高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件匯編1不定積分及其計算

1、一、 不定積分的概念定義 1 . 若在區(qū)間 I 上定義的兩個函數(shù) F (x) 及 f (x)滿足在區(qū)間 I 上的一個原函數(shù) .則稱 F (x) 為f (x) 牛牛文庫文檔分享定理 1. 原函數(shù)都在函數(shù)族( C 為任意常數(shù) ) 內(nèi) .證: 1)又知故即屬于函數(shù)族機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即 牛牛文庫文檔分享定義 2. 在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中 積分號; 被積函數(shù); 被積表達(dá)式. 積分變量;若則( C 為任意常數(shù) )C 稱為積分常數(shù)不可丟 !例如,記作機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成

2、的平行曲線族.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的積分曲線 . 牛牛文庫文檔分享例1. 設(shè)曲線通過點( 1 , 2 ) , 且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.解: 所求曲線過點 ( 1 , 2 ) ,故有因此所求曲線為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享二、 基本積分表 從不定積分定義可知:或或利用逆向思維( k 為常數(shù))機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享或或機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例3. 求解: 原式 =例4. 求解: 原式=機(jī)動 目錄 上頁 下頁

3、 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享二、不定積分的性質(zhì)推論: 若則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例5. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例6. 求解: 原式 =例7. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例8. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì) 基本積分表 2. 直接積分法:利用恒等變形, 及 基本積分公式進(jìn)行積分 .常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式 , 代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)機(jī)動 目錄 上頁 下頁

4、 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享思考與練習(xí)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 求下列積分:提示: 牛牛文庫文檔分享2. 求不定積分解：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享第二類換元法第一類換元法三、不定積分的換元積分法基本思路 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)可導(dǎo),則有 牛牛文庫文檔分享第一類換元法定理1.則有換元公式(也稱配元法即, 湊微分法)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例1. 求解: 令則故原式 =注: 當(dāng)時機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例2. 求解:令則想到公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例3

5、. 求想到解:(直接配元)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例4. 求解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似 牛牛文庫文檔分享例5. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享常用的幾種配元形式: 萬能湊冪法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例6. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例7. 求解: 原式 =例8. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例9. 求解法1解法2 兩法結(jié)果一樣機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例10. 求解法1 機(jī)動

6、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享解法 2 同樣可證或機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例11. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例12 . 求解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例13. 求解: 原式=機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 分析: 牛牛文庫文檔分享小結(jié)常用簡化技巧:(1) 分項積分:(2) 降低冪次:(3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙換元或配元萬能湊冪法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 利用積化和差; 分式分項;利用倍角公式 , 如 牛牛文庫文檔分享思考與練習(xí)1. 下

7、列各題求積方法有何不同?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享2. 求提示:法1法2法3作業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享第二類換元法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法 .難求， 牛牛文庫文檔分享定理2 . 設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且具有原函數(shù) ,證:令則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有換元公式 牛牛文庫文檔分享例14. 求解: 令則 原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例15. 求解: 令則 原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例16. 求解:令則

8、 原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享令于是機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享說明:被積函數(shù)含有時, 除采用采用雙曲代換消去根式 ,所得結(jié)果一致 . 或或機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三角代換外, 還可利用公式 牛牛文庫文檔分享原式例17. 求解: 令則原式當(dāng) x 0 時, 類似可得同樣結(jié)果 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享小結(jié):1. 第二類換元法常見類型: 令或令或令或機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 常用基本積分公式的補充(5) 分母中因子次數(shù)較高時, 可試用倒代換

9、 令 牛牛文庫文檔分享機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享解: 原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例18. 求例19. 求解: 牛牛文庫文檔分享例20. 求解: 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例21. 求解: 原式 牛牛文庫文檔分享例22. 求解: 令得原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例23. 求解: 原式令例16 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1) v 容易求得 ;容易計算 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、不定積分的分部積分法 牛牛文庫文檔分享例1. 求解: 令則 原式思考:

10、 如何求提示: 令則原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例2. 求解: 令則原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例3. 求解: 令則 原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例4. 求解: 令, 則 原式再令, 則故 原式 =說明: 也可設(shè)為三角函數(shù) , 但兩次所設(shè)類型必須一致 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)之積 ,按 “ 反對冪指三” 的順序,前者為 后者為例5. 求解: 令, 則原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 反: 反三角函數(shù)對: 對數(shù)函數(shù)冪: 冪函數(shù)指: 指數(shù)函數(shù)三: 三角函數(shù) 牛牛文庫文檔分享例6. 求解: 令, 則原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享例7. 求解: 令則原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令 牛牛文庫文檔分享例8. 求解: 令則 原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 牛牛文庫文檔分享說明:分部積分題目的類型:1) 直接分部化簡積分 ;2) 分部產(chǎn)生循環(huán)式 , 由此解出積分式