274諧波分析三角函數(shù)系的正交性課件

1、一、諧波分析 三角函數(shù)系的正交性 二、傅里葉級數(shù)三、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)四、函數(shù) f(x) 在 0 , 上展開為正 弦級數(shù)與余弦級數(shù)第六節(jié) 傅里葉(Fourier)級數(shù)第十二章 無窮級數(shù)第1頁，共36頁。一、諧波分析 三角函數(shù)系的正交性 由組成的函數(shù)序列叫做三角函數(shù)系， 三角函數(shù)系的正交性是指 : 如果從三角函數(shù)系中任取兩個(gè)不同的函數(shù)相乘，在區(qū)間 , 上的定積分， 其值都為零 .這實(shí)際上只需證明以下五個(gè)等式成立 :第2頁，共36頁。以上結(jié)果，這里就不證明了 .第3頁，共36頁。二、傅里葉級數(shù)如下形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱為三角級數(shù) .假定且可逐項(xiàng)積分 ，第4頁，共36頁。 注意到三角函數(shù)系的正交

2、性，即有于是有第5頁，共36頁。所以為了求出系數(shù) an ， 我們用 cos kx 乘級數(shù) ，然后在逐項(xiàng)積分第6頁，共36頁。由三角函數(shù)的正交性可知，等式右端各項(xiàng)中，當(dāng) k = n 時(shí)，有其余各項(xiàng)均為零 .因此第7頁，共36頁。用類似的方法，可得到 注意到在求系數(shù) an 的公式中，令 n = 0 就得到 a0 的表達(dá)式， 因此求系數(shù) an , bn 的公式可以歸并為 第8頁，共36頁。 由傅里葉系數(shù) 組成的三角級數(shù)稱為傅里葉級數(shù). an , bn 稱為傅里葉系數(shù). 第9頁，共36頁。收斂定理 (狄利克雷 (Dirichlet) 定理 )設(shè)函數(shù) f(x) 是周期為 2 的周期函數(shù) ， 如果它滿足條

3、件 : 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)， 并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)， 則 f(x) 的傅里葉級數(shù)收斂， 并且第10頁，共36頁。級數(shù)收斂于 (2) 當(dāng) x 是 f(x) 的間斷點(diǎn)時(shí)，級數(shù)收斂于 f(x) ;(1) 當(dāng) x 是 f(x) 的連續(xù)點(diǎn)時(shí)， 其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x 處的左極限，f(x+0) 表示 f(x) 在 x 處的右極限 .第11頁，共36頁。它在 , ) 上的表達(dá)式為試將函數(shù) f(x) 展開成傅里葉級數(shù) .設(shè)函數(shù) f(x) 是周期為 2 的周期函例 2數(shù) ，解 函數(shù) f(x) 的圖形如圖所示 ， f(x)xO2第12頁，共36頁。這是一個(gè)矩形波，它顯然

4、滿足收斂定理的條件 ，由式 (12.6.4)第13頁，共36頁。因?yàn)樵谟?jì)算 又第14頁，共36頁。根據(jù)收斂定理可知，當(dāng) x k (k = 0 , 1 , 2 ，) 時(shí)，傅里葉級數(shù)收斂于 f(x) ，即第15頁，共36頁。 所求傅里葉級數(shù)和函數(shù)的圖形如圖所示 .圖形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各點(diǎn)處與例 2 不同.當(dāng) x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 時(shí)，級數(shù)收斂于2 f(x)xO2第16頁，共36頁。例 3設(shè)函數(shù) f(x) 是周期為 2 的周期函數(shù) ，它在 , ) 上的表達(dá)式為試將其展開成傅里葉級數(shù). f(x)xO2 第17頁，共36頁。解計(jì)算傅里葉系數(shù)第1

5、8頁，共36頁。第19頁，共36頁。所求的傅里葉級數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處收斂于 f(x) ，即第20頁，共36頁。 級數(shù)收斂于 當(dāng) x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ) 時(shí)，當(dāng) x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 時(shí)，級數(shù)收斂于 0 .圖中給出了它的和函數(shù)的圖形. f(x)xO2 第21頁，共36頁。展開式中只含有正弦函數(shù)的傅里葉級數(shù)， 稱為正弦函數(shù)， 只含有余弦函數(shù)包括常數(shù)項(xiàng)的稱為余弦級數(shù).假設(shè)以 2 為周期的周期函數(shù) f(x) 在 , 內(nèi)是奇函數(shù)， 那么傅里葉級數(shù)一定是正弦級數(shù).即此時(shí)傅氏系數(shù)三、奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)第22頁，共36頁。于是在區(qū)間 ( )

6、 內(nèi) f(x)cosnx 為奇函數(shù) ，而奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零 ，所以又因 f(x)sinnx 在區(qū)間 () 內(nèi)是偶函數(shù) ，第23頁，共36頁。故有 同理可以推出，當(dāng)函數(shù) f(x) 是偶函數(shù)時(shí)， 其展開式為余弦級數(shù)，即此時(shí)傅里葉系數(shù)為第24頁，共36頁。 設(shè)周期函數(shù) f (x) 在其一個(gè)周期上的表達(dá)式例 4 試將其展開成傅里葉級數(shù) .解 函數(shù) f (x) 的圖形如圖所示 ，f(x)Ox第25頁，共36頁。 因此我們應(yīng)根據(jù)(12.6.6) 式計(jì)算傅里葉系數(shù).由圖形的對稱性可知 f(x) 是偶函數(shù)，第26頁，共36頁。即 故所求的傅里葉級數(shù)收斂于 f(x)，又因?yàn)?f(x) 處處連續(xù) ，第2

7、7頁，共36頁。 (x) 稱為f(x) 的周期延拓函數(shù). 且以 2 為周期的函數(shù)， 如果 (x) 滿足收斂定理的條件， 我們設(shè)想有一個(gè)函數(shù) (x)，設(shè)函數(shù) f(x) 定義在 0 , 上，它是定義在 ( ) 上而在 0 , 上， (x) = f(x). 那么 (x) 在 ( ) 上就可展開為傅里葉級數(shù)，取其 0 , 上一段，即為 f(x) 在 0 , 上的傅里葉級數(shù)，四、函數(shù) f(x) 在 0 , 上展開 為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)第28頁，共36頁。在理論上或?qū)嶋H工作中， 下面的周期延拓是最為常用:將 f(x) 先延拓到 ( , 0) ， 使延拓后的函數(shù)成為奇函數(shù) ， 然后再延拓為以 2 為周期的函數(shù) .這種延拓稱為周期奇延拓;yx322O周期奇延拓第29頁，共36頁。 這種延拓稱為周期偶延拓.將 f(x) 先延拓到( , 0)，使延拓后的函數(shù)為偶函數(shù)，然后再延拓為以 2 為周期的函數(shù)，周期偶延拓yx322O第30頁，共36頁。顯然，周期奇延拓的結(jié)果為正弦級數(shù)， 其傅里葉系數(shù)按公式 (12.6.5) 計(jì)算.即( 因在 0 , 上， (x) = f(x) ).周期偶延拓的結(jié)果為余弦級數(shù)， 其傅里葉系數(shù)公式為第31頁，共36頁。例 5試將解按式 (12.6.8) 計(jì)算傅里葉級數(shù)，第32頁，共36頁。