圓錐曲線的參數方程解答

1、圓錐曲線的參數方程解答橢圓的參數方程復習圓的參數方程1.圓心在原點,半徑為r的圓的參數方程:2.圓心為(a, b),半徑為r的圓的參數方程:3.橢圓的標準方程：它的參數方程是什么樣的？M如圖,以原點為圓心,分別以a, b(ab0)為半徑作兩個圓,點B是大圓半徑OA與小圓的交點,過點A作ANOx,垂足為N,過點B作BMAN,垂足為M,xOyANB設以Ox為始邊，OA為終邊的角為，點M的坐標是(x, y)。那么點A的橫坐標為x，點B的縱坐標為y。由于點A, B均在角的終邊上，由三角函數的定義有:yNMxON 這是中心在原點O,焦點在x軸上的橢圓的參數方程。 常數a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長

2、。 在橢圓的參數方程中，通常規(guī)定參數的范圍為|OA|cosacos，|OB|sinbsinOAMxyNB橢圓的標準方程:橢圓的參數方程中參數的幾何意義:xyO圓的標準方程:圓的參數方程: x2+y2=r2的幾何意義是AOP=PA橢圓的參數方程:是AOX=, 不是MOX=.稱為點M的離心角 小 結 橢圓的標準方程：橢圓的參數方程：離心角一般地： 在橢圓的參數方程中，常數a、 b分別是橢圓的長半軸長和短半 軸長. ab練習 把下列普通方程化為參數方程. (1)(2)(3)(4)把下列參數方程化為普通方程 練習 O是坐標原點，P是橢圓 上離心角為-/6所對應的點，那么直線OP的傾角的正切值是 . 解

3、：把代入橢圓參數方程可得P點坐標所以直線OP的傾角的正切值是: xyOM解：因為橢圓的參數方程為(為參數)，所以可設點M的坐標為由點到直線的距離公式，得到點M到直線的距離為 例1、如圖，在橢圓 上求一點M，使M到直線 l：x+2y-10=0的距離最小. 例1、如圖，在橢圓 上求一點M，(1)使M到直線 l ：x+2y-10=0的距離最小.yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例2、已知橢圓 有一內接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面積。雙曲線的參數方程ABBOyxM A以原點O為圓心, a, b(a0, b0)為半徑分別作同心圓C1,C2.設A為圓C1上任一點, 作直線OA,過A作圓C

4、1的切線AA與x交于點A,過圓C2與x軸的交點B作圓C2的切線BB與直線OA交于點B。過點A, B分別作y軸, x軸的平行線AM, BM交于點M,設OA與OX所成角為(0, 2),/2,3/2)求點M的軌跡方程, 并說出點M的軌跡。研究雙曲線的參數方程 ABBOyxM Abaoxy)MBA事實上(t 是參數, t 0)化為普通方程, 畫出方程的曲線.表示什么曲線?畫出圖形.練習:4不妨設M為雙曲線右支上一點，其坐標為 則直線MA的方程為 解得點A的橫坐標為 平行四邊形MAOB的面積為 由此可見，平行四邊形MAOB的面積恒為定值，與點M在雙曲線上的位置無關說明： 這里參數 叫做雙曲線的離心角與直

5、線OM的傾斜角不同. 雙曲線的參數方程可以由方程 與三角恒等式 相比較而得到，所以雙曲線的參數方程的實質是三角代換.例3 例4 求證：等軸雙曲線平行于實軸的弦在兩頂點所張的角均為直角。A2A1BAyxO證明：設雙曲線方程為取頂點A2(a, 0), 弦AB Ox，弦AB對A1張直角，同理對A2也張直角MOyxBA 例5 已知雙曲線， A，B是雙曲線同支上相異兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P ,求證：，解：設A，B坐標分別為則中點為M于是線段AB中垂線方程為將 代入上式,(A，B相異)， 例6 求證：等軸雙曲線上任意一點到兩漸近線的距離之積是常數。拋物線的參數方程MFOYXA前面曾經得到

6、以時刻 t 為參數的拋物線的參數方程:對于一般拋物線，怎樣建立參數方程呢？以拋物線的普通方程為例，其中p為焦點到準線的距離。 設M(x, y)為拋物線上除頂點外的任意一點，以射線OM為終邊的角記作 顯然，當在 內變化時，點M在拋物線上運動，并且對于的每一個值，在拋物線上都有唯一的點M與之對應，因此，可以取為參數來探求拋物線的參數方程. 因為點M在的終邊上，根據三角函數定義可得由方程 (為參數)這是拋物線(不包括頂點)的參數方程. 如果令則有（t為參數） (為參數) 當t=0時，上式表示的點正好就是拋物線的頂點(0,0),因此，當 時， （t為參數） 就表示整條拋物線參數 t 表示拋物線上除頂點

7、外的任意一點與原點連線的斜率的倒數C練習 例1 如圖，O為原點，A,B為拋物線 上異于頂點的兩動點，且OAOB，OMAB于M，求點M的軌跡方程當點A,B在何位置時,AOB面積最??？最小值是多少？ 練習 已知橢圓C1: 及拋物線C2: y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范圍。代入得 cos2+4cos +2m-1=0所以 t2+4t+2m-1=0 在-1, 1內有解； 3 已知A, B, C是拋物線 y2=2px(p0)上的三個點，且BC與x軸垂直，直線AB和AC分別與拋物線的軸交于D, E兩點，求證：拋物線的頂點平分DE.練習 4 經過拋物線y2=2px(p0)的頂點O任作兩條互相

8、垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數，求線段AB的中點M的參數方程。解：直線OA的方程為y=kx，直線OB的方程為由y2=2px和y=kx，得A點坐標為同理B點坐標(2pk2,-2pk) 5 已知橢圓 上任意一點M，(除短軸端點外)與短軸端點B1, B2的連線分別與x軸交于P, Q兩點，O為橢圓的中心，求證：|OP|OQ|為定值。 練習 對于一切實數，若 直線 與曲線 恒有公共點，則m的范圍是：A B C D直線恒過點當直線與曲線恒有公共點時，必滿足直線的參數方程請同學們回憶:我們學過的直線的普通方程都有哪些?兩點式:點斜式:一般式:溫故知新問題情景M0(x0，y0)M(x,y)解：

9、在直線上任取一點M(x，y)，則xOy探究思考| t | = | M0M |M0M所以，直線參數方程中參數t的絕對值等于直線上動點M到定點M0的距離.這就是 t 的幾何意義，要牢記xOy分析:3.點M是否在直線上1.用普通方程去解還是用參數方程去解；2.分別如何解.ABM(-1，2)xyO解：因為把點M的坐標代入直線方程后，符合直線方程，所以點M在直線上.M(-1，2)ABxOyM(-1，2)ABxOy探究思考BB5. 動點M作勻速直線運動，它在x軸和y軸方向的分速度分別是3cm/s和4cm/s，直角坐標系的長度單位是1cm，點M的起始位置在點M0(2，1)處，求點M的軌跡的參數方程.辨析:例: 動點M作等速直線運動，它在 x 軸和 y 軸方向分速度分別為 9，12，運動開始時，點 M 位于A(1，1)，求點 M 的軌跡的參數方程.請思考: 此時的t有沒有明確的幾何意義?沒有重要結論:直線的參數方程可以寫成這樣的形式:例3 當前臺風中心P在某海濱城市O向東300km處生成，并以40km/h的速度向