n)ij所以B為對(duì)角矩陣五、總結(jié)本文通過(guò)大量的例題對(duì)可交換矩陣在計(jì)算與證明以及應(yīng)用三方面進(jìn)行了總結(jié)分析，在證明方面，涉及了矩陣的條件與性質(zhì)和矩陣列(行)向量線性相關(guān)性等問(wèn)題，利用可交換矩陣可以很清晰地描述線性方程組的解與其相關(guān)內(nèi)容，對(duì)一些具體的解與矩陣行(列)向量組線性相關(guān)性之間的關(guān)系給出了結(jié)論.通過(guò)本文的論述，充分體現(xiàn)了可交換矩陣在代數(shù)計(jì)算與證明方面所具有的一定的優(yōu)越性，也給出了可交換矩陣和矩陣可交換在代數(shù)學(xué)中所具有的重要地位，當(dāng)然在對(duì)可交換矩陣的應(yīng)用的論述上本文并不是所有類(lèi)型的證明與計(jì)算都進(jìn)行了討論，