高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1、PAGE 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（45分鐘 100分）一、選擇題(每小題6分,共30分)1.(2013大理高二檢測(cè))在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,0,1)與點(diǎn)B(2,1,-1)之間的距離是()A.6B.6C.3D.22.已知a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若ab,則與的值分別可以為()A.2,12B.-13,12C.-3,2D.2,23.(2013金華高二檢測(cè))向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列結(jié)論正確的是()A.ab,abB.ab,acC.ac,abD.以上都不對(duì)4.設(shè)AB=(cos+sin,0,-sin),BC=(0,cos,0)則|

2、AC|的最大值為()A.3B.3C.23D.335.(2013大連高二檢測(cè))已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互 相垂直,則k的值是()A.1B.15C.75D.35二、填空題(每小題8分,共24分)6.(2013石家莊高二檢測(cè))已知O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,-1,1),OA+OB與OB的夾角為120,則的值為.7.(2013杭州高二檢測(cè))已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),則AB 與AC的夾角為.8.已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a與b的夾角為鈍角,則x的取值范圍是.三、解答題(

3、9題,10題14分,11題18分)9.已知關(guān)于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有兩個(gè)實(shí)根,a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb.(1)當(dāng)|c|取最小值時(shí),求t的值.(2)在(1)的情況下,求b和c夾角的余弦值.10.(2013衡水高二檢測(cè))如圖,已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P,PA平面ABCD,E,F分別是AB,PC的中點(diǎn).(1)求證:EFCD.(2)若PDA=45,求EF與AP夾角的大小.11.(能力挑戰(zhàn)題)如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱.(1)求證:BD平面ACC1A1.(2)若二面角C1-BD-C的大小為60,求異面直線BC1與AC所成

4、角的余弦值.答案解析1.【解析】選A.dAB=|AB|=(2-1)2+(1-0)2+(-1-1)2=6.2.【解析】選A.ab,存在k,使得a=kb,即(+1,0,2)=k(6,2-1,2),即+1=6k,0=k(2-1),2=2k,解得=12,=2或=12,=-3.【變式備選】已知三點(diǎn)A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一條直線上,那么()A.a=3,b=-3B.a=6,b=-1C.a=3,b=2D.a=-2,b=1【解析】選C.根據(jù)題意AB=(1,-1,3),AC=(a-1,-2,b+4),AB與AC共線,存在,使AC=AB,即(a-1,-2,b+4)=(,-,3

5、),a-1=,-2=-,b+4=3,解得a=3,b=2,=2.3.【解析】選C.ab=0,ab,又a=12c,ac,故選C.4.【解題指南】求出|AB|的表達(dá)式,利用三角函數(shù)的有界性求其最大值.【解析】選B.由題意知AC=AB+BC=(cos+sin,cos,-sin),|AC|=(cos+sin)2+cos2+(-sin)2=sin2+2,sin2-1,1,|AC|max=1+2=3.5.【解析】選C.ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).(ka+b)(2a-b),(ka-b)(2a-b)=3(k-1)+2k-4=0,解得k=75.6.【解析】OA+OB=(1,0,0)+

6、(0,-,)=(1,-,),OB=(0,-1,1).據(jù)題意可得221+22=-12,解得=-66(=66舍去).答案:-667.【解析】易知AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),cos=ABAC|AB|AC|=-2+3+61414=12,又0,故=3.答案:38.【解析】a與b的夾角為鈍角,ab0,3(-1)+(-2)(x-1)+(-3)1-2.若a與b的夾角為,則x=53,x(-2,53)(53,+)答案:(-2,53)(53,+)【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)不要忽視把a(bǔ)與b的夾角為180時(shí)的情況剔除.9.【解析】(1)因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2-(t-2)x+t2+3t+5=0有兩個(gè)實(shí)根,

7、所以=-(t-2)2-4(t2+3t+5)0,即-4t-43.又c=(-1,1,3)+t(1,0,-2)=(-1+t,1,3-2t),所以|c|=(-1+t)2+12+(3-2t)2=5(t-75)2+65.因?yàn)閠-4,-43時(shí),上述關(guān)于t的函數(shù)單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=-43時(shí),|c|取最小值3473.(2)當(dāng)t=-43時(shí),c=(-73,1,173),所以cos= QUOTE bc|b|c| =-73+0-34312+02+(-2)2(-73)2+12+(173)2=-411 735=-411 7351 735.【拓展提升】求向量模的最值在向量的坐標(biāo)運(yùn)算中常出現(xiàn)求某向量模的最值的問題,解決這類問題

8、首先要根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出待求模的向量的坐標(biāo),往往坐標(biāo)內(nèi)含有參數(shù),再根據(jù)題目條件求出參數(shù)的取值范圍(本題中用0求參數(shù)范圍),最后寫出模的表達(dá)式,利用函數(shù)的性質(zhì)求模的最值.10.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2a,BC=2b,PA=2c,則:A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).E為AB的中點(diǎn),F為PC的中點(diǎn),E(a,0,0),F(a,b,c).(1)CD=(-2a,0,0),EF=(0,b,c),CDEF=(-2a,0,0)(0,b,c)=0,CDEF,即EFCD.(2)若PDA=45,則有2b=2c,即b=c,E

9、F=(0,b,b),AP=(0,0,2b),cos=2b22b2b=22,=45,即EF與AP的夾角為45.11.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:(1)設(shè)AD=a,DD1=b,則D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),C1(0,a,b).BD=(-a,-a,0),AC=(-a,a,0),CC1=(0,0,b),BDAC=0,BDCC1=0,BDAC,BDCC1,AC,CC1平面ACC1A1,且ACCC1=C,BD平面ACC1A1.(2)設(shè)BD與AC相交于O點(diǎn),則點(diǎn)O坐標(biāo)為(a2,a2,0),OC1=(-a2,a2,b),連接OC1,BDOC1=0,BDOC1=0,BDC1O