高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：第2章 2.5.1　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程-【新教材】人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)講義

1、2.5橢圓及其方程2.5.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1掌握橢圓的定義，會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問題(重點(diǎn))2掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(重點(diǎn))3理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題(難點(diǎn))1通過橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助于標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星是探月二期工程的技術(shù)先導(dǎo)星，其主要目的是釋放月球車為“嫦娥三號(hào)”任務(wù)實(shí)現(xiàn)月球軟著陸進(jìn)行部分關(guān)鍵技術(shù)試驗(yàn)，并對(duì)“嫦娥三號(hào)”著陸區(qū)進(jìn)行高精度成像“嫦娥二號(hào)”進(jìn)入太空軌道繞月球運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其軌道就是以月球?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)的橢圓，本節(jié)我們將學(xué)習(xí)橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)

2、方程1橢圓的定義(1)定義：如果F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)，a是一個(gè)常數(shù)，且2a|F1F2|，則平面內(nèi)滿足|PF1|PF2|2a的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡稱為橢圓(2)相關(guān)概念：兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|稱為橢圓的焦距思考1：橢圓定義中，將“大于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么？提示2a與|F1F2|的大小關(guān)系所確定的點(diǎn)的軌跡如下表：條件結(jié)論2a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓2a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F22a|F1F2|動(dòng)點(diǎn)不存在，因此軌跡不存在2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置在x軸上在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程e

3、q f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)(0，c)a，b，c的關(guān)系a2b2c2思考2：確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程需要知道哪些量？提示a，b的值及焦點(diǎn)所在的位置思考3：根據(jù)橢圓方程，如何確定焦點(diǎn)位置？提示把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，x2，y2的分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上1思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓()(2)橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,25)1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)()(3)eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab)表

4、示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓()答案(1)(2)(3)提示(1)需2a|F1F2|(2)(0，3)(3)ab0時(shí)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓2以下方程表示橢圓的是()Ax2y21B2x23y26Cx2y21 D2x23y26B只有B符合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式eq blc(rc (avs4alco1(可化為f(x2,3)eq blc rc)(avs4alco1(f(y2,2)1)3以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，兩焦點(diǎn)的距離是2，且過點(diǎn)(0,2)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Aeq f(x2,5)eq f(y2,4)1Beq f(x2,3)eq f(y2,4)1Ceq f(x2,5)eq f(y2,4)1或eq f(x2,3)eq

5、f(y2,4)1Deq f(x2,9)eq f(y2,4)1或eq f(x2,3)eq f(y2,4)1C若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則c1，b2，得a25，此時(shí)橢圓方程是eq f(x2,5)eq f(y2,4)1；若焦點(diǎn)在y軸上，則a2，c1，則b23，此時(shí)橢圓方程是eq f(x2,3)eq f(y2,4)14橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,4)1的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|4，則|PF2| 2由橢圓的定義知|PF1|PF2|6，所以|PF2|6|PF1|642求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,5)、(0，5)，橢圓上

6、一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離和為26(2)經(jīng)過點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，兩焦點(diǎn)間的距離為2，焦點(diǎn)在x軸上(3)過(3,2)且與eq f(x2,9)eq f(y2,4)1有相同的焦點(diǎn)解(1)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)2a26,2c10，a13，c5b2a2c2144所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：eq f(y2,169)eq f(x2,144)1(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，焦點(diǎn)在x軸上，2c2，a2b21，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4a

7、lco1(1，f(3,2)，eq f(1,b21)eq f(f(9,4),b2)1，解之得b23，a24橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,4)eq f(y2,3)1(3)由方程eq f(x2,9)eq f(y2,4)1可知，其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq r(5)，0)，即ceq r(5)設(shè)所求橢圓方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，則a2b25，因?yàn)檫^點(diǎn)(3,2)，代入方程為eq f(9,a2)eq f(4,a25)1(ab0)，解得a215(a23舍去)，b210，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,15)eq f(y2,10)1利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)先確定焦點(diǎn)

8、位置；(2)設(shè)出方程；(3)尋求a，b，c的等量關(guān)系；(4)求a，b的值，代入所設(shè)方程提醒：若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(mn，m0，n0)eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在x軸上，且a4，c2；(2)經(jīng)過點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(1,3)，Qeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)解(1)a216，c24，b216412，且焦點(diǎn)在x軸上，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(x2,16)eq f(y2,12)1(2)法一： 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)

9、準(zhǔn)方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，依題意，有eq blcrc (avs4alco1(f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(2),a2)f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(2),b2)1，,0f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2),b2)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2f(1,5)，,b2f(1,4)，)因?yàn)閍b0，所以方程組無解當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，依題意，有eq bl

10、crc (avs4alco1(f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(2),a2)f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(2),b2)1，,f(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(2),a2)01，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2f(1,4)，,b2f(1,5)，)所以所求方程為eq f(y2,f(1,4)eq f(x2,f(1,5)1法二：設(shè)所求橢圓的方程為mx2ny21(m0，n0，且mn)，依題意得eq blcrc (avs4alco1(f(1,9)mf(1,9)n1，,f(1,4

11、)n1，)解得eq blcrc (avs4alco1(m5，,n4，)故所求方程為5x24y21，即eq f(y2,f(1,4)eq f(x2,f(1,5)1橢圓的定義及其應(yīng)用探究問題1如何用集合語言描述橢圓的定義？提示PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|2如何判斷橢圓的焦點(diǎn)位置？提示判斷橢圓焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上就要判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的分母哪個(gè)更大一些，即“誰大在誰上”3橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b，c三個(gè)量的關(guān)系是什么？提示橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，a表示橢圓上的點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)間距離的和的一半，可借助圖形幫助記憶a，b，c(都是正數(shù))恰是構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，a是斜邊，所以ab，ac，

12、且a2b2c2(如圖所示)【例2】設(shè)P是橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,f(75,4)1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，若F1PF260，求F1PF2的面積解由橢圓方程知，a225，b2eq f(75,4)，c2eq f(25,4)，ceq f(5,2)，2c5在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即25|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|由橢圓的定義，得10|PF1|PF2|，即100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，得3|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|25，所以SF1PF2eq f(1,2)|PF1

13、|PF2|sin 60eq f(25r(3),4)1將本例中的“F1PF260”改為“F1PF230”其余條件不變，求F1PF2的面積解由橢圓方程知，a225，b2eq f(75,4)，c2eq f(25,4)，ceq f(5,2)，2c5在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30，即25|PF1|2|PF2|2eq r(3)|PF1|PF2|由橢圓的定義得10|PF1|PF2|，即100|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，得(2eq r(3)|PF1|PF2|75，所以|PF1|PF2|75(2eq r(3)，所以SF1PF2eq f(1

14、,2)|PF1|PF2|sin 30eq f(75,4)(2eq r(3)2將橢圓的方程改為“eq f(x2,100)eq f(y2,64)1”其余條件不變，求F1PF2的面積解|PF1|PF2|2a20，又|F1F2|2c12由余弦定理知：(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，即：144(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|所以|PF1|PF2|eq f(256,3)，所以SF1PF2eq f(1,2)|PF1|PF2|sin 60eq f(64r(3),3)橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，則

15、點(diǎn)M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a(2)橢圓的定義能夠?qū)σ恍┚嚯x進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，簡(jiǎn)化解題過程因此，解題過程中遇到涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解拓展延伸：橢圓中的焦點(diǎn)三角形橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的PF1F2，稱為焦點(diǎn)三角形解關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)三角形的問題，通常要利用橢圓的定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識(shí)求解與橢圓有關(guān)的軌跡問題【例3】如圖，圓C：(x1)2y225及點(diǎn)A(1,0)，Q為圓上一點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于M，求點(diǎn)M的軌跡方程解由垂直平分線性質(zhì)可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|CM

16、|MA|5M點(diǎn)的軌跡為橢圓，其中2a5，焦點(diǎn)為C(1,0)，A(1,0)，aeq f(5,2)，c1，b2a2c2eq f(25,4)1eq f(21,4)所求軌跡方程為：eq f(x2,f(25,4)eq f(y2,f(21,4)1求解與橢圓相關(guān)的軌跡問題的方法eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)2已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意動(dòng)圓M內(nèi)切于圓C1，|MC1|13r圓M外切于圓C2，|MC2|3r|MC1|MC2|16|C1C2|8，動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C1

17、、C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，b2a2c2641648，故所求軌跡方程為eq f(x2,64)eq f(y2,48)1(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|MF2|2aeq blcrc (avs4alco1(2a|F1F2|，軌跡為橢圓,2a|F1F2|，線段F1F2,2a|F1F2|，不存在)(2)求橢圓的方程，可以利用定義求出參數(shù)a，b，c其中的兩個(gè)量；也可以用待定系數(shù)法構(gòu)造三者之間的關(guān)系，但是要注意先確定焦點(diǎn)所在的位置，其主要步驟可歸納為“先定位，后定量”(3)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，因?yàn)樗ń裹c(diǎn)在x軸上(m

18、n)或焦點(diǎn)在y軸上(mn)兩類情況，所以可以避免分類討論，從而達(dá)到了簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的1橢圓eq f(x2,25)y21上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為()A5B6C7 D8D由橢圓定義知點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是10282到兩定點(diǎn)F1(2,0)和F2(2,0)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡是()A橢圓 B線段C圓 D以上都不對(duì)B|MF1|MF2|F1F2|4，點(diǎn)M的軌跡為線段F1F23橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,32)1的焦距為 8由方程得a232，b216，c2a2b216c4,2c84已知橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,9)1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則ABF2的周長(zhǎng)是 16由橢圓定義知，|AF1|AF2|BF1|BF2|2