無限長圓柱瞬態(tài)導熱溫度場的推導

1、無限長圓柱瞬態(tài)導熱溫度場的推導III張卓 1102610126市政學院建筑環(huán)境與設備工程摘要：對于無限長圓柱體，用分析推導無限大平壁在對流換熱邊界條件下的方法，來求得它 們的溫度分布的分析解，以前所討論的無限大平壁，無限長圓柱體和球體的加熱和冷卻問題 都屬于一維瞬態(tài)導熱問題。利用這些一維問題的解，可以進一步確定一些二維或三維瞬態(tài)導 熱問題的溫度場，像有限長圓柱體，它可以看成是無限長圓柱體與無限大平壁垂直相交形成。 Abstract : For an infinite long cylinder, with analysis of the Pacific Ocean is infinite wa

2、ll in the convective heat transfer boundary conditions method, to get their temperature distribution analysis solution, discussed before the infinite wall of the Pacific Ocean, an infinite long cylinder and spheres of heating and cooling problem all belong to one dimensional transient heat conductio

3、n problem. Use these a d of the solution of the problem, can determine some of 2-d or 3-d transient heat conduction problem of temperature field, like limited long cylinder, it can be regarded as an infinite long cylinder and infinite Pacific vertical wall intersection formation.關(guān)鍵字：無限長圓柱體 有限長圓柱體瞬態(tài)導

4、熱Key words： Infinite long cylinder Limited long cylinder Transient thermal引言：利用這些一維問題的解，可以進一步確定一些二維或三維瞬態(tài)導熱問題的溫度場，像 有限長圓柱體，它可以看成是無限長圓柱體與無限大平壁垂直相交形成。我們對無限大平壁 在對流換熱的邊界條件下溫度的變化情況已十分熟悉，本文將以類似的方法對無限長圓柱， 有限長圓柱的瞬態(tài)導熱進行推導，也可以加深我們隊瞬態(tài)導熱的理解程度，及對畢渥準則， 傅里葉準則的理解。加熱或冷卻分析解法1無限長圓柱設有一半徑為8的無限長圓柱，圓柱的導熱系數(shù)A和熱擴散率a均為已知常數(shù)， 初始

5、時圓柱各處與兩側(cè)介質(zhì)溫度均勻一致并等于t0,若突然把周圍介質(zhì)溫度降 全，并保持不變，使圓柱處于冷卻狀態(tài)。設此過程中圓柱表面與周圍介質(zhì)之間 /的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)均為h。圓柱的溫度分布是中心對稱的，分析中把坐標軸x放在 圓柱的中心軸，采用柱坐標推導。如圖所示，這是一維穩(wěn)態(tài)導熱問題，其導熱微分方程式為合 t1 aa ta(r )r a ra rt0, 0r8(1)相應的初始條件為T = 0 , t =t 0 r 8（2）邊界條件為a t=0 , T0a rr =,8(3)_ X 6 ta r r = 8=h ( tr = 8-t f ), T0(4)引用新的變量R （ r具）=t （r具）-tf，稱為過

6、余溫度，這樣式（1）（4） 可以改寫為a r1-= a ra a r-(ra r ) a r（3-1）a tt = 0, R = R。,。 r 8aR= 0,T0 dr（3-2）（3-3）r=o.a0人ar=hOtr =8,0（3-4）r =8應用分離變量法，假定R（r 具）=X （r ）”）將式（5）帶入式（3-1），進過整理得到(5)對式（7）X、a 1 a (r .。. d)dTr drdrX d a ,dXd 2 X、= (+ r ) dT r drdr 21 d1 1 dX d 2 X、=(+)a dTX r dr dr2(6)1 d1 ,dx 1 d 2 X、展 A(7)和 X(

7、drr 7（8）積分 = ex pz（i t ）上式中cl是積分常數(shù)。分析式（9）可知，常數(shù)若為正值，將隨著的增大而（9）急劇增大，當?shù)闹岛艽髸r，趨于無限大，實際上這是不可能的；常數(shù)若為零，將等于常數(shù)，這意味著。3具）將不隨著時間發(fā)生變化，這也是不符合實際的。因此只能是負值，表為日=Y2。于是，式（9）和式（8）可以改寫為（10）1 dX 1 d 2 X、 (+) = -e 2X dr r dr 2（11）d 2 XdXr 2+ rdr 2dr+ s 2 Xr 2 =0該方程為零階貝塞爾方程，其一般解為:X = C 2 J 0（新）+ C 3y （r）其中J 0（r ）和丫 0（r）分別是第一

8、類與第二類的零階貝賽爾方程R = A1J0（r） e x p-（z8 瓦）+e x p-（z8 瓦）其中，根據(jù)零階貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)：0, 丫0（） 函數(shù)的值不可能無限增大A2 = 0R(r,T) = A】(次)e x p-s 21)i dRAdr對于邊界條件（4）得：等式左邊為:=XA1J0(r) e x p(Q 2t )根據(jù)被塞爾函數(shù)性質(zhì)有：J o&）=-禮（新）:.X_h = 8 = 人sA(p r) n=1其中J 0(er )和丫 0(er)分別是第一類與第二類的零階貝賽爾方程即f (r) 是一個貝塞爾級數(shù)的和。以rJ 0( Pm )而乘式的兩邊同時在(0,5 )區(qū)域 (00 )區(qū)域內(nèi)對

9、j進行積分，若級數(shù)逐項可積則有f rf ( r ) J 0( Pm 5)dr = E An5 rJ 0( Pn 5J 0( Pm 5)0n=10根據(jù)貝塞爾函數(shù)帶全正交的性質(zhì)：f5 rJ0( Pn 5) J0(Pm 5)dr = 002( p n ) + J12( p n) I(m n)f5 rJ (p r) J (p r)dr = 52 00 n 50 m 52(m = n)-r一 0 - n 5，12(p ) + J 2(p U0 n 1 n則A為I5 rf (r) J (p :)dr2f*rf (r) J (p : )dr(13)A廣 f5 rJ 2； ；dr =52 0 0 n 5將(1

10、3)式帶入(12)式得aT57)R S)= R E52n=125rf (r) J (p r)drr-5J (p -)exp(-p 22(p ) + J 2(p ) 0 n 5 n2有限長圓柱類似的對長度為21和半徑為8的有限長圓柱體，把他看成是半徑為8的無線 長圓柱體和厚度為21的無限大平壁垂直相交得到。F =其溫度分布可以表述 為：R(r,尤其)=R(r,T) R(尤其)R RRaT、 2)5 2)R(X,T)文 2sin A a cos(P X)exp(邛R P + sin P cos P n 50n=1 nnnR(r ,tR0)=2 切!exp(-Pn=1 nJ (P r/5)J (p )J2(p ) + J 2(pn)0 n 1 n.R(r,x,T) =2工. R0