大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)第4章概率基礎(chǔ)課件

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)導(dǎo)論xxx 主講第1頁，共88頁。第四章 概率基礎(chǔ)第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件 第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計(jì)算 第三節(jié) 隨機(jī)變量及其分布 第四節(jié) 幾種常用的概率分布2第2頁，共88頁。第一節(jié) 隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 二、隨機(jī)事件 3第3頁，共88頁。一、確定性現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象 確定性現(xiàn)象在一定條件下必然出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）某種結(jié)果的現(xiàn)象 。隨機(jī)現(xiàn)象在給定的條件下不能確切預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象 。4第4頁，共88頁。二、隨機(jī)事件 對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測又稱作隨機(jī)試驗(yàn)。隨機(jī)試驗(yàn)的每一種結(jié)果或隨機(jī)現(xiàn)象的每一種表現(xiàn)稱作隨機(jī)事件，簡稱為事件，一般用大寫字母A,B,C,（必要時(shí)加下標(biāo)）來表示。有時(shí)，也

2、可用大括號表示事件，括號中寫明事件的內(nèi)容。5第5頁，共88頁。（一）事件的種類 一個(gè)事件如果不能再被分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上事件，稱作基本事件?；臼录窃囼?yàn)的最基本結(jié)果：每次試驗(yàn)必出現(xiàn)一個(gè)基本事件，任何兩個(gè)基本事件都不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)。 由兩個(gè)或兩個(gè)以上基本事件所組成的事件稱作復(fù)合事件。 一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的所有基本事件的集合，稱作該隨機(jī)試驗(yàn)的基本事件空間。必然事件是每次試驗(yàn)都一定出現(xiàn)的事件，記作。任何一次試驗(yàn)都不可能出現(xiàn)的事件稱為不可能事件，記作。6第6頁，共88頁。（二）事件的關(guān)系和運(yùn)算 事件的關(guān)系有：包含和相等；事件的運(yùn)算有：和（并），差，交（積），逆。（1）包含：關(guān)系式 表示“若A出現(xiàn)，則B也出現(xiàn)（

3、反之則未必）”，稱作“B包含A”，或“A導(dǎo)致B”。 7第7頁，共88頁。（2）相等：關(guān)系式A=B表示二事件A和B要么都出現(xiàn)，要么都不出現(xiàn)，稱作“事件A等于事件B”或“事件A和B等價(jià)”。 （3）和（并）：運(yùn)算式A+B或AB讀作“A加B”，稱作“A與B的和（并）”，表示“A和B至少出現(xiàn)一個(gè)”。對于多個(gè)事件 , 或 表示“諸事件中至少出現(xiàn)一個(gè)”。 8第8頁，共88頁。（4）差：運(yùn)算式 AB或AB讀作“A減B”，稱作“A與B的差”，表示“事件A出現(xiàn)但B不出現(xiàn)?！保?）交（積）：運(yùn)算式AB或AB，稱作“A與B的交（或積）”，表示“事件A和B同時(shí)出現(xiàn)”。對于多個(gè)事件 表示“諸事件 同時(shí)出現(xiàn)”。 （6）逆事

4、件： =A不出現(xiàn)，稱作A的對立事件或逆事件。顯然A和 互為對立事件，它們之間有下列關(guān)系：，A =。（7）不相容：若AB=，即A與B不可能同時(shí)出現(xiàn)，則稱A和B不相容。9第9頁，共88頁。第二節(jié) 概率的性質(zhì)及其計(jì)算一、概率的概念二、隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系三、概率的性質(zhì)四、概率的估計(jì)和計(jì)算10第10頁，共88頁。一、概率的概念 對于一個(gè)隨機(jī)事件來說，它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。既然有可能性，就有可能性大小問題。事件A在隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性大小的數(shù)值度量，稱作概率。事件A的概率以P（A）表示。11第11頁，共88頁。二、隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行同一隨機(jī)試驗(yàn)，A是這

5、個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果（事件）。設(shè)試驗(yàn)的次數(shù)為n，在n次重復(fù)試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)為nA，則事件A的頻率為通過大量觀測，可以發(fā)現(xiàn)：隨機(jī)試驗(yàn)的頻率具有隨試驗(yàn)次數(shù)增加而趨向穩(wěn)定的性質(zhì)，而頻率的穩(wěn)定值可以用來反映事件發(fā)生的可能性大小。因此，可以說頻率的穩(wěn)定值p是事件A發(fā)生的概率。即P(A)=p12第12頁，共88頁。三、概率的性質(zhì)設(shè)事件A的概率記作P（A），則它應(yīng)該具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：非負(fù)性，即0P(A)1性質(zhì)2：規(guī)范性，即，對于必然事件，有 P()=1性質(zhì)3：對于隨機(jī)事件Ai(i=1，2，)，只要它 們兩兩互不相容，則有13第13頁，共88頁。四、概率的估計(jì)和計(jì)算（一）概率的直接計(jì)算 1.古典型概率 如果

6、一項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)的全部基本事件總數(shù)有限，并且各基本事件出現(xiàn)的可能性都相同，事件A由若干基本事件所組成，則A的概率可用下式計(jì)算14第14頁，共88頁?！纠?-1】 袋中盛有除顏色外其他完全相同的50個(gè)不同顏色的小球，其中有10個(gè)白球。充分混勻后隨意摸出一球。求所摸為白球的概率。 解：記A = 抽到白球。該試驗(yàn)總共有50個(gè)等可能的基本事件，A包含其中的10個(gè)。因此 15第15頁，共88頁。2.幾何型概率 如果隨機(jī)試驗(yàn)可模擬區(qū)域上隨機(jī)投點(diǎn)。并且（1）這個(gè)區(qū)域有明確界限，可以作長度、面積、體積的幾何度量。（2）隨機(jī)點(diǎn)落在這個(gè)區(qū)域任何一點(diǎn)上的可能性都相同，也就是說，對于中的某一區(qū)域g，隨機(jī)點(diǎn)落在g內(nèi)的概率與

7、g的幾何度量成正比，同它的形狀以及在中的位置無關(guān)。16第16頁，共88頁。對于這種隨機(jī)試驗(yàn)，如果以A表示隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域g中這一事件，則其概率可用下式計(jì)算17第17頁，共88頁?！纠?-2】 某農(nóng)場有耕地500畝，其中1號地塊面積為8畝。向500畝耕地隨機(jī)投點(diǎn)，隨機(jī)點(diǎn)落在500畝耕地每一位置的可能性相等。求1號地塊被抽中的概率。 18第18頁，共88頁。 解：隨機(jī)點(diǎn)落在1號地塊內(nèi)的概率與地塊的面積成正比。1號地塊的幾何度量為8畝，整個(gè)區(qū)域幾何度量為500畝。記A=隨機(jī)點(diǎn)落在1號地塊=1號地塊被抽中，則19第19頁，共88頁。（二）用頻率估計(jì)概率 在最一般情況下，用事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率估

8、計(jì)其概率的值。這樣做的依據(jù)是概率的穩(wěn)定性。就這一點(diǎn)前面已經(jīng)有所敘述。20第20頁，共88頁。（三）主觀概率 根據(jù)決策者綜合各種信息，并依靠其經(jīng)驗(yàn)和判斷力對事件的概率做出估計(jì)，這種概率的估計(jì)值被稱為主觀概率。主觀概率不假定現(xiàn)象的可重復(fù)性，甚至可以根據(jù)一次性試驗(yàn)做出判斷。例如，請資深體育評論員對即將參賽的兩支足球隊(duì)的勝、負(fù)可能性進(jìn)行估計(jì)。在對事件出現(xiàn)的真實(shí)可能性缺乏有效估計(jì)時(shí)，主觀概率法也可作為解決問題的一種方法。不過，目前對主觀概率法的應(yīng)用理論界尚存在爭議。21第21頁，共88頁。（四）概率的計(jì)算 1.概率的加法法則 （1）任意事件的加法規(guī)則 任意兩個(gè)事件和（并）的概率，等于兩事件概率的和再減去

9、兩事件同時(shí)發(fā)生的概率。即 22第22頁，共88頁。（2）不相容事件的加法規(guī)則 兩個(gè)不相容事件與的和(并)的概率，等于兩事件概率的和。即 對多個(gè)事件，這個(gè)規(guī)則也就是前面說過的概率的性質(zhì)3。 23第23頁，共88頁。2.條件概率和乘法公式 在實(shí)際問題中，除了要知道事件發(fā)生概率外，有時(shí)還需要知道在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率，這種概率稱為條件概率，記作 。24第24頁，共88頁。條件概率的下列一般定義：設(shè)，A,B是任意兩個(gè)事件，且P(B)0，則稱 為“在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率”，簡稱“A關(guān)于B的條件概率”。由這個(gè)定義，可得到概率的乘法公式：設(shè)A與是B任意兩個(gè)事件，且P

10、(A)0，P(B)0，則 25第25頁，共88頁?！纠?-4】 設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，不放回地抽取兩件，求事件第一件抽到的是正品，而第二件抽到的是次品的概率。 解：記A=第一件是正品，B=第二件是次品，所求事件為AB。根據(jù)乘法公式，有 26第26頁，共88頁。3.全概率公式 全概率公式可表述如下： 設(shè) 為個(gè)互不相容事件，且 ,則任一事件的概 率為27第27頁，共88頁。28第28頁，共88頁。29第29頁，共88頁。4.貝葉斯公式30第30頁，共88頁。31第31頁，共88頁。5.事件的獨(dú)立性 對于兩個(gè)事件A和B，假若事件B的發(fā)生會(huì)對事件A發(fā)生的概率產(chǎn)生影響，即 ，稱事件A與B之間

11、統(tǒng)計(jì)相依。假若事件B的發(fā)生并不影響事件A發(fā)生的概率，稱事件A與B之間統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。在A與B獨(dú)立時(shí)顯然有 ，這時(shí)，乘法公式式（4.9）成為32第32頁，共88頁。 通常把這個(gè)關(guān)系式作為事件獨(dú)立性的定義。即設(shè)A與B是任意兩個(gè)事件，如果滿足 則稱事件A與B獨(dú)立，否則稱A與B相依。 在實(shí)際應(yīng)用中，如果兩個(gè)事件相互間沒有影響，則可以認(rèn)為這兩個(gè)事件相互獨(dú)立。 33第33頁，共88頁。34第34頁，共88頁。 應(yīng)該指出，兩個(gè)事件相互獨(dú)立與互不相容是兩個(gè)不同的概念。獨(dú)立性是指兩個(gè)事件的發(fā)生互不影響，互不相容是指兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生。兩個(gè)不相容事件一定是統(tǒng)計(jì)相依的，兩個(gè)獨(dú)立事件一定是相容的（除非其中有一個(gè)事件的概率

12、為0）。 35第35頁，共88頁。36第36頁，共88頁?！纠?-8】 對同一目標(biāo)進(jìn)行3次射擊，第一、二、三次射擊的命中概率分別是0.3、0.4、0.6，試求在這三次射擊中恰有一次命中的概率。解：記 ， （i=1，2，3），于是可以寫出：37第37頁，共88頁。顯然，這三個(gè)事件是兩兩不相容的。而 是這三個(gè)事件的和。根據(jù)不相容事件的加法法則，有由于三次射擊是彼此獨(dú)立的，即相互獨(dú)立，故有 38第38頁，共88頁。39第39頁，共88頁。第三節(jié) 隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的概念二、隨機(jī)變量的概率分布三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征40第40頁，共88頁。一、隨機(jī)變量的概念（一）什么是隨機(jī)變量 隨機(jī)變量就是其

13、取值帶有隨機(jī)性的變量。在給定的條件下，這種變量取何值事先不能確定，只能由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來定，并且隨試驗(yàn)的結(jié)果而變。41第41頁，共88頁。（二）隨機(jī)變量的種類 如果隨機(jī)變量的全體可能取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱作離散型隨機(jī)變量（如擲一枚硬幣首次出現(xiàn)正面向上所需要的投擲次數(shù)）； 如果隨機(jī)變量的全體可能取值不能一一列舉，其可能的取值在數(shù)軸上是連續(xù)的，則該變量稱為連續(xù)型隨機(jī)變量（如可能出現(xiàn)的測量誤差）。42第42頁，共88頁。二、隨機(jī)變量的概率分布（一）概率分布的概念 隨機(jī)變量的一切可能值的集合（值域），及其相應(yīng)的概率叫做隨機(jī)變量的概率分布。隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可由它的概率分布來表征。43第

14、43頁，共88頁。 1.離散型隨機(jī)變量的分布【例4-9】 歷史上曾有不少人作過反復(fù)投擲均勻硬幣的試驗(yàn)。現(xiàn)在定義這樣一個(gè)隨機(jī)變量： 表4-1 投擲硬幣試驗(yàn)結(jié)果的頻率分布試驗(yàn)結(jié)果X試驗(yàn)者：蒲 豐試驗(yàn)者：皮爾遜試驗(yàn)者：皮爾遜頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率頻數(shù)頻率1（正面）0（反面）204819920.50690.4931601959810.50160.498412012119980.50050.4995合 計(jì)40401.0000120001.0000240001.000044第44頁，共88頁。 綜上所述，離散型隨機(jī)變量X的每一個(gè)可能的取值xi和隨機(jī)變量取該值的概率p（xi）之間所確立的對應(yīng)關(guān)系稱作這個(gè)離散型隨機(jī)

15、變量的分布。P（xi）（i=1，2，3，）稱作隨機(jī)變量X的概率分布或概率函數(shù)，它滿足下面的關(guān)系：p（xi）0和 。45第45頁，共88頁。 【例4-10】 袋中共有50個(gè)球，其中記上0號的5個(gè)，記上k號的分別有k個(gè)（ k = 1，2，9）?，F(xiàn)從袋中任取一球。試做出所得號數(shù)的分布列。 解：記所取之球的號數(shù)為隨機(jī)變量X，由古典概率的計(jì)算方法可知：P(x=0)=5 / 50，P(x = k) = k / 50 ( k = 1，2，9)。于是，可做出分布列（見表4-3）。 表4-3 離散型隨機(jī)變量分布數(shù)列X = xi0123456789P(xi)0.100.020.040.060.080.100.12

16、0.140.160.1846第46頁，共88頁。2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 【例4-11】檢查了在相同條件下生產(chǎn)的246件汽車活塞，測得所切削之活塞孔對中心線的偏差數(shù)據(jù)。因偏差尺寸屬于連續(xù)型變量，對這類變量觀測數(shù)據(jù)的整理應(yīng)當(dāng)采用組距式分組。把整理結(jié)果做成頻率分布表（見表4-4）和次數(shù)分布直方圖（見圖4-1）。 47第47頁，共88頁。表4-4汽車活塞削孔對中心線偏差的頻率分布偏差尺寸分組（毫米）X = x頻數(shù)（件）頻率頻率密度453535252515155 55 515 1525 2535 3545 218355450442712 40.00810.07320.14230.21950.2032

17、0.17890.10970.04880.01630.000810.007320.014230.021950.020320.017890.010970.004880.00163合 計(jì)2461.000048第48頁，共88頁。偏差尺寸（毫米）圖4-1 活塞削孔對中心線的偏差的頻率分布49第49頁，共88頁。 綜上所述，連續(xù)型隨機(jī)變量X的一系列取值區(qū)間（例如，可以是由與實(shí)數(shù)軸上的任意點(diǎn)所構(gòu)成的一系列區(qū)間）和隨機(jī)變量在該區(qū)間取值的概率之間確立的對應(yīng)關(guān)系，稱作這個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布。 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布可以用密度函數(shù)來描述，隨機(jī)變量的密度函數(shù)記作 。 50第50頁，共88頁。 次數(shù)分布直方圖是用各組

18、的頻率密度作直條的高來畫圖的。當(dāng)分組數(shù)無窮多，而組距（即直條的底邊長）趨近于0時(shí)，直方圖演變成平滑的曲線(如圖4-1)，這時(shí)，直條的高就成 為 。 連續(xù)型隨機(jī)變量在某一數(shù)值區(qū)間內(nèi)取值的概率等于豎立在該區(qū)間上的，以密度曲線為上底的曲邊梯形的面積。寫作51第51頁，共88頁。密度函數(shù)滿足下面兩個(gè)基本性質(zhì)：（1）密度函數(shù)的函數(shù)值不會(huì)是負(fù)數(shù)，從圖形看，密度曲線在橫軸上方，以橫軸為漸近線；（2）在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上的密度函數(shù)值的和等于1，從圖形看，密度曲線下覆蓋的總面積等于1。這兩個(gè)性質(zhì)用密度函數(shù)式寫作52第52頁，共88頁。三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是X的一切可能值

19、以相應(yīng)的概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。今后我們把X的數(shù)學(xué)期望記作E(X)。53第53頁，共88頁。若X是離散型隨機(jī)變量， E(X)=若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為p(x)，則X的數(shù)學(xué)期望定義為 式中的定積分應(yīng)絕對收斂。54第54頁，共88頁。 數(shù)學(xué)期望有下列性質(zhì)：性質(zhì) 1 E（c）=c 性質(zhì) 2 E（X+c）=E（X）+c 性質(zhì) 3 E（cX）= cE（X） 55第55頁，共88頁。 性質(zhì) 4 E（XY）=E（X）E（Y） 推廣性質(zhì)5 若X與Y獨(dú)立，E(XY)=E（X）E（Y） 推廣 若X1,，Xn獨(dú)立，有 E（X1X2Xn）=E（X1）（X2）E（Xn）56第56頁，共88頁。（二）隨機(jī)

20、變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù) 1.方差和標(biāo)準(zhǔn)差 隨機(jī)變量X的方差，記作V(X)，是X與其數(shù)學(xué)期望的離差平方的數(shù)學(xué)期望。即V(X)=EX E( X )2 稱 為X的標(biāo)準(zhǔn)差。 方差還可以有下列表達(dá)式 V(X)=E(X2)E( X )2 57第57頁，共88頁。若X是離散型隨機(jī)變量，其分布如表4-5所示，則X的方差用下式計(jì)算。 V( X ) =若是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，則的方差用下式計(jì)算。58第58頁，共88頁。方差有下列性質(zhì)： 性質(zhì) 1 V（c）= 0 性質(zhì) 2 V（X+c）= V（X） 性質(zhì) 3 V（cX）= c2V（X） 性質(zhì) 4 若X與Y獨(dú)立，有 若X1，Xn獨(dú)立，有 性質(zhì) 5

21、若X與Y獨(dú)立，有 59第59頁，共88頁。2.變異系數(shù)隨機(jī)變量的變異系數(shù)是隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差與數(shù)學(xué)期望的比率。隨機(jī)變量X的變異系數(shù)寫作 (X)= 60第60頁，共88頁。第四節(jié) 幾種常用的概率分布一、兩點(diǎn)分布二、二項(xiàng)分布三、超幾何分布四、正態(tài)分布五、 分布六、F分布七、t分布61第61頁，共88頁。一、兩點(diǎn)分布如果隨機(jī)變量X只取1和0兩個(gè)值，取1的概率是，取0的概率是1-，我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0-1分布，是X的參數(shù)。兩點(diǎn)分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：E(X)= ； 方差：V(X) = ( 1)62第62頁，共88頁。【例4-12】 已知在20件產(chǎn)品中有5件是二等品?，F(xiàn)在從中任意抽取1件（每件

22、產(chǎn)品都有相等的可能性被抽到），寫出抽取結(jié)果（是二等品、不是二等品）的分布列。 解：用隨機(jī)變量X表示抽取結(jié)果。若結(jié)果是二等品，記X = 1；若結(jié)果不是二等品，記X = 0。分布列如表4-6。表4-6兩點(diǎn)分布的分布列X = x10P(X = x)0.250.7563第63頁，共88頁。二、二項(xiàng)分布如果把一個(gè)貝努里試驗(yàn)在完全相同的條件下獨(dú)立地重復(fù)n次，稱作n重貝努里試驗(yàn)。n重貝努里試驗(yàn)應(yīng)符合下列三個(gè)條件： （1）每次試驗(yàn)只有“成功”和 “失敗”兩種對立的結(jié)局； （2）各次試驗(yàn)“成功”的概率相同（都為）； （3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。64第64頁，共88頁。以隨機(jī)變量X表示n重貝努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)，

23、它服從參數(shù)為（n，）的二項(xiàng)分布。二項(xiàng)分布的概率函數(shù)為 （k=0，1，n） 其中，k是n重貝努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)。二項(xiàng)分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：E(X)= n ； 方差： V（X）= n( 1)65第65頁，共88頁?！纠?-13】 例4-12中，如果以還原方式抽取4次（即每次抽取后，把所抽取的產(chǎn)品放回），寫出抽到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機(jī)變量X表示經(jīng)過4次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列如表4-7。 表4-7二項(xiàng)分布的分布列 表中，X取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用式（4.35）算出的，其中，n = 4， = 5 / 20 = 0.25， k

24、= 0，1，2，3，4。 X = k01234P(X = k)0.31640.42190.21090.04690.03966第66頁，共88頁。三、超幾何分布超幾何分布的試驗(yàn)背景是：對有限總體進(jìn)行不還原方式（每次抽取后，所抽單位不再放回，稱之為不還原方式）的簡單隨機(jī)抽樣，觀察樣本中具有某種特征的單位數(shù)目。如果有限總體單位數(shù)目為N，其中具有某種特征的單位數(shù)目為M，對這個(gè)總體進(jìn)行n次不還原簡單隨機(jī)抽樣，用隨機(jī)變量X表示樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目，則X服從參數(shù)為（N，M，n）的超幾何分布。超幾何分布的概率函數(shù)是 （k=0，1，min n，M ）其中，k是樣本中具有某種特征的單位的數(shù)目。67第67

25、頁，共88頁。超幾何分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：E(X)= n （這里， =M/N） 方差： = n( 1) 68第68頁，共88頁?！纠?-14】例4-13中，如果改為不還原地抽取4次，寫出抽到二等品件數(shù)的分布列。 解：用隨機(jī)變量X表示經(jīng)過4次抽取，抽到二等品的件數(shù)。它可能的取值是0，1，2，3，4。分布列如表4-8。 表4-8超幾何分布的分布列 表中取0，1，2，3，4各數(shù)值的概率是用式（4.36）算出的。式中，N =20，M =5，n = 4。X = x01234P(X = x)0.28170.46960.21670.03100.001069第69頁，共88頁。四、正態(tài)分布 令隨機(jī)變

26、量X是在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中被測量的結(jié)果，并且，決定這項(xiàng)試驗(yàn)結(jié)果的是大量偶然因素作用的總和，每個(gè)因素的單獨(dú)作用相對均勻地小，那么，X的分布就近似于正態(tài)分布。70第70頁，共88頁。正態(tài)分布的密度函數(shù)是正態(tài)分布的數(shù)字特征如下： 數(shù)學(xué)期望：E(X)= 方 差：V(X) =271第71頁，共88頁。圖4-2 正態(tài)分布概率密度曲線72第72頁，共88頁。正態(tài)分布的密度函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)：和2。從密度函數(shù)的圖形來說，決定著曲線在橫軸上的位置， 越大，圖形位置越靠右；2決定著曲線的形狀，2越大，圖形越“矮胖”（見圖4-3）。 圖4-3 正態(tài)分布概率密度曲線中 的參數(shù)作用73第73頁，共88頁。 把隨機(jī)變量與它的數(shù)學(xué)期望相減之差除以該隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差（方差的平方根），稱作隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化能簡化正態(tài)分布概率的計(jì)算. 74第74頁，共88頁。75第75頁，共88頁。應(yīng)用Excel工具中的下列函數(shù)可以直接進(jìn)行正態(tài)分布下的變量值與概率的相互計(jì)算：（1）一般正態(tài)分布下由變量值求概率 NORMDIST（x，均值，標(biāo)準(zhǔn)差，TRUE或1）=P(Xx)。括號中是需要填寫的有關(guān)參數(shù)（以下相同