人教版八年級數(shù)學(xué)上冊13《等腰三角形性質(zhì)及判定》知識講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)(含答案)

1、PAGE 等腰三角形性質(zhì)及判定（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標】1. 掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能利用它證明兩個角相等、兩條線段相等以及兩條直線垂直2. 掌握等腰三角形的判定定理3. 熟練運用等腰三角形的判定定理與性質(zhì)定理進行推理和計算【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在ABC中，ABAC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,A是頂角，B、C是底角要點詮釋：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍

2、角（或直角）.A1802B，BC .【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定，知識要點】要點二、等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸要點三、等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊

3、也相等（簡稱“等角對等邊”）. 要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)度數(shù)的計算題【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例1】1、如圖，在ABC中，D在BC上，且ABACBD，130，求2的度數(shù).【答案與解析】解： ABAC B C ABBD 23 21C 21B 23B180 B18022 2118022 321180 130 270【總結(jié)升華】解該題的關(guān)鍵是要找到2和1之間的關(guān)系，顯然21C，只要再找出C與2的關(guān)系問題就好解決了

4、，而CB，所以把問題轉(zhuǎn)化為ABD的角之間的關(guān)系，問題就容易的多了.關(guān)于角度問題可以通過建立方程進行解決.【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例1練習(xí)】舉一反三：【變式】已知：如圖，D、E分別為AB、AC上的點，ACBCBD，ADAE，DECE，求B的度數(shù)【答案】解：ACBCBD，ADAE，DECE，設(shè)ECDEDC，BCDBDC，則AEDADE2，AB1804在ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和得A、D、B在同一直線上，2180由 ，解得36B180418014436.類型二、等腰三角形中的分類討論2、在等腰三角形中，有一個角為40，求其余各角【思路點撥】唯獨等腰

5、三角形的角有專用名詞“頂角”“底角”，別的三角形沒有，然而此題沒有指明40的角是頂角還是底角，所以要分類討論.【答案與解析】解：(1)當40的角為頂角時，由三角形內(nèi)角和定理可知：兩個底角的度數(shù)之和18040140，又由等腰三角形的性質(zhì)可知：兩底角相等，故每個底角的度數(shù)；(2)當40的角為底角時，另一個底角也為40，則頂角的度數(shù)1804040100其余各角為70，70或40，100 【總結(jié)升華】條件指代不明，做此類題應(yīng)分類討論，把可能出現(xiàn)的情況都討論到，別遺漏.3.（2015春安岳縣期末）已知一個等腰三角形的兩邊長a、b滿足方程組（1）求a、b的值（2）求這個等腰三角形的周長【答案與解析】解：（

6、1），2得5b=15，解得b=3，把b=3代入得2a+3=13，解得a=5；（2）若a=5為腰長，5+53滿足，此時三角形周長為：52+3=13；若b=3為腰長，3+35滿足，此時三角形周長為：32+5=11【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及解二元一次方程組，難度一般，關(guān)鍵是掌握分類討論的思想解題舉一反三：【變式】（2015裕華區(qū)模擬）若x，y滿足|x3|+=0，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長為（）A 12B14C15D12或15【答案】C.解：根據(jù)題意得，x3=0，y6=0，解得x=3，y=6，3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、6，3+3=6，不能組成三角形，3是底邊時，

7、三角形的三邊分別為3、6、6，能組成三角形，周長=3+6+6=15，所以，三角形的周長為15故選C類型三、等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用【高清課堂：389301 等腰三角形的性質(zhì)及判定：例8】4、已知：如圖，ABC中，ACB45，ADBC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，BADFCD求證：（1）ABDCFD；（2）BEAC【思路點撥】此題由等腰三角形的判定知ADDC，易證ABDCFD，要證BEAC，只需證BEC90即可，DFBD，可知FBD45，由已知ACD45，可知BEC90.【答案與解析】證明：(1) ADBC， ADCFDB90. ， ADCD ， ABDCFD (2)A

8、BDCFD BDFD. FDB90， . ， . BEAC 【總結(jié)升華】本題主要考查全等三角形判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于熟練的綜合運用相關(guān)的性質(zhì)定理，通過求證ABDCFD，推出BD=FD，求出FBD=BFD=45舉一反三：【變式】（2016海淀區(qū)校級模擬）如圖，已知BAC=90，ADBC于點D，1=2，EFBC交AC于點F試說明AE=CF【思路點撥】作EHAB于H，作FGBC于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EH=ED，再證ED=FG，則EH=FG，通過證明AEHCFG即可【答案與解析】解：作EHAB于H，作FGBC于G，1=2，ADBC，E

9、H=ED（角平分線的性質(zhì)）EFBC，ADBC，F(xiàn)GBC，四邊形EFGD是矩形，ED=FG，EH=FG，BAD+CAD=90，C+CAD=90，BAD=C，又AHE=FGC=90，AEHCFG（AAS）AE=CF【總結(jié)升華】本題考查了角平分線的性質(zhì)；綜合利用了角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定等知識點【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 已知一個等腰三角形兩邊長分別為5，6，則它的周長為( ) A16 B17 C16或17D10或122. 若一個三角形的三個外角度數(shù)比為2：3：3，則這個三角形是（ ）A. 等腰三角形 B. 等邊三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形3. 將兩個全等的且

10、有一個角為30的直角三角形拼成如圖所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數(shù)是（ ）A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個4.（2015秋醴陵市校級期末）如圖，在ABC中，AB=AC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，E、F為垂足，則下列四個結(jié)論：（1）DEF=DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分EDF；（4）EF垂直平分AD.其中正確的有( ) A1個B2個 C3個D4個5. 如圖，D是AB邊上的中點，將沿過D的直線折疊，使點A落在BC上F處，若，則度數(shù)是（ ） A60 B70 C80 D不確定 6.（2015沂源縣校級模擬）有3cm，3cm，6cm，6cm，

11、12cm，12cm的六條線段，任選其中的三條線段組成一個等腰三角形，則最多能組成等腰三角形的個數(shù)為（）A1B2C3D4二.填空題7如圖，ABC中，D為AC邊上一點，ADBDBC，若A40，則CBD_ 8. 等腰三角形的頂角比其中一個底角大30，則頂角的度數(shù)為 9. 如圖，ABC是等腰直角三角形，C90，BD平分CBA交AC于點D，DEAB于E若ADE的周長為8，則AB _10. 等腰三角形的一個角是70，則它的頂角的度數(shù)是 .11. （2016春閔行區(qū)期末）如圖，在ABC中，OB、OC分別是ABC和ACB的角平分線，過點O作OEAB，OFAC，交邊BC于點E、F，如果BC=10，那么COEF等

12、于 12.（春錦州月考）如圖，在ABC中，BI、CI分別平分ABC、ACF，DE過點I，且DEBCBD=8cm，CE=5cm，則DE等于 三.解答題13已知：如圖，ABC中，ABAC，D是AB上一點，延長CA至E，使AEAD試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論14. （2015春黃岡校級期末）在ABC中，AB=AC，AC上的中線BD把三角形的周長分為24cm和30cm的兩個部分，求三角形的三邊長15. 如圖，在ABC中，BAC60，ACB40，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別為BAC、ABC的角平分線，求證：BQAQABBP【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】C； 【解析】

13、注意分類討論.2. 【答案】D；【解析】三個外角度數(shù)分別為36090，360135，135，所以三角形為等腰直角三角形.3. 【答案】B；4. 【答案】C；【解析】正確.5. 【答案】C； 【解析】ADDFBD，BBFD50，180505080.6. 【答案】C； 【解析】解：由題意可得，3cm作腰，6cm作底或12cm作底，則三邊分別為3cm，3cm，6cm，不能構(gòu)成三角形，3cm，3cm，12cm，不能構(gòu)成三角形；6cm作腰，3cm作底或12cm作底，則三邊分別為6cm，6cm，3cm，能構(gòu)成三角形，6cm，6cm，12cm，不能構(gòu)成三角形；12cm作腰，3cm或6cm作底，則三邊分別為1

14、2cm，12cm，3cm，能構(gòu)成三角形，12cm，12cm，6cm，能構(gòu)成三角形，故最多能組成3個等腰三角形，故選：C二.填空題7. 【答案】20； 【解析】AABD40，BDCC80，所以CBD20.8. 【答案】80； 【解析】設(shè)頂角為，則底角為30，所以3030180，80.9. 【答案】8； 【解析】DEDC，ACBCBE，ADE的周長ADDEAEACAEAB8.10.【答案】70或40o； 【解析】這個角可能是底角，也可能是頂角.11.【答案】10； 【解析】BOE和OCF為等腰三角形，BE=EO，OF=FC，OEF的周長等于BC.12.【答案】3； 【解析】解：BI、CI分別平分ABC、ACF，ABI=CBI，ECI=ICF，DEBC，DIB=CBI，EIC=ICF，ABI=DIB，ECI=EIC，DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，DE=DIEI=3cm三.解答題13.【解析】證明：EDBC；延長ED，交BC邊于H， ABAC，AEAD 設(shè)BC，則EAD2， ADE 即BDH90BBDH9090，BHD90，EDBC.14.【解析】解：設(shè)三角形的腰AB=AC=x若AB+AD=24cm，則：x+x=24x=16三角形的周長為24+30=54cm所以三邊長分別為16，16，22；若AB+