《概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)》第2章隨機(jī)變量及其分布課件

1、隨機(jī)變量的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為若對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)變量X 都有確定實(shí)數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則X是定義在上的實(shí)值函數(shù),即我們稱這樣的變量X為隨機(jī)變量.定義:隨機(jī)變量的分類(1) 離散隨機(jī)變量:取值只有有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè);連續(xù)隨機(jī)變量: 取值是在某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間(2) 非離散隨機(jī)變量2022/8/41第1頁(yè)，共36頁(yè)。2. 離散隨機(jī)變量的概率分布或記為(1)定義則稱 p(xi) (i=1,2,) 為 X 的概率分布或概率函數(shù).其所有可能取值為且定義: 設(shè)X為離散隨機(jī)變量,2022/8/42第2頁(yè)，共36頁(yè)。注：當(dāng)X取得有限個(gè)可能值時(shí)，(2)性質(zhì)顯然，概率分布p(xi) 有下面的性質(zhì):表示有限項(xiàng)的和;當(dāng)

2、X取得可列無(wú)窮多個(gè)可能值時(shí),表示收斂級(jí)數(shù)和.2022/8/43第3頁(yè)，共36頁(yè)。超幾何分布 定義.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為隨機(jī)變量X服從超幾何分布,其中n, M, N是分布的參數(shù).其中n, M, N 都是正整數(shù)，且n N, MN;則稱記作XH (n, M, N),2022/8/44第4頁(yè)，共36頁(yè)。一批產(chǎn)品共N件, 其中M件次品, N-M件正品,實(shí)例：產(chǎn)品檢驗(yàn)?zāi)Ｐ碗S機(jī)抽取n件樣品(0nM)按不放回抽樣方式,(設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的次品數(shù)k )此X的概率分布稱為超幾何分布H(n, M, N).求取出的n樣品中恰有k件次品A的概率？2022/8/45第5頁(yè)，共36頁(yè)。設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0,1兩個(gè)

3、值 , 二項(xiàng)分布且概率分布為1.(01)分布則稱X服從(0 - 1)分布或兩點(diǎn)分布.(0 - 1)分布的概率分布也可寫成 X 0 1 pk 1-p p 2022/8/46第6頁(yè)，共36頁(yè)。定義. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為其中n,p為分布的參數(shù).2.二項(xiàng)分布 B (n, p)其中n為正整數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB (n, p),注：20 當(dāng)n=1時(shí)，XB(1, p)，即為(0-1)分布.2022/8/47第7頁(yè)，共36頁(yè)。實(shí)例：在n重伯努利概型中則X服從二項(xiàng)分布B (n, p) .例如設(shè)X表示事件A恰好出現(xiàn)的次數(shù)，X=k的概率為隨機(jī)抽取n件樣品(0nM).設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M

4、件次品，按放回抽樣方式,設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的次品數(shù)(X=0,1,2,n), 則故XB (n, M/N).2022/8/48第8頁(yè)，共36頁(yè)。是分布的參數(shù).泊松分布 定義. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為則稱隨機(jī)變量X服從泊松分布，記作參數(shù)2022/8/49第9頁(yè)，共36頁(yè)。泊松分布的應(yīng)用例如：3) 汽車站臺(tái)一天的侯客人數(shù)；5) 某公路段上在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù);2)某電話交換臺(tái)在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)；1) 某服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)；4)某醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù);有著廣泛的應(yīng)用.泊松分布在公共事業(yè)、生物、醫(yī)學(xué)及工業(yè)等領(lǐng)域2022/8/410第10頁(yè)，共36頁(yè)。概率函數(shù)近似等于二

5、項(xiàng)分布B(n,p)的概率函數(shù),當(dāng)N充分大時(shí)，超幾何分布H (n, M, N)的二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系定理:即若XH (n, M, N)，則當(dāng)N時(shí)，有注：2022/8/411第11頁(yè)，共36頁(yè)。 當(dāng)n充分大, p很小 (p0.1), 二項(xiàng)分布B( n, p)的概率函數(shù)近似等于泊松分布的概率函數(shù):泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系泊松定理：若當(dāng)n時(shí)，則有注：即np比較適中時(shí)，2022/8/412第12頁(yè)，共36頁(yè)。隨機(jī)變量X的分布函數(shù)定義：設(shè)X為一隨機(jī)變量，的概率P(Xx)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù),F(x)=P (Xx).則事件“X x”記作注：2022/8/413第13頁(yè)，共36頁(yè)。分布函數(shù)F (x)

6、的性質(zhì)(1) F(x)是非減函數(shù),即若x1 x2, 則(3)離散隨機(jī)變量X，F(xiàn) (x)是右連續(xù)函數(shù),連續(xù)隨機(jī)變量X，F(xiàn)(x)在(-,+ )處處連續(xù).即事件“Xx”當(dāng)x-時(shí)是不可能事件;事件“Xx”當(dāng)x+時(shí)是必然事件.2022/8/414第14頁(yè)，共36頁(yè)。定義.若隨機(jī)變量X的取值范圍是某個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間I函數(shù)f (x)稱為連續(xù)隨機(jī)變量連續(xù)隨機(jī)變量和概率密度且存在非負(fù)函數(shù)f (x)，使得對(duì)于任意有(有界或無(wú)界), 區(qū)間則稱X為連續(xù)隨機(jī)變量;X的概率密度函數(shù)(probability density function),概率密度.簡(jiǎn)稱2022/8/415第15頁(yè)，共36頁(yè)。1.連續(xù)隨機(jī)變量X任取確定值x0

7、的概率等于0,即2. 若X是連續(xù)隨機(jī)變量，則對(duì)任意x1, x2(x1x2)有注:3.P(A)=0P(A)=12022/8/416第16頁(yè)，共36頁(yè)。20 規(guī)范性概率密度的性質(zhì)10 非負(fù)性O(shè)設(shè)X是連續(xù)隨機(jī)變量,f(x)為X的概率密度，則2022/8/417第17頁(yè)，共36頁(yè)。連續(xù)X的密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系設(shè)連續(xù)X的概率密度f(wàn) (x)，則其分布函數(shù)為且在f (x)的連續(xù)點(diǎn)x處，2022/8/418第18頁(yè)，共36頁(yè)。定義：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間a,b上服從均勻分布, 其中a, b是分布的參數(shù).均勻分布 記作(1) 均勻分布的定義2022/8/419第19頁(yè)，共36頁(yè)。注：均勻分布的

8、等可能特征其等可能性的意義是：X落在區(qū)間a, b中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的.或者說(shuō)X落在a,b子區(qū)間內(nèi)的概率僅依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān).事實(shí)上，對(duì)a, b上的任子區(qū)間c,c+l, 有2022/8/420第20頁(yè)，共36頁(yè)。其中指數(shù)分布 定義: 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為則稱X服從指數(shù)分布，是分布的參數(shù).記作(1) 指數(shù)分布的定義2022/8/421第21頁(yè)，共36頁(yè)。 4.隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間；1.它常用于動(dòng)物、電力設(shè)備和電子元件使用壽命；2.電話的通話時(shí)間；3.排隊(duì)時(shí)需要等待時(shí)間；（2）指數(shù)分布的應(yīng)用 指數(shù)分布在生存分析、可靠性理論和排隊(duì)論中有廣泛的應(yīng)用例如：20

9、22/8/422第22頁(yè)，共36頁(yè)。二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）幾何意義yo(x, y)(X, Y )2022/8/423第23頁(yè)，共36頁(yè)。定義 若X, Y均為離散隨機(jī)變量，則 (X,Y ) 為二維離散隨機(jī)變量,且二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布2022/8/424第24頁(yè)，共36頁(yè)。XY其中2022/8/425第25頁(yè)，共36頁(yè)。二維連續(xù)隨機(jī)變量 定義 設(shè)X, Y均為連續(xù)隨機(jī)變量，2022/8/426第26頁(yè)，共36頁(yè)。 聯(lián)合概率密度的性質(zhì)： 設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：這個(gè)公式非常重要！2022/8/427第27頁(yè)，共36頁(yè)。邊緣分布則隨

10、機(jī)變量X的邊緣概率函數(shù)為二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率函數(shù)為同理隨機(jī)變量Y的邊緣概率函數(shù)為離散隨機(jī)變量的邊緣分布2022/8/428第28頁(yè)，共36頁(yè)。2022/8/429第29頁(yè)，共36頁(yè)。連續(xù)隨機(jī)變量的邊緣分布的邊緣密度函數(shù)：隨機(jī)變量X的邊緣密度函數(shù)：隨機(jī)變量Y注：邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊 緣分布確定聯(lián)合分布。 求邊緣分布時(shí)如何確定積分區(qū)域及邊緣密度不為零的范圍。2022/8/430第30頁(yè)，共36頁(yè)。 條件分布1. 二維離散型隨機(jī)變量( X ,Y ) 的條件分布（1）在Y= yj 條件下X 的條件概率函數(shù)（2）在 X= xi 條件下Y 的條件概率函數(shù)2022/8/431第31頁(yè)，共36頁(yè)。隨機(jī)變量X在Y=y的條件下的條件密度函數(shù)注：條件密度函數(shù)的性質(zhì)與普通密度函數(shù)類似隨機(jī)變量Y在X=x的條件下的條件密度函數(shù)2. 連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布 ： 2022/8/432第32頁(yè)，共36頁(yè)。定義 設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y有P(Xx,Y y)= P(Xx)P(Y y)即 F(x,y)= FX(x) FY(y)，則稱X，Y相互獨(dú)立。隨機(jī)變量的獨(dú)立性2022/8/433第33頁(yè)，共36頁(yè)。解題