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1、PAGE 正多邊形和圓知識講解(基礎(chǔ)) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念及對稱性;2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系,會應(yīng)用正多邊形和圓的有關(guān)知識畫正多邊形;3.會進行正多邊形的有關(guān)計算.【要點梳理】知識點一、正多邊形的概念各邊相等,各角也相等的多邊形是正多邊形要點詮釋:判斷一個多邊形是否是正多邊形,必須滿足兩個條件:(1)各邊相等;(2)各角相等;缺一不可.如菱形的各邊都相等,矩形的各角都相等,但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).知識點二、正多邊形的重要元素1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓的關(guān)系十分密切,只要把一個圓分成相等的一些弧,
2、就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形,這個圓就是這個正多邊形的外接圓2.正多邊形的有關(guān)概念(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距3.正多邊形的有關(guān)計算(1)正邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是;(2)正邊形每個中心角的度數(shù)是;(3)正邊形每個外角的度數(shù)是.要點詮釋:要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形,將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.知識點三、正多邊形的性質(zhì)1.正多邊形都只有一個外接圓,圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.2.正邊形的半徑和邊心距把正邊形
3、分成2個全等的直角三角形.3.正多邊形都是軸對稱圖形,對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同,每條對稱軸都通過正n邊形的中心;當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時,它也是中心對稱圖形,它的中心就是對稱中心. 4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比,邊心距的比,半徑的比都等于相似比,面積的比等于相似比的平方5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓,這兩個圓是同心圓要點詮釋:(1)各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形;(2)各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點四、正多邊形的畫法1.用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等,因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓;根據(jù)同圓中相等弧所
4、對的弦相等,依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.2.用尺規(guī)等分圓對于一些特殊的正邊形,可以用圓規(guī)和直尺作圖.正四、八邊形。在O中,用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份,從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對的弧(即作AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等,邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。正六、三、十二邊形的作法。通過簡單計算可知,正六邊形的邊長與其半徑相等,所以,在O中,任畫一條直徑AB,分別以A、B為圓心,以O(shè)的半徑為半徑畫弧與O相交于C、D和E、F,則A、C、E、B、F、D是O的6等分點。 顯然,A、E、F(或C、B、D)是O的3等分點。同樣,在圖(3)中平分每條邊所對
5、的弧,就可把O 12等分。要點詮釋:畫正n邊形的方法:(1)將一個圓n等份,(2)順次連結(jié)各等分點.【典型例題】類型一、正多邊形的概念1已知:如圖,四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形,點P是劣弧上不同于點C的任意一點,則BPC的度數(shù)是()A45 B60 C75 D90 【答案】A.【解析】如圖,連接OB、OC,則BOC=90,根據(jù)圓周角定理,得:BPC=BOC=45故選A【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓周角定理的應(yīng)用舉一反三:【變式】如圖,O是正方形ABCD的外接圓,點P在O上,則APB等于()A30 B45 C55 D60 【答案】連接OA,OB根據(jù)正方形的性質(zhì),得AOB=90再根據(jù)圓周角
6、定理,得APB=45故選B【高清ID號:356969 關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點名稱):經(jīng)典例題1-2】2如圖1,PQR是O的內(nèi)接正三角形,四邊形ABCD是O的內(nèi)接正方形,BCQR,則AOQ=()A60 B65 C72 D75 圖1 圖2【思路點撥】 連接OD,根據(jù)題意求出POQ和AOD的度數(shù),利用平行關(guān)系求出AOP度數(shù),即可求出AOQ的度數(shù)【答案】D.【解析】如圖2,連接OD,由題意可知POQ=120,AOD=90,由BCRQ可知P為弧AD的中點,所以AOP=45,所以AOQ=POQ-AOP=120-45=75故選D【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是作出恰當(dāng)?shù)妮o助線(如正多邊形的半徑、邊心距、中心角等
7、),再利用正多邊形與圓有關(guān)性質(zhì)求解類型二、正多邊形和圓的有關(guān)計算3(2015鞍山一模)如圖,點G,H分別是正六邊形ABCDEF的邊BC,CD上的點,且BG=CH,AG交BH于點P(1)求證:ABGBCH;(2)求APH的度數(shù)【答案與解析】(1)證明:在正六邊形ABCDEF中,AB=BC,ABC=C=120,在ABG與BCH中,ABGBCH;(2)解:由(1)知:ABGBCH,BAG=HBC,BPG=ABG=120,APH=BPG=120【點評】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及相關(guān)計算,解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素4(2015道里區(qū)二模)若同一個圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長分
8、別記作a3,a4,a6,則a3:a4:a6等于()A.1:B1:2:3C3:2:1D:1【思路點撥】從中心向邊作垂線,構(gòu)建直角三角來解決【答案】D【解析】解:設(shè)圓的半徑是r,則多邊形的半徑是r,如圖1,則內(nèi)接正三角形的邊長a3=r,如圖2,內(nèi)接正方形的邊長是a4=r,如圖3,正六邊形的邊長是a6=r,因而半徑相等的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長之比a3:a4:a6=:1故選D【點評】本題考查了正多邊形和圓,正多邊形的計算一般是通過中心作邊的垂線,連接半徑,構(gòu)造直角三角形來求解舉一反三:【高清ID號:356969 關(guān)聯(lián)的位置名稱(播放點名稱):經(jīng)典例題5-6】【變式】如圖是對稱中心為點
9、的正六邊形如果用一個含角的直角三角板的角,借助點(使角的頂點落在點處),把這個正六邊形的面積等分,那么的所有可能的值是_ _. 【答案】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可知,只要把此正六邊形再化為正多邊形即可,即可知:36030=12;36060=6; 36090=4;360120=3;360180=2故么n的所有可能的值是2,3,4,6,12正多邊形和圓鞏固練習(xí)(基礎(chǔ))【鞏固練習(xí)】一、選擇題1一個正多邊形的一個內(nèi)角為120,則這個正多邊形的邊數(shù)為( )A9 B8 C7 D62如圖所示,正六邊形螺帽的邊長是2cm,這個扳手的開口a的值應(yīng)是( ) A cm B cm Ccm D1 cm 第2題圖 第5題
10、圖3(2015廣州)已知圓的半徑是2,則該圓的內(nèi)接正六邊形的面積是()A3B9C18D364正三角形、正方形、圓三者的周長都等于,它們的面積分別為S1,S2、S3,則( ) AS1S2S3 BS3S1S2 CS1S2S3 DS2S1S35中華人民共和國國旗上的五角星的畫法通常是先把圓五等分,然后連接五個等分點而得到的(如圖所示)五角星的每一個角的度數(shù)是( )A30 B35 C36 D37 第6題圖 第7題圖 第9題圖6如圖所示,是由5把相同的折扇組成的“蝶戀花”(如圖)和梅花圖案(如圖)(圖中的折扇無重疊),則梅花圖案中的五角星的五個銳角均為( )A36 B42 C45 D48二、填空題7如圖
11、所示,平面上兩個正方形與正五邊形都有一條公共邊,則等于_8要用圓形鐵片裁出邊長為4的正方形鐵片,則選用的圓形鐵片的直徑最小是_9如圖所示,等邊ABC內(nèi)接于O,AB10cm,則O的半徑是_10.(2015鐵嶺)如圖,點O是正五邊形ABCDE的中心,則BAO的度數(shù)為11正六邊形的半徑是5cm,則邊長_,周長_ ,邊心距_,面積_ 12. 正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為 .三、解答題13如圖所示,正ABC的外接圓的圓心為O,半徑為2,求ABC的邊長a,周長P,邊心距r,面積S14. 如圖所示,半徑為R的圓繞周長為10R的正六邊形外邊作無滑動滾轉(zhuǎn),繞完正六邊形后,圓一共轉(zhuǎn)了多少圈? 一位同
12、學(xué)的解答過程:圓的周長為2R,所以它繞完正六邊形后一共轉(zhuǎn)了圈,結(jié)果一共轉(zhuǎn)了5圈你認(rèn)為這位同學(xué)的解答有無錯誤?如有錯誤,請更正15(2014秋吳江市校級期中)如圖,已知等邊ABC內(nèi)接于O,BD為內(nèi)接正十二邊形的一邊,CD=5cm,求O的半徑R【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D;【解析】可求每個外角為60, 360606或 n6 2.【答案】A;【解析】較長對角線與較短對角線及一邊長構(gòu)成一直角三角形,用勾股定理求解3.【答案】C;【解析】連接正六邊形的中心與各個頂點,得到六個等邊三角形,等邊三角形的邊長是2,高為3,因而等邊三角形的面積是3,正六邊形的面積=18,故選C 4.【答案】C;【解析
13、】當(dāng)周長一定時,邊數(shù)越多的正多邊形其面積越大,當(dāng)它成為圓時面積最大5.【答案】C;【解析】五角星的每一個角所對的弧為圓的, 弧的度數(shù)為72,因而每個角的度數(shù)為36,故選C6.【答案】D.【解析】如圖所示,正五邊形ABCDE的中心角為72,各內(nèi)角為108,故五角星五個銳角均為48 二、填空題7【答案】72; 【解析】3609090108728【答案】;【解析】如圖所示,ABC為等腰Rt,9【答案】cm;【解析】過O作ODBC于D,連接OB,在RtBOD中,BDBC5(cm)BOD, BO(cm)10【答案】54;【解析】連接OB,則OB=OA,BAO=ABO,點O是正五邊形ABCDE的中心,AOB=72,BAO=(18072)=54;故答案為:5411【答案】5cm,30cm,cm,;12【答案】2: 【解析】設(shè)正六邊形的半徑是r,則外接圓的半徑r,內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距,因而是,因而正六邊形的外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑之比為2:三、解答題13.【答案與解析】 作ADBC于D A
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