2.2離散型隨機(jī)變量及其分布課件

1、 為了描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的所有可能取值，而且還應(yīng)知道X 取每個(gè)值的概率.為此我們有以下定義： 如果隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)(即能與自然數(shù)的集合一一對(duì)應(yīng)），則稱該變量為離散型隨機(jī)變量。2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律第1頁，共29頁。1 定義 設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取值為 并且取各個(gè)值的對(duì)應(yīng)概率為 即 則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，又稱分布律。分布律也可以通過列表表示： 其中第一行表示隨機(jī)變量所有可能的取值，第二行表示這些取值所對(duì)應(yīng)的概率。 X P 第2頁，共29頁。2且則該數(shù)列可以定義為某離散型隨機(jī)變量的分布律。分布律的性質(zhì) 非負(fù)性 規(guī)范性反過

2、來，假如有一列數(shù) 滿足第3頁，共29頁。3 例1 如右圖所示，從中任取3個(gè)球。取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量。X可能取的值是0,1,2。取每個(gè)值的概率為0.1 0.6 0.3其分布律為第4頁，共29頁。4 例2 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù)分布列.解: 顯然，X 可能取的值是1,2, ， 于是設(shè) = 第 發(fā)命中， ，第5頁，共29頁。5類似地，有這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布列. 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.下一節(jié)，我們將介紹連續(xù)型隨機(jī)變量。稱 服從參數(shù)為 的幾何分布。第6頁，共29頁

3、。6例3 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。 解:m=1時(shí),m1時(shí),X的全部取值為:m,m+1,m+2,PX=m+1=P第m+1次試驗(yàn)時(shí)成功并且在前m次試驗(yàn)中成功了m-1次第7頁，共29頁。7(1) 0 1 分布X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1注 其分布律可寫成 常見的離散型隨機(jī)變量的分布 凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果，常用應(yīng)用場合0 1分布描述，如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗是否超標(biāo)等等.第8頁，共29頁。8(2) 二項(xiàng)分布n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試驗(yàn)中發(fā)

4、生的次數(shù) , P (A) = p ,若則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，記作01 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布第9頁，共29頁。9二項(xiàng)分布的取值情況設(shè).039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 0.273由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，分布取得最大值此時(shí)的 稱為最可能成功次數(shù)xP012345678第10頁，共29頁。10第11頁，共29頁。11設(shè).01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP135

5、79024681020由圖表可見 , 當(dāng) 時(shí)，分布取得最大值0.22 第12頁，共29頁。12第13頁，共29頁。13二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo)則稱 為最可能出現(xiàn)的次數(shù)第14頁，共29頁。14 當(dāng)( n + 1) p = 整數(shù)時(shí),在 k = ( n + 1) p與 ( n + 1) p 1 處的概率取得最大值對(duì)固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 對(duì)稱分布固定 p, 隨著 n 的增大，其取值的分布趨于對(duì)稱 當(dāng)( n + 1) p 整數(shù)時(shí), 在 k = ( n + 1) p 處的概率取得最大值第15頁，共29頁。15例4 獨(dú)立射擊5000次, 每次命中率為0.001,例4

6、解 (1) k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；(2) 命中次數(shù)不少于1 次的概率.第16頁，共29頁。16 (2) 令X 表示命中次數(shù),則 X B(5000,0.001) 小概率事件雖不易發(fā)生，但重 復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.第17頁，共29頁。17分析 這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大, 且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例5第18頁，共29頁。18解第19頁，共29頁。19圖示概率分布第20頁，共29頁。20(3) Poisson 分布第21頁，共29頁。21例

7、6 設(shè)某國每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布,且知一對(duì)夫婦有不超過1個(gè)孩子的概率為3e-2.求任選一對(duì)夫婦,至少有3個(gè)孩子的概率。解:由題意,第22頁，共29頁。22在某個(gè)時(shí)段內(nèi)：大賣場的顧客數(shù)；某地區(qū)撥錯(cuò)號(hào)的電話呼喚次數(shù)；市級(jí)醫(yī)院急診病人數(shù)；某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù).一個(gè)容器中的細(xì)菌數(shù)；一本書一頁中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；應(yīng)用場合放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；第23頁，共29頁。23 都可以看作是源源不斷出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流 , 若它們滿足一定的條件, 則稱為 Poisson 流, 在 長為 t 的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù) Xt P ( t ) 可見泊松分布的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的，而且由下面定理可以看到二項(xiàng)分布與泊松分布有著密切的聯(lián)系。 泊松定理 在二項(xiàng)分布 中，如果是常數(shù)），則成立第24頁，共29頁。24 例7 某種藥品的過敏反應(yīng)率為 ，今有20000人使用此藥品，求20000人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人數(shù)不超過3的概率。 解 以 表示20000人中發(fā)生過敏反應(yīng)的人數(shù)，則 服從二項(xiàng)分布 ，所求的概率為：第25頁，共29頁。25如果利用近似公式計(jì)算，可以得到： ，且比較兩個(gè)結(jié)果可以看到，近似程度是很高的。第26頁，共29頁。26例8 設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變量 X , 例7 設(shè)各個(gè)蟲卵是否