高中數(shù)學(xué)選修第一冊：第2章 2.4　曲線與方程-【新教材】人教B版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊講義

1、2.4曲線與方程學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系2理解曲線的方程和方程的曲線的概念(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3學(xué)會根據(jù)已有的情境資料找規(guī)律，學(xué)會分析、判斷曲線與方程的關(guān)系，強(qiáng)化“形”與“數(shù)”的統(tǒng)一以及掌握相互轉(zhuǎn)化的思想方法4掌握求軌跡方程建立坐標(biāo)系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個步驟5掌握求軌跡方程的幾種常用方法(重點(diǎn)、難點(diǎn))6初步學(xué)會通過曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)1通過曲線與方程概念學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助數(shù)形結(jié)合理解曲線的方程和方程的曲線，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)3通過由方程研究曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)4借助由曲線求它的方程，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

2、素養(yǎng)我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生對數(shù)形結(jié)合思想非常重視，他曾經(jīng)說過數(shù)缺形來少直觀，形缺數(shù)則難入微，可見，數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)非常重要的數(shù)學(xué)思想，在前面我們學(xué)習(xí)了直線和圓的方程對數(shù)形結(jié)合思想有了初步的了解，本節(jié)內(nèi)容我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)曲線與方程的概念，了解曲線與方程的關(guān)系，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1曲線與方程的概念一般地，一條曲線可以看成動點(diǎn)依某種條件運(yùn)動的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程一個二元方程總可以通過移項寫成F(x，y)0的形式，其中F(x，y)是關(guān)于x，y的解析式在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y)0之間具有如下關(guān)系：曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x，y)

3、0的解；以方程F(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上那么，方程F(x，y)0叫做曲線的方程；曲線C叫做方程的曲線思考1：如果曲線與方程僅滿足“以方程F(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”，會出現(xiàn)什么情況？舉例說明提示如果曲線與方程僅滿足“以方程F(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”，有可能擴(kuò)大曲線的邊界如方程yeq r(1x2)表示的曲線是半圓，而非整圓思考2：如果曲線C的方程是F(x，y)0，那么點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是什么？提示若點(diǎn)P在曲線C上，則F(x0，y0)0；若F(x0，y0)0，則點(diǎn)P在曲線C上，所以點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C上的充要條件是F(x0，y0

4、)02兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)曲線C1：F(x，y)0和曲線C2：G(x，y)0的交點(diǎn)坐標(biāo)為方程組eq blcrc (avs4alco1(Fx，y0，,Gx，y0)的實數(shù)解3解析幾何研究的主要問題(1)由曲線求它的方程(2)利用方程研究曲線的性質(zhì)4求曲線的方程的步驟5利用曲線的方程研究曲線的對稱性及畫法(1)由已知曲線的方程討論曲線的對稱性設(shè)曲線C的方程為：f(x，y)0，一般有如下規(guī)律：如果以y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于x軸對稱；如果以x代替x，方程保持不變，那么曲線關(guān)于y軸對稱；如果同時以x代替x，以y代替y，方程保持不變，那么曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱另外，易證如果曲線具有上述三種對稱性中的任意

5、兩種，那么它一定還具有另一種對稱性例如，如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對稱，那么它一定關(guān)于y軸對稱事實上，設(shè)點(diǎn)P(x，y)在曲線上，因為曲線關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)P1(x，y)必在曲線上；因為曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P2(x，y)必在曲線上因為P(x，y)，P2(x，y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱(2)根據(jù)曲線的方程畫曲線對于這類問題，往往要把方程進(jìn)行同解變形注意方程的附加條件和x，y的取值范圍，有時要把它看作yf(x)的函數(shù)關(guān)系，利用作函數(shù)圖像的方法畫出圖形對于變形過程一定要注意其等價性，否則作出的曲線與方程不符注意方程隱含的對稱性特征，并充分予以運(yùn)用，從而減少描點(diǎn)量1思考辨析

6、(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若以方程f(x，y)0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，則方程f(x，y)0，即為曲線C的方程()(2)方程xy20是以A(2,0)，B(0,2)為端點(diǎn)的線段的方程()(3)在求曲線方程時，對于同一條曲線，坐標(biāo)系的建立不同，所得的曲線方程也不一樣()(4)求軌跡方程就是求軌跡()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)曲線的方程必須滿足兩個條件(2)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不一定在線段AB上，如M(4,6)就不在線段AB上(3)對于曲線上同一點(diǎn)，由于坐標(biāo)系不同，該點(diǎn)的坐標(biāo)就不一樣，因此方程也不一樣(4)求軌跡方程得出方程即可，求軌跡還要指出方程的曲線是什么圖形2點(diǎn)P(a1

7、，a4)在曲線yx25x3上，則a的值為()A1或5B1或5C2或3 D2或3B由點(diǎn)P(a1，a4)在曲線yx25x3上，得a4(a1)25(a1)3，即a26a50得a1或a53方程xy2x2y2x所表示的曲線()A關(guān)于x軸對稱B關(guān)于y軸對稱C關(guān)于原點(diǎn)對稱 D關(guān)于直線xy0對稱C將(x，y)代入xy2x2y2x方程不變，故選C4平面上有三點(diǎn)A(2，y)，Beq blc(rc)(avs4alco1(0，f(y,2)，C(x，y)若eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()，則動點(diǎn)C的軌跡方程為 y28x(x0)eq o(AB,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(

8、2，f(y,2)，eq o(BC,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(x，f(y,2)，由eq o(AB,sup7()eq o(BC,sup7()得2xeq f(y2,4)0，即y28x(x0)曲線與方程關(guān)系的應(yīng)用【例1】已知方程x2(y1)210(1)判斷點(diǎn)P(1，2)，Q(eq r(2)，3)是否在此方程表示的曲線上；(2)若點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)，m)在此方程表示的曲線上，求m的值解(1)12(21)210，(eq r(2)2(31)2610，點(diǎn)P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲線上，點(diǎn)Q(eq r(2)，3)不在方程x2(

9、y1)210表示的曲線上(2)點(diǎn)Meq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)，m)在方程x2(y1)210表示的曲線上，xeq f(m,2)，ym適合上述方程，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(m,2)eq sup12(2)(m1)210，解得m2或meq f(18,5)，m的值為2或eq f(18,5)1判斷點(diǎn)是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點(diǎn)的坐標(biāo)是否是方程的解，是否適合方程若適合方程，就說明點(diǎn)在曲線上；若不適合，就說明點(diǎn)不在曲線上2已知點(diǎn)在某曲線上，可將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問題eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)1若曲線y2xy2xk通過點(diǎn)

10、(a，a)(aR)，則k的取值范圍是 eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)由曲線y2xy2xk通過點(diǎn)(a，a)，所以(a)2a(a)2ak，即k2a22a2eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)eq sup12(2)eq f(1,2)，所以keq f(1,2)由方程研究曲線的性質(zhì)【例2】已知曲線C的方程是x4y21關(guān)于曲線C的幾何性質(zhì)，給出下列三個結(jié)論：曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱；曲線C關(guān)于直線yx對稱；曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于其中，所有正確結(jié)論的序號是 思路探究分析關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)(x，y)，(x，y)，是否都在曲線上，可判斷；分析關(guān)于直線yx對稱的兩個

11、點(diǎn)(x，y)，點(diǎn)(y，x)，是否都在曲線上，可判斷；求出曲線C所圍成的區(qū)域面積，可判斷將方程中的x換成x，y換成y方程不變，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱，故正確；將方程中的x換成y，y換成x，方程變?yōu)閥4x21與原方程不同，故錯誤；在曲線C上任取一點(diǎn)M(x0，y0)，xeq oal(4,0)yeq oal(2,0)1，|x0|1，xeq oal(4,0)xeq oal(2,0)，xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)xeq oal(4,0)yeq oal(2,0)1，即點(diǎn)M在圓x2y21外，故正確故正確的結(jié)論的序號是討論曲線的幾何性質(zhì)一般包括以下幾個方面：(1)研究曲線的組成和范圍，即看一

12、下所求的曲線是由哪一些基本的曲線組成的，在某些情況下可以根據(jù)方程求得方程所表示曲線的大致范圍；(2)研究曲線與坐標(biāo)軸是否相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，因為曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是確定曲線位置的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)研究曲線的對稱性(關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn))；(4)研究曲線的變化趨勢，即y隨x的增大或減小的變化情況；(5)根據(jù)方程畫出曲線的大致形狀，在畫曲線時，可充分利用曲線的對稱性，通過列表、描點(diǎn)的方法先畫出曲線在一個象限的圖像，然后根據(jù)對稱性畫出整條曲線eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)2畫出方程yeq r(x22|x|1)的曲線解yeq r(x22|x|1)eq r(|x|12)|x|1|，易知xR，y0用x代替x

13、，得|x|1|x|1|y，所以曲線關(guān)于y軸對稱當(dāng)x0時，y|x1|eq blcrc (avs4alco1(x1x1，,1x0 x1，)分段畫出該方程的圖像，即為y軸右側(cè)的圖像，再根據(jù)對稱性，便可以得到方程yeq r(x22|x|1)的圖像，如圖所示直接法求曲線方程【例3】一個動點(diǎn)到直線x8的距離是它到點(diǎn)A(2，0)的距離的2倍，求動點(diǎn)的軌跡方程思路探究利用動點(diǎn)到直線x8的距離是它到點(diǎn)A(2,0)的距離的2倍列等式，化簡即可求出動點(diǎn)的軌跡方程解設(shè)動點(diǎn)P(x，y)，由題意，|x8|2eq r(x22y2)，兩邊平方可得：x216x644x216x164y2整理得：eq f(x2,16)eq f(y

14、2,12)1所以動點(diǎn)的軌跡方程為：eq f(x2,16)eq f(y2,12)1直接法求軌跡方程的2種常見類型及解題策略直接法求軌跡方程，就是設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)，然后根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出x，y之間的關(guān)系并化簡主要有以下兩類常見題型(1)題目給出等量關(guān)系，求軌跡方程可直接代入即可得出方程(2)題中未明確給出等量關(guān)系，求軌跡方程可利用已知條件尋找等量關(guān)系，得出方程提醒：求出曲線的方程后要注意驗證方程的純粹性和完備性eq o(跟進(jìn)訓(xùn)練)3如圖，線段AB與CD互相垂直平分于點(diǎn)O，|AB|2a(a0)，|CD|2b(b0)，動點(diǎn)P滿足|PA|PB|PC|PD|，求動點(diǎn)P的軌跡方程解以O(shè)為坐標(biāo)原

15、點(diǎn)，直線AB，CD分別為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(a，0)，B(a,0)，C(0，b)，D(0，b)，設(shè)P(x，y)是曲線上的任意一點(diǎn)，由題意知，|PA|PB|PC|PD|，eq r(xa2y2)eq r(xa2y2)eq r(x2yb2)eq r(x2yb2)，化簡得x2y2eq f(a2b2,2)故動點(diǎn)P的軌跡方程為x2y2eq f(a2b2,2)代入法求曲線方程探究問題1當(dāng)所求動點(diǎn)P的運(yùn)動很明顯地依賴于一已知曲線上的動點(diǎn)Q的運(yùn)動時，怎樣求P點(diǎn)的軌跡？提示：設(shè)所求動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，再設(shè)與P相關(guān)的已知點(diǎn)坐標(biāo)為Q(x0，y0)，找出P、Q之間的坐標(biāo)關(guān)系，并表示為x0f(x

16、)，y0f(y)，根據(jù)點(diǎn)Q的運(yùn)動規(guī)律得出關(guān)于x0，y0的關(guān)系式，把x0f(x)，y0f(y)代入關(guān)系式中，即得所求軌跡方程2求得曲線方程后，如何避免出現(xiàn)“增解”或“漏解”？提示在化簡的過程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避免“漏解”或“增解”【例4】已知動點(diǎn)M在曲線x2y21上移動，M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程思路探究所求動點(diǎn)與已知曲線上動點(diǎn)相關(guān)，可通過條件確定兩動點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系求得解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，P為MB的中點(diǎn)eq blcrc (avs4alco1(xf(x03,2)，,yf(y0,2)，)即eq blcrc (avs4alco1(x02x3，

17、,y02y，)又M在曲線x2y21上，(2x3)24y21，P點(diǎn)的軌跡方程為(2x3)24y211(變換條件)本例中把條件“M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P”改為“eq o(MP,sup7()2eq o(PB,sup7()”，求P點(diǎn)的軌跡方程解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則eq o(MP,sup7()(xx0，yy0)，eq o(PB,sup7()(3x，y)，由eq o(MP,sup7()2eq o(PB,sup7()得eq blcrc (avs4alco1(xx03x2，,yy02y，)即eq blcrc (avs4alco1(x03x6，,y03y，)又M在曲線x2y21上，(3

18、x6)29y21，點(diǎn)P的軌跡方程為(3x6)29y212(變換條件)本例中把條件“M和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為P”改為“一動點(diǎn)P和定點(diǎn)B(3,0)連線的中點(diǎn)為M”，試求動點(diǎn)P的軌跡方程解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，M為PB的中點(diǎn)eq blcrc (avs4alco1(x0f(x3,2)，,y0f(y,2)，)又M在曲線x2y21上，eq blc(rc)(avs4alco1(f(x3,2)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(y,2)eq sup12(2)1，即(x3)2y24，P點(diǎn)軌跡方程為(x3)2y24代入法求解曲線方程的步驟(1)設(shè)動點(diǎn)P(x，y)

19、，相關(guān)動點(diǎn)M(x0，y0)；(2)利用條件求出兩動點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系eq blcrc (avs4alco1(x0fx，y，,y0gx，y；)(3)代入相關(guān)動點(diǎn)的軌跡方程；(4)化簡、整理，得所求軌跡方程其步驟可總結(jié)為“一設(shè)、二找、三代、四整理”1曲線的方程和方程的曲線必須滿足兩個條件：曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上2點(diǎn)(x0，y0)在曲線C上的充要條件是點(diǎn)(x0，y0)適合曲線C的方程坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線的方程也不相同3一般地，求哪個點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不要設(shè)成(x1，y1)或(x，y)等4方程化簡到什么程度，課本上沒有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f(x，y)0化成x，y的整式如果化簡過程破壞了同解性，就需要剔除不屬于軌跡上的點(diǎn)，找回屬于軌跡而遺漏的點(diǎn)求軌跡時需要說明所表示的是什么曲線，求軌跡方程則不必說明5“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念：求軌跡方程只要求出方程即可；而求軌跡則應(yīng)先求出軌跡方程，再說明軌跡的形狀1下列四個圖形中，圖形下面的方程是圖形中曲線的方程的是()A B C DD對于A，點(diǎn)(0，1)滿足方程，但不在曲線上，排