理論力學(xué)原理剛體的平面運(yùn)動(dòng)和速度關(guān)系

1、理論力學(xué)原理剛體的平面運(yùn)動(dòng)和速度關(guān)系12理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY7 學(xué)時(shí)2.1 剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡化和運(yùn)動(dòng)方程2.2 剛體的角速度和角加速度2.3 平面圖形運(yùn)動(dòng)的位移定理2.4 用速度瞬心法求平面圖形上點(diǎn)的速度2.5 平面圖形上兩點(diǎn)的速度關(guān)系2.6 平面圖形上兩點(diǎn)的加速度關(guān)系作業(yè) 2-2 2-3 2-5 2-6 2-7 2-9 2-11 2-14 2-16 2-17 2-20 2-22 2-35 2-37 2-28* 3理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY第 2 章 剛體的平面運(yùn)動(dòng) 剛體平面運(yùn)動(dòng)的簡化和運(yùn)動(dòng)方程1. 剛體的平面運(yùn)動(dòng)（平面平行運(yùn)動(dòng)） 剛體上任意一確定點(diǎn)到某一固定平面

2、的距離始終保持不變的運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)，又稱為平面平行運(yùn)動(dòng)。 平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的軌跡均為平面曲線。2. 平面運(yùn)動(dòng)的三種類型 受到約束的不同將平面運(yùn)動(dòng)分為三種類型：(1) 平面平移(3) 一般平面運(yùn)動(dòng)(2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)4理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY(1) 平移 剛體內(nèi)任一條直線在剛體運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行，這樣的運(yùn)動(dòng)稱為平移。 平移剛體內(nèi)各點(diǎn)軌跡的形狀完全相同。直線平移 當(dāng)平移剛體上任一點(diǎn)的軌跡為直線，則稱該運(yùn)動(dòng)為直線平移。曲線平移 當(dāng)平移剛體上任一點(diǎn)的軌跡為曲線，則稱該運(yùn)動(dòng)為 曲線平移?？臻g平移 當(dāng)平移剛體上任一點(diǎn)的軌跡為空間曲線，則稱為空間平移。平面平移 當(dāng)平移剛體上任一點(diǎn)的軌

3、跡為平面曲線，則稱為平面平移。 平面平移屬于平面運(yùn)動(dòng)的特例。5理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY直線平移曲線平移(2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，在運(yùn)動(dòng)過程中體內(nèi)（或其延拓部分）始終存在一條固定不動(dòng)的直線，這樣的平面運(yùn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不動(dòng)的直線為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 除轉(zhuǎn)軸外，剛體上各點(diǎn)分別在與轉(zhuǎn)軸垂直的各平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。 平移和轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體的基本運(yùn)動(dòng)，它們不僅是剛體的最簡單的運(yùn)動(dòng)，而且還是剛體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。6理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY(3) 一般平面運(yùn)動(dòng) 既不是平面平移，也不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的平面運(yùn)動(dòng)稱為一般平面運(yùn)動(dòng)。一般平面運(yùn)動(dòng) 在剛體作一般平面運(yùn)動(dòng)的情形下，剛體內(nèi)各點(diǎn)的軌跡是形

4、狀各異的平面曲線。3. 舉例說明平面運(yùn)動(dòng) 曲柄連桿滑塊機(jī)構(gòu)ABC定軸轉(zhuǎn)動(dòng)曲線平移一般平面運(yùn)動(dòng)直線平移定軸轉(zhuǎn)動(dòng)74. 剛體的平面運(yùn)動(dòng)的簡化 通常，平面運(yùn)動(dòng)剛體上各點(diǎn)的軌跡不同，同一瞬時(shí)其上各點(diǎn)的速度和加速度不等。 但在剛體內(nèi)任意一條與體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)平面相垂直的直線上，各點(diǎn)卻有相同的位移（可以根據(jù)剛體上任意兩點(diǎn)間距離保持不變的性質(zhì)用反證法得證），因此，這條直線上每一點(diǎn)的速度和加速度是相同的。 于是任意一個(gè)平行于某個(gè)固定平面 I 的平面 II 、平面 III 或平面 IV 等等分別將剛體截出一個(gè)平面圖形，當(dāng)剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，這些圖形在自己所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。 垂直于平面 I 的某條直線與各平截面的交點(diǎn)

5、的軌跡、速度和加速度完全相同。 因此剛體平面運(yùn)動(dòng)的研究，可簡化為對一個(gè)平截面圖形 S 在其自身平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的研究。 如圖所示。理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY8理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRYIIISASA 顯然，在各處截得的具體平截面圖形一般來說是不同的，為了使研究具有一般性，將平截面圖形的大小和形狀看成是不受任何限制的，可以根據(jù)需要加以延拓的平面圖形。平面運(yùn)動(dòng)剛體 “以面代體”9理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY5. 剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程(1) 方位角和平面運(yùn)動(dòng)剛體的自由度 已知平面圖形 S 在其自身所在平面上作平面運(yùn)動(dòng)，若在該平面上建立固定不動(dòng)的直角坐標(biāo)系 Oxy ，則平面圖

6、形的位置由其上任意一有向線段 確定。有向線段 的位置需要 3 個(gè)坐標(biāo)， 與 x 軸正向的夾角 故平面運(yùn)動(dòng)剛體的自由度為 3 。方位角方位角的正向規(guī)定：從不動(dòng)邊 Ox 軸轉(zhuǎn)向有向線段 ，轉(zhuǎn)動(dòng)方向即為正向。A(xA, yA)10理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY(2) 平面運(yùn)動(dòng)方程 平面圖形的運(yùn)動(dòng)方程為(2-1) 上式完全確定平面運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，也可以完全確定剛體上任一點(diǎn)的軌跡、速度和加速度。(3) 受約束剛體的平面運(yùn)動(dòng) 如果平面圖形還受到其他約束時(shí)，式 (2-1) 中的 3 個(gè)變量彼此不獨(dú)立，自由度小于 3 。 圖形的運(yùn)動(dòng)仍然可用式 (2-1) 描述，也可根據(jù)具體情況選取新的廣義坐標(biāo)來描

7、述。11理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY(1)平面平移 說明剛體上任一直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持平行。 這是剛體作平面平移的情形，其運(yùn)動(dòng)方程為其自由度數(shù)為 2 。兩種特殊情形：當(dāng) 時(shí)，(2)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 當(dāng) 時(shí)， 說明在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體內(nèi)過 A 點(diǎn)與圖形 S 相垂直的直線上的點(diǎn)靜止不動(dòng)。 這是剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，其運(yùn)動(dòng)方程為其自由度數(shù)為 1 。12理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY 平面運(yùn)動(dòng)剛體的角速度和角加速度1. 平面圖形的角位移 已知：平面圖形運(yùn)動(dòng)時(shí)，方位角 隨時(shí)間變化，即有向線段 的方位是變化的。 設(shè) 的時(shí)間間隔內(nèi)，方位角的增量為 ，即通常將 稱為有向線段 在 時(shí)間內(nèi)的角位移。A

8、Bx(A)(B)13理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY圖形的角位移ABCDx 平面圖形在運(yùn)動(dòng)過程中其上任意兩條有向線段 和 的方位角存在關(guān)系其中 為 和 的夾角。對確定的 和 ， 。顯然在同一剛體上的兩條線段的角位移相等，即表明：在相同的時(shí)間間隔內(nèi)，圖形上任意一條有向線段的角位移均與有向線段 的角位移 相等。則圖形上有向線段 的角位移 也稱為圖形的角位移。14理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY2. 平面圖形的角速度和角加速度 角速度(2-2)單位： rad/s 角加速度(2-3)單位： rad/s2剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度和角加速度 平面圖形（剛體平面運(yùn)動(dòng)）的角速度、角加速度表示了剛體方位

9、變化的快慢。 平面運(yùn)動(dòng)剛體的角速度、角加速度并沒有涉及具體轉(zhuǎn)軸，或者說是與轉(zhuǎn)軸無關(guān)的量，這與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)有明顯不同。15理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY角速度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，工程中常用轉(zhuǎn)速 n 作為剛體轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的度量。轉(zhuǎn)速 n 每分鐘轉(zhuǎn)過的圈數(shù) n單位：轉(zhuǎn)/分鐘、r/min、rpm 。顯然，平面圖形的角速度、角加速度是可以用代數(shù)量表示的物理量。16理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY角速度的轉(zhuǎn)向規(guī)定 設(shè) 的轉(zhuǎn)向如圖所示。ABx當(dāng) 時(shí)， ，剛體的方位是沿著逆時(shí)針轉(zhuǎn)向改變，說明 的真實(shí)轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針；當(dāng) 時(shí)， ，剛體的方位是沿著順時(shí)針轉(zhuǎn)向改變，說明 的真實(shí)轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針。另外，要

10、注意 轉(zhuǎn)向與 的轉(zhuǎn)向不一致情形，只有當(dāng) 時(shí)， 的真實(shí)轉(zhuǎn)向才與圖示轉(zhuǎn)向一致。角加速度的轉(zhuǎn)向規(guī)定 角加速度的處理方法與角速度完全相同。17理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY角速度矢量 和角加速度矢量 平面圖形的角速度、角加速度也可以表示為沿 Oz 軸的矢量，ABzyxO設(shè) Oz 軸正向的單位矢量為 ，則其中 ， 為角速度和角加速度矢量在 z 軸上的投影，是代數(shù)量。故(2-4)(2-5)18理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY角速度矢量和角加速度矢量的另一種處理方法 用矢量方法計(jì)算平面運(yùn)動(dòng)剛體的各運(yùn)動(dòng)學(xué)量時(shí)，常這樣處理角速度矢量： (1) 其方向以轉(zhuǎn)向的形式標(biāo)在圖中，其數(shù)值通過運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得到。

11、 轉(zhuǎn)向已知時(shí)標(biāo)出真實(shí)轉(zhuǎn)向；轉(zhuǎn)向未知時(shí)可在圖中假設(shè)其轉(zhuǎn)向，一般選其為方位角的轉(zhuǎn)向； (2) 如果所標(biāo)出的轉(zhuǎn)向是真實(shí)轉(zhuǎn)向，那么通過方程解出的代數(shù)量 。 (3) 如果所標(biāo)出的轉(zhuǎn)向是假設(shè)的表明實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖中所設(shè)一致，表明實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖中所設(shè)相反。 角加速度矢量 的處理方法與角速度矢量 相同。19理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY例 剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，已知?jiǎng)傮w的運(yùn)動(dòng)方程為 ，試求出圖中所設(shè)轉(zhuǎn)向的剛體的角速度 和角加速度 的值。A(a)(b)A(c)A20理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY例 半徑為 r 的圓輪沿直線軌道運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，圓輪與軌道接觸處無相對滑動(dòng)（稱為純滾動(dòng)）。已知輪心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

12、xC = xC (t) ，試求圓輪的角速度、角加速度及輪邊緣上任一點(diǎn) M 的速度和加速度。解1. 運(yùn)動(dòng)分析 圓輪沿水平直線作純滾動(dòng)，其自由度為 1 。建立圖示直角坐標(biāo)系CMOxy不失一般性，設(shè) t = 0 時(shí)，點(diǎn) M 與坐標(biāo)系原點(diǎn) O 重合，取 xC 為廣義坐標(biāo)，圖示 為方位角。CM21理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY2. 建立運(yùn)動(dòng)關(guān)系由已知條件和所建立的坐標(biāo)，有(1)CMOxyCM點(diǎn) M 的運(yùn)動(dòng)方程為(2)3. 求 ， ， ， 設(shè) ， 的轉(zhuǎn)向如圖所示，則(3)22理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY當(dāng) 時(shí)，結(jié)論：即當(dāng)點(diǎn) M 與地面接觸瞬時(shí)，其速度為零，而加速度卻不為零。加速度的方向垂

13、直向上，大小為 。這個(gè)結(jié)論在以后解題中很有用。23理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY 平面圖形運(yùn)動(dòng)的位移定理歐拉 沙爾定理（位移定理） 平面圖形在其自身平面內(nèi)的任何非平移的位移，可看作是繞圖形或其延拓部分上某點(diǎn) D 的一次轉(zhuǎn)動(dòng)而達(dá)到，點(diǎn) D 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)中心。這個(gè)定理也稱為歐拉 沙爾定理。證明ABIABIID注意 歐拉 沙爾定理所描述的平面圖形由一個(gè)位置運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)位置的過程，與真實(shí)的運(yùn)動(dòng)過程不同。但是，時(shí)間間隔 越短，其所描述就越能接近于圖形的真實(shí)運(yùn)動(dòng)情況。24理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY 用速度瞬心法求平面圖形上點(diǎn)的速度 由平面圖形運(yùn)動(dòng)的位移定理（歐拉 沙爾定理）可知 當(dāng) 時(shí)，

14、，轉(zhuǎn)動(dòng)中心 D 趨于某一確定的位置點(diǎn) P ，直線段 AB 在 t 瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)可視為繞點(diǎn) P 的轉(zhuǎn)動(dòng)，其瞬時(shí)角速度為于是，該瞬時(shí)圖形上任意一點(diǎn) M 的速度可表示為(2-6)速度瞬心（瞬時(shí)速度中心） 平面圖形上（或平面圖形延拓部分上）點(diǎn) P 在 t 瞬時(shí)的速度為零，點(diǎn) P 稱為瞬時(shí)速度中心，簡稱速度瞬心 。25理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY結(jié)論 平面圖形上各點(diǎn)速度的大小與該點(diǎn)至速度瞬心的距離成正比，方向與該點(diǎn)和速度瞬心的連線相垂直，指向與瞬時(shí)角速度 的轉(zhuǎn)向相一致。 圖形上各點(diǎn)的速度分布情況與圖形在該瞬時(shí)以角速度 繞速度瞬心 P 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)一樣。 過速度瞬心且垂直于平面圖形的軸，稱為剛體的速度瞬

15、時(shí)轉(zhuǎn)軸。PMP26理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY注意 (1) 平面運(yùn)動(dòng)剛體在某一瞬時(shí)，其上或其延拓部分上存在且唯一存在速度為零的點(diǎn)，即速度瞬心。 (2) 平面運(yùn)動(dòng)剛體在不同瞬時(shí)，對應(yīng)有不同的速度瞬心。即速度瞬心只是瞬時(shí)不動(dòng)。 (3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體的速度瞬心的速度為零，其加速度并不等于零。瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 一般平面運(yùn)動(dòng)剛體，在每一瞬時(shí)，剛體好像是繞速度瞬心作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，但時(shí)刻不同，轉(zhuǎn)軸也不同。從整體過程看，它并不是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。稱平面運(yùn)動(dòng)每一瞬時(shí)的這種定軸轉(zhuǎn)動(dòng)為瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。速度瞬時(shí)法 利用速度瞬心求解平面圖形上任意一點(diǎn)速度是比較簡便且常用的方法，稱為速度瞬心法。27理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)

16、動(dòng)BRY速度瞬心的確定方法 (a) 速度瞬心必在過平面圖形上某點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)速度方向的直線上； (b) 平面圖形沿該垂直線上各點(diǎn)速度的大小為線性分布。 在某一瞬時(shí) t ，已知平面圖形上 A、B 兩點(diǎn)的速度方向。(1) 不平行于APB且 不垂直于(2)PBA瞬時(shí)平移(3)PBAPBA28(4)PBA(5) 平面圖形沿某固定曲線作純滾動(dòng)，其速度瞬心為接觸點(diǎn)。P瞬時(shí)平移理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY瞬時(shí)平移 剛體的角速度 ，即剛體“瞬時(shí)不轉(zhuǎn)”，在 t t + dt 的時(shí)間間隔內(nèi)，剛體上的各點(diǎn)沒有角位移（否則 了），只有平移位移且相等（否則兩點(diǎn)之間的距離將發(fā)生變化，就不是剛體的模型了），說明剛

17、體上各點(diǎn)在該瞬時(shí)具有相同的速度，剛體此瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)稱為瞬時(shí)平移。瞬時(shí)平移與平移的區(qū)別注意29理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY 平面圖形上兩點(diǎn)的速度關(guān)系兩點(diǎn)的速度關(guān)系 由速度瞬心法知道，平面圖形上兩點(diǎn) A 、B 的速度為兩式相減得到(2-7)定義：(2-8)圖形繞點(diǎn) A 以圖形角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn) B 所具有的速度大小方向垂直于 A、B 兩點(diǎn)連線，指向圖形角速度 的轉(zhuǎn)向則(2-9)平面圖形上兩點(diǎn)的速度關(guān)系30理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRYBA 點(diǎn) A 稱為基點(diǎn)，這種方法稱為基點(diǎn)法。結(jié)論 平面圖形上某點(diǎn) B 的速度等于基點(diǎn)的速度與平面圖形以其角速度繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn) B 所具有的速度之矢量和。

18、矢量方程的兩種求解方法 幾何法 投影法31理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY例題已知桿 AB 上的 、 ，試求桿 AB 的中點(diǎn) C 的速度。解方向相反普遍適用32速度投影定理理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY 同一剛體上兩點(diǎn)的速度在其兩點(diǎn)連線上的投影相等。BA= 0(2-10)投影定理的實(shí)質(zhì) 反映了同一剛體上任意兩點(diǎn)間距離保持不變的特性。 不僅適用于平面運(yùn)動(dòng)剛體，而且適用于任意運(yùn)動(dòng)形式的剛體。 當(dāng)已知?jiǎng)傮w上某點(diǎn)速度的大小和方向及同一剛體上另一點(diǎn)速度的方向而需求它的大小時(shí)，利用速度投影定理更加方便。33理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY矢量法矢量法解題的一般步驟1. 運(yùn)動(dòng)分析：2.

19、速度分析：選定兩點(diǎn)（通常取速度已知的點(diǎn)為基點(diǎn)），寫出兩點(diǎn)的速度關(guān)系式，分析各項(xiàng)速度的大小和方向，并且在圖中畫出速度矢量圖。3. 求解矢量方程：a) 通過所作速度矢量圖的幾何關(guān)系求解未知量；b) 建立坐標(biāo)軸，通過矢量方程投影于線性無關(guān)的兩根軸上，得到兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量方程，然后求解未知量。 應(yīng)用式 求解任一瞬時(shí)剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度問題，這種方法稱為矢量法。分析各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)形式；如果未知數(shù)不超過兩個(gè)，則問題可解；34理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY例題找出機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的速度瞬心。三角板 OAB 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn) O 為三角板 OAB 的永久瞬心點(diǎn) C 為桿 BC 的瞬心點(diǎn) C 為桿 BD 的瞬心由

20、桿 AE 和桿 DE 的投影定理點(diǎn) E 為桿 AE 和 DE 的瞬心35理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY例題 如圖所示機(jī)構(gòu)，已知 OA = r ，AB = l 。試求圖示瞬時(shí)的速度瞬心和滑塊 B 的速度。OAB解法一兩點(diǎn)速度關(guān)系(1) 運(yùn)動(dòng)分析 桿 OA 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊 B 作直線平移，桿 AB 作平面運(yùn)動(dòng)。單自由度系統(tǒng)(2) 速度分析大小方向?xy沿 x 軸方向投影36理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY沿 y 軸方向投影OABxy( )( )37理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY解法二矢量圖法( )38理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY解法三速度投影定理( )速度投影定理

21、的方法無法求得桿 AB 的角速度必須用基點(diǎn)法或速度瞬心法求桿 AB 的角速度39理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY解法四速度瞬心法桿OA：方向桿AB：速度瞬心為P( )( )40理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY解法一兩點(diǎn)速度關(guān)系法例題 曲柄連桿機(jī)構(gòu)。已知：OA = r ，AB = l = ，圓弧半徑 R = 2r 。在圖示位置 時(shí)，曲柄角速度為 ，角加速度為 ， ，且 AB 與槽在點(diǎn) B 的法線夾角 = 30 。試求該瞬時(shí)滑塊 B 的速度和桿 AB 的角速度。(1) 運(yùn)動(dòng)分析：桿 OA 作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)桿 AB 作平面運(yùn)動(dòng)滑塊 B 的圓周運(yùn)動(dòng)(2) 速度分析：大小方向?41理論力學(xué)B 第二

22、章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY方向方向轉(zhuǎn)向如圖42理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY解法二速度瞬心法桿 OA ：方向桿 AB ：速度瞬心為 P（ ）方向43理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY解法三速度投影法方向速度投影法無法求得 ，求 仍需用上述的 “基點(diǎn)法” 或 “速度瞬心法” 求解。小結(jié) (1) 用 3 種方法，可見基點(diǎn)法是求解平面圖形上各點(diǎn)速度的基本方法；瞬心法的應(yīng)用顯得簡明方便；速度投影法只能求解點(diǎn)的速度，無法求解平面圖形的角速度，因此只求速度時(shí)常用此方法?？傊?，對于不同問題，應(yīng)選用一種便于求解的方法。44 (2) 選用某種求解速度的方法，相應(yīng)地要表達(dá)清楚。 如 “基點(diǎn)法” ，應(yīng)寫清楚

23、選取哪一點(diǎn)為基點(diǎn)，寫出矢量式，同時(shí)畫出速度矢量圖； 如 “瞬心法” ，應(yīng)在圖中畫清楚速度瞬心位置； 如 “速度投影定理” ，應(yīng)在圖中畫出速度矢量（或速度方位）。 只有表達(dá)清楚，才能列式計(jì)算求解。理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY45理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY 平面圖形上兩點(diǎn)的加速度關(guān)系 由平面圖形上任意兩點(diǎn) A 、B 的速度關(guān)系，即(2-11)因?yàn)?2-12)(2-13)可見(2-14)所以(2-15)46理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY定義：切向加速度法向加速度(2-16)(2-17)AB則兩點(diǎn)的加速度關(guān)系(2-19)(2-18)點(diǎn) A 稱為基點(diǎn)?；c(diǎn)法47理論力學(xué)B

24、第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY切向加速度矢量的大小與方向 相當(dāng)于圖形繞點(diǎn) A ，以圖形角加速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn) B 所具有的切向加速度大小方向指向與圖形角加速度 的轉(zhuǎn)向相一致，畫在點(diǎn) B 處。法向加速度矢量的大小與方向 相當(dāng)于圖形繞點(diǎn) A ，以圖形角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn) B 所具有的法向加速度大小方向由 B 指向 A ，畫在點(diǎn) B 處。兩點(diǎn)的加速度關(guān)系表明 平面圖形上任意點(diǎn) B 的加速度，等于基點(diǎn) A 的加速度與平面圖形以其角速度、角加速度繞點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)點(diǎn) B 所具有的加速度之矢量和。該方法也稱為加速度基點(diǎn)法。48理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY加速度的投影定理AB(2-20)只有當(dāng) 時(shí)，才有(2-2

25、1)可見，加速度投影定理不同于速度投影定理，加速度投影定理使用起來并不方便，因此不使用加速度投影定理。49理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY加速度的瞬心注意：加速度瞬心速度瞬心可見，加速度瞬心存在，但加速度瞬心的位置不像速度瞬心那樣容易找到。M(2-22)(2-23)(2-24)50理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY加速度瞬心的相關(guān)結(jié)論 某瞬時(shí)平面圖形上任一點(diǎn) M 的加速度，其大小與該點(diǎn)至加速度瞬心的距離 MP* 成正比，其方向與 的夾角 （ 至 的轉(zhuǎn)向與 的轉(zhuǎn)向一致）和點(diǎn) M 的位置無關(guān)（如圖所示）。M速度瞬心與加速度瞬心注意 (1) 速度瞬心和加速度瞬心都是平面圖形或其延拓部分上的

26、某一點(diǎn)，但不是同一個(gè)點(diǎn)； (2) 在某瞬時(shí)，速度瞬心的加速度不為零，加速度瞬心的速度不為零； (3) 不同瞬時(shí)，平面圖形或其延拓部分上不同點(diǎn)成為加速度瞬心。51理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY三種特殊情況的加速度瞬心 (1) 若平面圖形上某點(diǎn)速度為常矢量，則該點(diǎn)即為加速度瞬心； (2) 若平面圖形的 ， ，則這說明，此時(shí) ，對照速度瞬心的確定方法，此時(shí)可以與確定速度瞬心一樣的辦法確定加速度瞬心的位置； (3) 若平面圖形的 ， ，則52這說明，此時(shí) 由點(diǎn) M 指向點(diǎn) P* ，只要已知平面圖形（即同一剛體）上兩點(diǎn) A 、B 的加速度方向，則它們的延長線的交點(diǎn)即為加速度瞬心，且點(diǎn) M 的加速

27、度大小與加速度瞬心的關(guān)系簡單。理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY加速度瞬心法 用加速度瞬心確定平面圖形上點(diǎn)的加速度的求解方法稱為加速度瞬心法。加速度瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸 一般將過加速度瞬心且垂直于平面圖形的軸，稱為平面運(yùn)動(dòng)剛體的加速度瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸。53理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY中點(diǎn)的加速度公式 點(diǎn) C 為平面圖形上點(diǎn) A 、B 兩點(diǎn)連線的的中點(diǎn)，則54用平面圖形上兩點(diǎn)的加速度關(guān)系解題的一般步驟1. 運(yùn)動(dòng)分析：分析各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)形式。2. 速度分析：根據(jù)問題需要分析所需構(gòu)件的角速度或某點(diǎn)的速度。3. 加速度分析：選定兩點(diǎn)（通常取加速度已知的點(diǎn)為基點(diǎn)），寫出兩點(diǎn)加速度關(guān)系式，分析式中各項(xiàng)加速度的大小和方向，并畫出加速度矢量圖。在圖中要標(biāo)出 ， 的轉(zhuǎn)向，當(dāng)其未知時(shí)，則必須先假設(shè)。4. 求解矢量方程。如果未知數(shù)不超出兩個(gè)，則問題可解。理論力學(xué)B 第二章剛體的平面運(yùn)動(dòng)BRY55例題 曲柄連桿機(jī)構(gòu)。已知：OA = r ，AB = l = ，圓弧半徑 R = 2r 。在圖示位置 時(shí)，曲柄角速度為 ，角加速度為 ， ，且 AB 與槽在點(diǎn) B 的法線夾角 = 30 。