例談幾何型綜合題的解題策略

1、例談幾何型綜合題的解題策略松江區(qū)立達(dá)中學(xué)莊士忠 盧棟才201600幾何型綜合題常以動(dòng)態(tài)幾何知識為背景，以考察數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用能力為目標(biāo)，所涉及的數(shù)學(xué)思想主要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等等。例1 :已知：/ MAN= 60 1點(diǎn)B是射線AM上的一點(diǎn)，AB= 4(如圖).P為直線AN上一動(dòng)點(diǎn)， 以BP為邊作等邊三角形 BPQ(點(diǎn)B、P、Q按順時(shí)針排列)，0是4 BPQ勺外心. (1)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：點(diǎn) 0在/ MAN勺平分線上； (2)當(dāng)點(diǎn)P在射線AN上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) P與A不重合)時(shí)， A0與BP交于C,設(shè)AP= x, AC，AO = y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式

2、，并寫出函數(shù)的定義域；(3)若點(diǎn)D是射線AN上，AD= 2時(shí)，O I是ABD的內(nèi)切圓，當(dāng) BPQ的邊BP或BQ與。I相切時(shí)，請直接寫出點(diǎn) A到點(diǎn)O的距離.分析：這類試題一般有三個(gè)小題，第一小題研究幾何背景，為論證或計(jì)算；第二小題研究運(yùn)動(dòng)中圖形的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系；第三小題研究圖形不確定性帶來的分類討論。我們一般可以采用化整為零、建立方程、分類討論三個(gè)步驟，從復(fù)雜的背景中提取解題所需信息，使問題逐步解決?；麨榱悖⒁馓厥馇闆r的補(bǔ)充要證AO平分/ MAN只要證明O到AM AN的距離相等，故作OGL AM于G, OHL AN于H, 故/ GOI+ 120。因此只要連結(jié) BO PQ證/ BOP=

3、 120 ,把問題轉(zhuǎn)化為研究等邊三角形 外心的性質(zhì)。這樣，一個(gè)復(fù)雜的問題經(jīng)過分拆，轉(zhuǎn)化成我們熟悉的基本問題，從而尋找到解 題的途經(jīng)。解：連 BO PO . O是等邊 BPQ的外心BO=PO / BOP= 120作 OGL AMT G, OHL AN 于 H,故 Z GOH= 120 ./ BOG= / POH 可證 BOB POHOG= OHO在/ MAN勺平分線上但是這里的證明沒有包括 OB垂直AM的情形，應(yīng)該予以補(bǔ)充說明。建立方程，考慮建立函數(shù)的方法的多樣性和唯一性的結(jié)合1建立幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，特別是動(dòng)態(tài)幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，是這類試題的考察重點(diǎn)，函數(shù)關(guān)系式的建立實(shí)際上是探求兩個(gè)變量y

4、與x之間未知函數(shù)類型的函數(shù)問題，如果我們把函數(shù)理解為關(guān)于 x、y的二元方程，不管是何種類型函數(shù)，都可以通過尋找y與x之間的等量關(guān)系，建立方程來解決。而建立等量關(guān)系常見的途經(jīng)有：比例線段、勾股定理、等積 原理、線段和差等等。本題要建立y ( AC AO )與x (A?之間的函數(shù)關(guān)系，就是建立 y與x之間的方程，所涉及的線段有 AG AO AP三條，因此常要尋找第四條線段，根據(jù)題意只有A2 4是已知線段，故可以優(yōu)先考慮，因此只要證ABS ACP.解：/ BAON OBP=30 ,/ ACP=Z ABC-+Z BAC= ABC吆 OBC= ABO又/ BAON CAP ABS ACPAB AO 5-

5、 = 故 y = 4x (x0)AC AP建立函數(shù)關(guān)系式一般可以運(yùn)用相似法、勾月法或面積法，二這里因?yàn)橐阎猋=AC.AO,故基本考慮相似法，只是比例式的對角相乘的結(jié)果。分類討論，注意結(jié)合不同圖形分析或動(dòng)態(tài)全過程操作演示分類討論是這類試題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，不僅考察數(shù)學(xué)知識的把握能力，還考察動(dòng)態(tài)圖形的認(rèn)知能力，對同學(xué)來說，是難點(diǎn)之一。不過，分類討論也是有規(guī)律可循，比如這類試題所涉及的分類討論知識主要是等腰三角形的底邊不確定、直角三角形的直角不確定、圖形的位置不確定(最常見是直線、射線與線段變化引起的)、相似三角形的對應(yīng)邊不確定等等。在分類討論時(shí)首先要注意分類標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，其次要做到不重不漏。本題的第一小

6、題、第二小題考察點(diǎn)P在射線AN上的運(yùn)動(dòng)，而第三小題則考察 P在直線AN上的運(yùn)動(dòng)，由此帶來分類討論。 TOC o 1-5 h z 解：AB=4, AD=2 Z MAN= 60 ,可得/ BDA=90、1、當(dāng)BP與。I相切時(shí)，P(1)當(dāng)P與D重合時(shí)(如圖1), AO=2j3工廠友下(2)當(dāng)P與A重合時(shí)(如圖2), AO上3人“入占片圖3B.2 、當(dāng)BQ5OI相切時(shí)(如圖 3), AO=0/NN這里的圖形很難畫出來， 所以最好應(yīng)該用不同的被用途分別畫出，如果在一幅圖形上很 難看清，或者說將圓進(jìn)行全過程演示操作，觀察解的不唯一性。例2.操作：將一把三角尺放在邊長為 1的正方形ABCDt,并使它的直角頂

7、點(diǎn) P在對角線AC上滑動(dòng)，直角的一邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一邊與射線 DCf交于點(diǎn)Q探究：設(shè)A、P兩點(diǎn)間的距離為x.(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你觀察得 到結(jié)論；(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CD上時(shí)，設(shè)四邊形 PBCQ勺面積為y,求y與x之間的函數(shù)解析式， 并寫出函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上滑動(dòng)時(shí)， PC德否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所 有能使 PC誡為等腰三角形的點(diǎn) Q的位置，并求出相應(yīng)的 x的值；如果不可能，試說明理 由.1、圖1圖2圖3四、關(guān)注重點(diǎn)知識解答方法初中數(shù)學(xué)很多考點(diǎn)都是圍繞重點(diǎn)知識點(diǎn)的，所以記住重點(diǎn)的、常見的知識和基本圖形的解答策略對

8、解題很關(guān)鍵。 比如本體中角平分線上的一點(diǎn)到叫的兩邊的距離相等是重點(diǎn)知識，應(yīng)該很容易想到向角的兩邊作垂線(引平行線等)。(1)解：PQ= PB證明如下：過點(diǎn) P作MN BC分另1J交 AB于點(diǎn)M交CDT點(diǎn)N,那么四邊形 AMND口四邊形BCN嘟是矩形， AM而4CN嘟是等腰直角三角形(如圖 1).NP= NC= MBZBPQ= 90 ,ZQPINF Z BPM= 90 .而/BPMb / PBM= 90 ,ZQPN= /PBM又. ZQNP= Z PMB= 90 ,AQNP PMB ， PQ= PB結(jié)合上下關(guān)系解答或求函數(shù)關(guān)系一般來說，綜合題的每一部分都是相互關(guān)聯(lián)的，有的第一步是特殊情況、特殊解

9、，或者證明一些為后續(xù)解答有用的工具性的題，所以后面的解答一般可以順著前面的思維進(jìn)行解答。比如本題第二問求面積， 我們只要將這個(gè)四邊形的面積轉(zhuǎn)化為一個(gè)特殊的四邊形面積即可，二這個(gè)轉(zhuǎn)化就是因?yàn)榈谝粏栕C明中可以獲悉的結(jié)論-等面積轉(zhuǎn)化。由(1) QN良 PMB 彳導(dǎo) NQ= MP TOC o 1-5 h z -2-2AP= x, . . AM= MP= NQ= DN= x , BM= PN= CN= 1- x , HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 222 CQ= CD- DQ= 1 2 , x = 1 2 2x .2/口 八 1 1, 212得 SaPB

10、C= BC, BM= x 1 x (1 x)= 一 x.rDC HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 22224SAPCQ= 1CQ- PN= 1 x (1-x) (1- x)1返 x + 1x2242S 四邊形 pbcQ= SA PBc+ SAPCQ= -x _ 2 2x + 1 .2即 y= 1 x - J2x + 1 (0W x 上 ) 22六、驗(yàn)證方法有特征，結(jié)論一般都是特殊位置得到的般來說，分類討論的結(jié)果一般都是有特征的，結(jié)果有相似又有特征，如果一個(gè)結(jié)論是&+1, 一定有另外一個(gè)根 2-1 （除非不滿足定義域），而且基本都是在特殊位置取得

11、的，沒有特殊位置，就不會(huì)有特殊解，這是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，所以很多分類討論都是很明了的。（3） PC3T能成為等腰三角形當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，這時(shí)PQ= QC PCO等腰三角形,此時(shí)x= 0當(dāng)點(diǎn)Q在邊DC勺延長線上，且 CP= CQ寸， PCB等腰三角形（如圖 3）.一，,2此時(shí)，QN= PM=222 2C住 22 -x, CN=CA 1- x .22“入,2CQ= QN- CN=x -2當(dāng)弋2 -x= J2x 1 時(shí)，得 x= 1.綜合例題例3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)，邊AC在x軸的正半軸，AC= 16,ZBAC= 60 , AB= 10, OP分別與邊AB AC

12、相切于D E（切點(diǎn)D、E不在邊AR AC的端點(diǎn)）,ED的延長線與CB的延長線相交于點(diǎn)F.求BC邊的長和 ABC的面積;(2)設(shè)AE= x, DF= y,寫出y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量 x的取值范圍;探索 ADC DBF能否相似？若能相似,請求出x的值，同時(shí)判斷此時(shí)。P與邊BC的位置關(guān)系，并證明之；若不能相似，請說明理由；（4）當(dāng)。P與 ABC內(nèi)切時(shí)，O P與邊BC相切于G點(diǎn)，請寫出切點(diǎn) D E、G的坐標(biāo)（不必寫出 計(jì)算過程）.解、（1）過點(diǎn)A作AHL BC于H1. / BAC=90 , AB=AC=22BC=4 AH=2,S. AOC = AH CO = 4 X2即 y= x+4 （0 x4）（2）當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)H重合時(shí)，圓O與圓A相交，不合題意；當(dāng)點(diǎn) O與點(diǎn)H不重合時(shí)，在 Rt AOH 中， TOC o 1-5 h z 一 22_2_22_AO =AH OH =4 |2-x|=x -4x 8圓A的半徑為1,圓O的半徑為x,717.當(dāng)圓 A與圓 O外切時(shí)，（x+1）2 =x2 4x+8 解得 x= , Saaoc =y= 6671當(dāng)圓A與圓O內(nèi)切時(shí)，（x1） =x 4x+8 解得x= , Saao