人教版數(shù)學(xué)九上22《正多邊形和圓》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)（含答案）

1、PAGE 正多邊形和圓知識(shí)講解（基礎(chǔ)） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性；2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫正多邊形；3.會(huì)進(jìn)行正多邊形的有關(guān)計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、正多邊形的概念各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形要點(diǎn)詮釋：判斷一個(gè)多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個(gè)條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).知識(shí)點(diǎn)二、正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，

2、就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓2.正多邊形的有關(guān)概念(1)一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距3.正多邊形的有關(guān)計(jì)算(1)正邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正邊形每個(gè)中心角的度數(shù)是；(3)正邊形每個(gè)外角的度數(shù)是.要點(diǎn)詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.知識(shí)點(diǎn)三、正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形.2.正邊形的半徑和邊心距把正邊形

3、分成2個(gè)全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心. 4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方5.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識(shí)點(diǎn)四、正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所

4、對的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.正四、八邊形。在O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對的弧(即作AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計(jì)算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以O(shè)的半徑為半徑畫弧與O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是O的6等分點(diǎn)。 顯然，A、E、F(或C、B、D)是O的3等分點(diǎn)。同樣，在圖(3)中平分每條邊所對

5、的弧，就可把O 12等分。要點(diǎn)詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).【典型例題】類型一、正多邊形的概念1已知：如圖，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，則BPC的度數(shù)是（）A45 B60 C75 D90 【答案】A.【解析】如圖，連接OB、OC，則BOC=90，根據(jù)圓周角定理，得：BPC=BOC=45故選A【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用舉一反三：【變式】如圖，O是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)P在O上，則APB等于（）A30 B45 C55 D60 【答案】連接OA，OB根據(jù)正方形的性質(zhì)，得AOB=90再根據(jù)圓周角

6、定理，得APB=45故選B【高清ID號(hào)：356969 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題1-2】2如圖1，PQR是O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形，BCQR，則AOQ=（）A60 B65 C72 D75 圖1 圖2【思路點(diǎn)撥】 連接OD，根據(jù)題意求出POQ和AOD的度數(shù)，利用平行關(guān)系求出AOP度數(shù)，即可求出AOQ的度數(shù)【答案】D.【解析】如圖2，連接OD，由題意可知POQ=120，AOD=90，由BCRQ可知P為弧AD的中點(diǎn)，所以AOP=45，所以AOQ=POQ-AOP=120-45=75故選D【點(diǎn)評】解決此類問題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線（如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等

7、），再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解類型二、正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算3（2015鞍山一模）如圖，點(diǎn)G，H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC，CD上的點(diǎn)，且BG=CH，AG交BH于點(diǎn)P（1）求證：ABGBCH；（2）求APH的度數(shù)【答案與解析】（1）證明：在正六邊形ABCDEF中，AB=BC，ABC=C=120，在ABG與BCH中，ABGBCH；（2）解：由（1）知：ABGBCH，BAG=HBC，BPG=ABG=120，APH=BPG=120【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素4（2015道里區(qū)二模）若同一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長分

8、別記作a3，a4，a6，則a3：a4：a6等于（）A.1：B1：2：3C3：2：1D：1【思路點(diǎn)撥】從中心向邊作垂線，構(gòu)建直角三角來解決【答案】D【解析】解：設(shè)圓的半徑是r，則多邊形的半徑是r，如圖1，則內(nèi)接正三角形的邊長a3=r，如圖2，內(nèi)接正方形的邊長是a4=r，如圖3，正六邊形的邊長是a6=r，因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比a3：a4：a6=：1故選D【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓，正多邊形的計(jì)算一般是通過中心作邊的垂線，連接半徑，構(gòu)造直角三角形來求解舉一反三：【高清ID號(hào)：356969 關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點(diǎn)名稱）：經(jīng)典例題5-6】【變式】如圖是對稱中心為點(diǎn)

9、的正六邊形如果用一個(gè)含角的直角三角板的角，借助點(diǎn)（使角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)處），把這個(gè)正六邊形的面積等分，那么的所有可能的值是_ _. 【答案】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知，只要把此正六邊形再化為正多邊形即可，即可知：36030=12；36060=6； 36090=4；360120=3；360180=2故么n的所有可能的值是2，3，4，6，12正多邊形和圓鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為120，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為( )A9 B8 C7 D62如圖所示，正六邊形螺帽的邊長是2cm，這個(gè)扳手的開口a的值應(yīng)是( ) A cm B cm Ccm D1 cm 第2題圖 第5題

10、圖3（2015廣州）已知圓的半徑是2，則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是（）A3B9C18D364正三角形、正方形、圓三者的周長都等于，它們的面積分別為S1，S2、S3，則( ) AS1S2S3 BS3S1S2 CS1S2S3 DS2S1S35中華人民共和國國旗上的五角星的畫法通常是先把圓五等分，然后連接五個(gè)等分點(diǎn)而得到的(如圖所示)五角星的每一個(gè)角的度數(shù)是( )A30 B35 C36 D37 第6題圖 第7題圖 第9題圖6如圖所示，是由5把相同的折扇組成的“蝶戀花”（如圖）和梅花圖案（如圖）（圖中的折扇無重疊），則梅花圖案中的五角星的五個(gè)銳角均為（ ）A36 B42 C45 D48二、填空題7如圖

11、所示，平面上兩個(gè)正方形與正五邊形都有一條公共邊，則等于_8要用圓形鐵片裁出邊長為4的正方形鐵片，則選用的圓形鐵片的直徑最小是_9如圖所示，等邊ABC內(nèi)接于O，AB10cm，則O的半徑是_10.（2015鐵嶺）如圖，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，則BAO的度數(shù)為11正六邊形的半徑是5cm，則邊長_，周長_ ，邊心距_，面積_ 12. 正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為 .三、解答題13如圖所示，正ABC的外接圓的圓心為O，半徑為2，求ABC的邊長a，周長P，邊心距r，面積S14. 如圖所示，半徑為R的圓繞周長為10R的正六邊形外邊作無滑動(dòng)滾轉(zhuǎn)，繞完正六邊形后，圓一共轉(zhuǎn)了多少圈？ 一位同

12、學(xué)的解答過程：圓的周長為2R，所以它繞完正六邊形后一共轉(zhuǎn)了圈，結(jié)果一共轉(zhuǎn)了5圈你認(rèn)為這位同學(xué)的解答有無錯(cuò)誤？如有錯(cuò)誤，請更正15（2014秋吳江市校級(jí)期中）如圖，已知等邊ABC內(nèi)接于O，BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD=5cm，求O的半徑R【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D；【解析】可求每個(gè)外角為60， 360606或 n6 2.【答案】A；【解析】較長對角線與較短對角線及一邊長構(gòu)成一直角三角形，用勾股定理求解3.【答案】C；【解析】連接正六邊形的中心與各個(gè)頂點(diǎn)，得到六個(gè)等邊三角形，等邊三角形的邊長是2，高為3，因而等邊三角形的面積是3，正六邊形的面積=18，故選C 4.【答案】C；【解析

13、】當(dāng)周長一定時(shí)，邊數(shù)越多的正多邊形其面積越大，當(dāng)它成為圓時(shí)面積最大5.【答案】C；【解析】五角星的每一個(gè)角所對的弧為圓的， 弧的度數(shù)為72，因而每個(gè)角的度數(shù)為36，故選C6.【答案】D.【解析】如圖所示，正五邊形ABCDE的中心角為72，各內(nèi)角為108，故五角星五個(gè)銳角均為48 二、填空題7【答案】72； 【解析】3609090108728【答案】；【解析】如圖所示，ABC為等腰Rt，9【答案】cm；【解析】過O作ODBC于D，連接OB，在RtBOD中，BDBC5(cm)BOD， BO(cm)10【答案】54；【解析】連接OB，則OB=OA，BAO=ABO，點(diǎn)O是正五邊形ABCDE的中心，AOB=72，BAO=（18072）=54；故答案為：5411【答案】5cm，30cm，cm，；12【答案】2： 【解析】設(shè)正六邊形的半徑是r，則外接圓的半徑r，內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是，因而正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為2：三、解答題13.【答案與解析】 作ADBC于D A