人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)15《軸對(duì)稱(chēng) 全章復(fù)習(xí)與鞏固》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)(含答案)

1、PAGE 軸對(duì)稱(chēng)全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)圖形，理解軸對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì)及它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用；2. 了解垂直平分線的概念，并掌握其性質(zhì)；3. 了解等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)概念，并掌握它們的性質(zhì)以及判定方法.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對(duì)稱(chēng)【高清課堂：389304 軸對(duì)稱(chēng)復(fù)習(xí)，本章概述】1.軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.（2）軸對(duì)稱(chēng)定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它

2、能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸.成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形；如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上.（3）軸對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別: 軸對(duì)稱(chēng)是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱(chēng)圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱(chēng)涉及兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱(chēng)圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形沿對(duì)稱(chēng)軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱(chēng)；如果把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，

3、那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)二、作軸對(duì)稱(chēng)圖形 1.作軸對(duì)稱(chēng)圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接這些對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形.2.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）；點(diǎn)（,）關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）；點(diǎn)（,）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的

4、點(diǎn)的坐標(biāo)為（,）.要點(diǎn)三、等腰三角形 1.等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱(chēng)“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45.（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等 邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60.（3）等邊三角形的判定： 三條邊都相等的三角形是等邊三角形； 三個(gè)角都相等的三

5、角形是等邊三角形； 有一個(gè)角為 60的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【典型例題】類(lèi)型一、軸對(duì)稱(chēng)的判斷與應(yīng)用1、如圖所示的是在一面鏡子里看到的一個(gè)算式，該算式的實(shí)際情況是怎樣的？【答案與解析】該算式的情況是：12085205【總結(jié)升華】從鏡子里看物體左右相反舉一反三：【變式】如圖,是一只停泊在平靜水面上的小船,它的“倒影”應(yīng)是圖中的（ ）.【答案】B ；提示：從水中看物體上下顛倒2、如圖，C、D、E、F是一個(gè)長(zhǎng)方形臺(tái)球桌的4個(gè)頂點(diǎn)，A、B是桌面上的兩個(gè)球，怎樣擊打A球，才能使A球撞擊桌面邊緣CF后反彈能夠

6、撞擊B球？請(qǐng)畫(huà)出A球經(jīng)過(guò)的路線，并寫(xiě)出作法 【答案與解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于直線CF對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)G，連接BG交CF于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為A球撞擊桌面邊緣CF的位置，A球經(jīng)過(guò)的路線如下圖.【總結(jié)升華】這道題利用了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，把AP轉(zhuǎn)化成了線段GP，通過(guò)找A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而確定點(diǎn)P的位置.舉一反三：【變式】（2016春深圳校級(jí)期中）如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R若PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（）A10 B15 C20 D30【答案】A；提示：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，PQF的周長(zhǎng)等于.【高清課堂：389304 軸對(duì)稱(chēng)復(fù)習(xí)：例10】3、如圖，ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

7、（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），如果要使ABD與ABC全等，求點(diǎn)D的坐標(biāo) 【思路點(diǎn)撥】關(guān)于AB直線對(duì)稱(chēng)，且與ABC全等的ABD有一個(gè)，此時(shí)的ABC與ABD繞著AB的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，又可以找到兩個(gè)與ABC全等的三角形.【答案與解析】解：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)有3個(gè)（4，1）；（1，1）；（1，3）. 【總結(jié)升華】有一條邊相同的全等三角形，可以通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)的方法找出，注意不要漏解.舉一反三：【變式】在直角坐標(biāo)系中，ABC關(guān)于直線1軸對(duì)稱(chēng)，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是（4，4），則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（ ）A.（4，4） B.（4，2） C.（4，2） D.（2，4）【答案】C；提示：點(diǎn)A和

8、點(diǎn)B是關(guān)于直線1對(duì)稱(chēng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它們到1的距離相等是3個(gè)單位長(zhǎng)度，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，2）類(lèi)型二、等腰三角形的性質(zhì)與判定4、已知：一等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足方程組，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A.5 B.4 C.3 D.5或4【思路點(diǎn)撥】通過(guò)解方程組算出等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，由于沒(méi)有指定邊長(zhǎng)是腰還是底，所以需要分類(lèi)討論，最后還要注意檢驗(yàn)?zāi)芊駱?gòu)成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程組得，當(dāng)腰為1，2為底時(shí)，112，不能構(gòu)成三角形， 當(dāng)腰為2，1為底時(shí)，能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)為2215【總結(jié)升華】本題從邊的方面考查等腰三角形，涉及分類(lèi)討論的思想方法求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來(lái)，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)

9、三邊長(zhǎng)能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去舉一反三：【變式】已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70，則另兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是（）A.55，55 B.70，40 C.55，55或70，40 D.以上都不對(duì) 【答案】C；提示：當(dāng)70為頂角時(shí),另外兩個(gè)角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為（18070）255，當(dāng)70為底角時(shí),另外一個(gè)底角也是70,頂角是180140405、（2015秋淮安校級(jí)期末）如圖：（1）P是等腰三角形ABC底邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R請(qǐng)觀察AR與AQ，它們有何關(guān)系？并證明你的猜想（2）如果點(diǎn)P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運(yùn)動(dòng)到C

10、B的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中所得的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)你在圖（2）中完成圖形，并給予證明【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出PRC與AQR的關(guān)系；（2）由已知條件，根據(jù)等腰三角形兩底角相等及三角形兩直角互余的性質(zhì)不難推出BQP與PRC的關(guān)系【答案與解析】解：（1）AR=AQ，理由如下：AB=AC，B=CRPBC，B+BQP=C+PRC=90，BQP=PRCBQP=AQR，PRC=AQR，AR=AQ；（2）猜想仍然成立證明如下：AB=AC，ABC=CABC=PBQ，PBQ=C，RPBC，PBQ+BQP=C+PRC=90，BQP=PRC，AR=AQ【總結(jié)升

11、華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定；題中有兩個(gè)類(lèi)別的特殊三角形，等腰三角形是兩個(gè)底角相等，直角三角形是兩個(gè)銳角互余，還有對(duì)頂角相等的條件，為角的關(guān)系轉(zhuǎn)化提供依據(jù)舉一反三：【變式1】（2016常州）如圖，已知ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD與CE相交于點(diǎn)O（1）求證：OB=OC；（2）若ABC=50，求BOC的度數(shù).【答案】（1）證明：AB=ACABCACB，BD、CE是高，DBCECB，OB=OC（2）ABC50，AB=AC，A=180-250=80，BOC=180-80=100.【變式2】如圖，BAC90，以ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中點(diǎn)

12、，請(qǐng)你探究線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系【答案】ED2AM解：連接DE，BAC90，M是BC的中點(diǎn)AMBMMCEADBAC90，AEAB，ACADABCAEDEDBCED2AM類(lèi)型三、等邊三角形的性質(zhì)與判定【高清課堂：389303 等邊三角形：例4】6、如圖，設(shè)D為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且ADBD，BPAB, DBPDBC.求BPD的度數(shù).【答案與解析】解：如圖，連接CD，ABC是等邊三角形，ABACBC，又ADBD，DC是公共邊，BDCADC（SSS），DCBDCA6030，DBCDAC，DBPDBC，DACDBP，又已知BPAB，BPAC，DBPDAC（SAS），PACD30【總結(jié)升華】本題主要

13、考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件舉一反三：【變式】（秋東勝區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，ABC和CDE都是等邊三角形BE交AC于F，AD交CE于H（1）求證：BCEACD；（2）求證：FHBD【答案】證明：（1）ABC和CDE都是等邊三角形，BC=AC，CE=CD，BCA=ECD=60，BCA+ACE=ECD+ACE，即BCE=ACD，在BCE和ACD中，BCEACD （SAS）（2）由（1）知BCEACD，則CBF=CAH，BC=AC又ABC和CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，ACH=180AC

14、BHCD=60=BCF，在BCF和ACH中，BCFACH （ASA），CF=CH，又FCH=60，CHF為等邊三角形FHC=HCD=60，F(xiàn)HBD【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. （2016北京）甲骨文是我國(guó)的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是軸對(duì)稱(chēng)的是（）ABCD2（2015威海模擬）如圖，ABC中BD、CD平分ABC、ACB，過(guò)D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，AEF的周長(zhǎng)為（）A13B12C15D203. 以下敘述中不正確的是（ ）A等邊三角形的每條高線都是角平分線和中線B其中有一內(nèi)角為60的等腰三角形是等邊三角形C等腰三角形一定是銳角三角

15、形D在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么它們所對(duì)的角也不相等；反之，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么它們所對(duì)的邊也不相等4下列條件有一個(gè)角為60的三角形；三個(gè)外角都相等的三角形；一邊上的高與中線重合的三角形；有一個(gè)角為60的等腰三角形能判定三角形為等邊三角形的有（ ） A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)5. 如圖，BD是ABC的角平分線，DEBC，DE交AB于E, 且ABBC，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） ABDAC BAEDA CBC2AD DBEED6. 如圖，ABC中，ACB90，CD是AB邊上的高，BAC的角平分線AF交CD于E，則CEF必為（ ） A.等腰三角形 B.等邊三角形 C

16、.直角三角形 D.等腰直角三角形 7.下列說(shuō)法中不正確的是（ ）A.等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形 B.若兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都被同一條直線垂直平分，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng) C.若 ,則這兩個(gè)三角形一定關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng) D.直線MN是線段AB的垂直平分線，若P點(diǎn)使PAPB，則點(diǎn)P在MN上，若，則不在MN上8如圖所示,RtABC中，C90,AB的垂直平分線DE交BC于D，交AB于點(diǎn)E當(dāng)B30時(shí)，圖中不一定相等的線段有（ ）AACAEBE BADBD CCDDE DACBD二.填空題9. 如圖，O是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 OAOBOC，若OBA20,OCB30，則OAC_.10. 如圖，ABC中，A90

17、，BD為ABC平分線，DEBC，E是BC的中點(diǎn)，C的度數(shù)為_(kāi).11. 如圖，ABC中，C90，D是CB上一點(diǎn)，且DADB4，B15,則AC的長(zhǎng)為 12.（寶應(yīng)縣二模）如圖，在ABC中，AB=AC，D、E是ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分BAC，EBC=E=60，若BE=60cm，DE=2cm，則BC= cm13. 點(diǎn)D、E分別在等邊ABC的邊AB、BC上，將BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在B1處，DB1、EB1分別交邊AC于點(diǎn)F、G若ADF80，則CEG 14一個(gè)汽車(chē)車(chē)牌在水中的倒影為 ，則該車(chē)的牌照號(hào)碼是_15.（2016廈門(mén)校級(jí)模擬）在等腰ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長(zhǎng)分為15

18、和21兩部分，則這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)為_(kāi).16. 三角形紙片ABC中，A60，B80，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在ABC內(nèi)，如圖所示130，則2_三.解答題17.（2015春宜春期末）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)Q是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M、N、Q三點(diǎn)不在同一直線上，當(dāng)MNQ的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)18. 如圖，上午9時(shí)，一條漁船從A出發(fā)，以12海里/時(shí)的速度向正北航行，11時(shí)到達(dá)B處，從A、B處望小島C，測(cè)得NAC15，NBC30.若小島周?chē)?2.3海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)該漁船繼續(xù)向正北航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？ 19如圖所示，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD

19、相交于點(diǎn)E，若AC平分DAB，且ABAE，ACAD，求證DBCDAB 20如圖所示，在ABC中，B90，ABBC，BDCE，M是AC邊的中點(diǎn)，求證DEM是等腰三角形【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】D；【解析】A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確2. 【答案】B；【解析】解：EFBC，EDB=DBC，BD平分ABC，EBD=CBD，EDB=EBD，BE=ED，同理DF=CF，AEF的周長(zhǎng)是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=5+7=12故選B3. 【答案】C

20、； 【解析】等腰三角形還有鈍角三角形和直角三角形4. 【答案】B；【解析】均能判定三角形為等邊三角形.5. 【答案】C；【解析】因?yàn)锽D是ABC的角平分線，DEBC，所以EBDDBCEDB，故B、D成立，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)知A成立.6. 【答案】A；【解析】CFABBAF，CEFECAEAC，而B(niǎo)ECA，BAFEAC，故CEF為等腰三角形.7. 【答案】C；【解析】全等的兩個(gè)三角形不一定關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng).8. 【答案】D； 【解析】由角平分線的性質(zhì)結(jié)合B30，可知A、B、C均成立.二.填空題9. 【答案】40； 【解析】AOB與BOC與AOC均為等腰三角形,OAC40.10.【答案】3

21、0； 【解析】證BDECDE，ABDDBEC30.11.【答案】2； 【解析】ADC30，.12.【答案】62； 【解析】解：延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)AD交BC于N，作DFBC，AB=AC，AD平分BAC，ANBC，BN=CN，EBC=E=60，BEM為等邊三角形，EFD為等邊三角形，BE=60，DE=2，DM=58，BEM為等邊三角形，EMB=60，ANBC，DNM=90，NDM=30，NM=29，BN=31，BC=2BN=62，故答案為6213.【答案】40； 【解析】BDE，BEDDEG180506070，所以CEG40.14.【答案】 W 5236499【解析】只需將倒影沿垂直旋轉(zhuǎn)18