三角函數(shù)大題匯編附答案

1、三角函數(shù)大題匯編(附答案)1.已知函數(shù)f(x)cos x(sin xcos x)eq f(1,2).(1)若0eq f(,2)，且sin eq f(r(2),2)，求f()的值；(2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間1解：方法一：(1)因?yàn)?eq f(,2)，sin eq f(r(2),2)，所以cos eq f(r(2),2).所以f()eq f(r(2),2)eq f(1,2) eq f(1,2).(2)因?yàn)閒(x)sin xcos xcos2xeq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1

2、,2)cos 2xeq f(r(2),2)sin，所以Teq f(2,2).由2keq f(,2)2xeq f(,4)2keq f(,2)，kZ，得keq f(3,8)xkeq f(,8)，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.方法二：f(x)sin xcos xcos2xeq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)eq f(1,2)sin 2xeq f(1,2)cos 2xeq f(r(2),2)sin.(1)因?yàn)?eq f(,2)，sin eq f(r(2),2)，所以eq f(,4)，從而f()eq f(r(2),2)sineq f

3、(r(2),2)sineq f(3,4)eq f(1,2).(2)Teq f(2,2).由2keq f(,2)2xeq f(,4)2keq f(,2)，kZ，得keq f(3,8)xkeq f(,8)，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ.2已知函數(shù)f(x)eq r(3)sin(x)的圖像關(guān)于直線xeq f(,3)對(duì)稱，且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.(1)求和的值；(2)若feq f(r(3),4) ,，求cos的值2解：(1)因?yàn)閒(x)的圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為，所以f(x)的最小正周期T，從而eq f(2,T)2.又因?yàn)閒(x)的圖像關(guān)于直線xeq f(,3)對(duì)稱，所以2eq

4、f(,3)keq f(,2)，k0，1，2，.因?yàn)閑q f(,2)eq f(,2)，所以eq f(,6).(2)由(1)得feq r(3)sin(2eq f(,2)eq f(,6)eq f(r(3),4)，所以sineq f(1,4).由eq f(,6)eq f(2,3)得0eq f(,6)eq f(,2)，所以coseq f(r(15),4).因此cossin sinsincoseq f(,6)cossineq f(,6)eq f(1,4)eq f(r(3),2)eq f(r(15),4)eq f(1,2)eq f(r(3)r(15),8).3 已知函數(shù)f(x)sin(x)acos(x2)，

5、其中aR，.(1)當(dāng)aeq r(2)，eq f(,4)時(shí)，求f(x)在區(qū)間0，上的最大值與最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值3解：(1)f(x)sineq r(2)coseq f(r(2),2)(sin xcos x)eq r(2)sin xeq f(r(2),2)cos xeq f(r(2),2)sin xsin.因?yàn)閤0，所以eq f(,4)x，故f(x)在區(qū)間0，上的最大值為eq f(r(2),2)，最小值為1.(2)由eq blc(avs4alco1(fblc(rc)(avs4alco1(f(,2)0，,f（）1，)得eq blc(avs4alco1(cos （12asin ）

6、0，,2asin2sin a1.)又eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，知cos 0，所以eq blc(avs4alco1(12asin 0，,（2asin 1）sin a1，)解得eq blc(avs4alco1(a1，,f(,6).)4已知向量a(m，cos 2x)，b(sin2x，n)，函數(shù)f(x)ab，且yf(x)的圖像過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).(1)求m，n的值；(2)將yf(x)的圖像向左平移(0)個(gè)單位后得到函數(shù)yg(x)的圖像，若yg(x)圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0，3)的距離的最小值為1，求yg(x)的單調(diào)遞增區(qū)間4解：(1)由題意知，f(x)msin 2xncos

7、 2x.因?yàn)閥f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以eq blc(avs4alco1(r(3)msinf(,6)ncosf(,6)，,2msinf(4,3)ncosf(4,3)，)即eq blc(avs4alco1(r(3)f(1,2)mf(r(3),2)n，,2f(r(3),2)mf(1,2)n，)解得meq r(3)，n1.(2)由(1)知f(x)eq r(3)sin 2xcos 2x2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).由題意知，g(x)f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(,6).設(shè)yg(x)的圖像上符合題意的最高點(diǎn)為(x0，2)由題意知

8、，xeq oal(2,0)11，所以x00，即到點(diǎn)(0，3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0，2)將其代入yg(x)得，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)1.因?yàn)?c.已知eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()2，cos Beq f(1,3)，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值5解：(1)由eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()2得cacos B2，又cos Beq f(1,3)，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292213.解eq blc(avs4alco1(ac6，,a2c21

9、3，)得eq blc(avs4alco1(a2，,c3)或eq blc(avs4alco1(a3，,c2.)因?yàn)閍c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin Beq r(1cos2B)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)sup12(2)eq f(2r(2),3).由正弦定理，得sin Ceq f(c,b)sin Beq f(2,3)eq f(2 r(2),3)eq f( 4 r(2),9).因?yàn)閍bc，所以C為銳角，因此cos Ceq r(1sin2C)eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(4 r(2),9)sup12(2)eq f(7,9).所以cos

10、(BC)cos Bcos Csin Bsin Ceq f(1,3)eq f(7,9)eq f(2 r(2),3)eq f(4 r(2),9)eq f(23,27).6ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知3acos C2ccos A，tan Aeq f(1,3)，求B.6解：由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C2sin Ccos A，故3tan Acos C2sin C.因?yàn)閠an Aeq f(1,3)，所以cos C2sin C，所以tan Ceq f(1,2).所以tan Btan180(AC)tan(AC)eq f(tan Atan C,tan Atan C1)1，所以B

11、135.7已知函數(shù)f(x)sin.(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若是第二象限角，feq f(4,5)coscos 2，求cossin的值7解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(f(,2)2k，f(,2)2k)，kZ，由eq f(,2)2k3xeq f(,4)eq f(,2)2k，kZ，得eq f(,4)eq f(2k,3)xeq f(,12)eq f(2k,3)，kZ.所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq blcrc(avs4alco1(f(,4)f(2k,3)，f(,12)f(2k,3)，kZ.(2)由已知，得sineq blc(rc)

12、(avs4alco1(f(,4)eq f(4,5)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)(cos2sin2)，所以sincoseq f(,4)cos sineq f(,4)eq f(4,5)eq blc(rc)(avs4alco1(cos cosf(,4)sin sinf(,4)(cos2 sin2 )，即sin cos eq f(4,5)(cos sin )2(sin cos )當(dāng)sin cos 0時(shí)，由是第二象限角，得eq f(3,4)2k，kZ，此時(shí)，cos sin eq r(2).當(dāng)sin cos 0時(shí)，(cos sin )2eq f(5,4).由是第二象限角，得c

13、os sin 0，此時(shí)cos sin eq f(r(5),2).綜上所述，cos sin eq r(2)或eq f(r(5),2).8已知函數(shù)f(x)cos xsineq r(3)cos2xeq f(r(3),4)，xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值8解：(1)由已知，有f(x)cos xeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sin xf(r(3),2)cos x)eq r(3)cos2xeq f(r(3),4)eq f(1,2)sin xcos xeq f(r(3),2)cos2xeq f(r(3),4)eq f(1,4)sin 2

14、xeq f(r(3),4)(1cos 2x)eq f(r(3),4)eq f(1,4)sin 2xeq f(r(3),4)cos 2xeq f(1,2)sin，所以f(x)的最小正周期Teq f(2,2).因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，feq f(1,4)，feq f(1,2)，feq f(1,4)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值為eq f(1,4)，最小值為eq f(1,2). 9設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值； (2)求sin的值9解： (1)因?yàn)锳2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B，由余弦定

15、理得cos Beq f(a2c2b2,2ac)eq f(sin A,2sin B)，所以由正弦定理可得a2beq f(a2c2b2,2ac).因?yàn)閎3，c1，所以a212，即a2 eq r(3).(2)由余弦定理得cos Aeq f(b2c2a2,2bc)eq f(9112,6)eq f(1,3).因?yàn)?A，所以sin Aeq r(1cos2A)eq r(1f(1,9)eq f(2 r(2),3).故sinsin Acoseq f(,4)cos Asineq f(,4)eq f(2 r(2),3)eq f(r(2),2)eq f(r(2),2)eq f(4r(2),6).10.如圖12，在AB

16、C中，Beq f(,3)，AB8，點(diǎn)D在BC邊上，且CD2，cosADCeq f(1,7).(1)求sinBAD； (2)求BD，AC的長(zhǎng)圖1210解：(1) 在ADC中，因?yàn)閏os ADCeq f(1,7)，所以sin ADCeq f(4 r(3),7).所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcos Bcos ADCsin Beq f(4 r(3),7)eq f(1,2)eq f(1,7)eq f(r(3),2)eq f(3 r(3),14).(2)在ABD中，由正弦定理得BDeq f(ABsin BAD,sin ADB)eq f(8f(3r(3),14),f(4 r(3),7)

17、3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B8252285eq f(1,2)49，所以AC7.11 在ABC中，A60，AC4，BC2eq r(3)，則ABC的面積等于_112eq r(3)解析 由eq f(BC,sin A)eq f(AC,sin B)，得sin Beq f(4sin 60,2r(3)1，B90，C180(AB)30，則SABCeq f(1,2)ACBCsin Ceq f(1,2)42eq r(3)sin 302eq r(3)，即ABC的面積等于2eq r(3).12. 設(shè)函數(shù)f(x)sinxsin，xR.(1)若eq f(1,2)，求f(x)的最大值及

18、相應(yīng)的x的取值集合；(2)若xeq f(,8)是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，且010，求的值和f(x)的最小正周期12解：(1)f(x)sin xsinxeq f(,2)sin xcos xeq r(2)sinxeq f(,4).當(dāng)eq f(1,2)時(shí)，f(x)eq r(2)sineq f(x,2)eq f(,4).又1sineq f(x,2)eq f(,4)1，所以f(x)的最大值為eq r(2)，此時(shí)eq f(x,2)eq f(,4)eq f(,2)2k，kZ，即xeq f(3,2)4k，kZ，所以相應(yīng)的x的取值集合為xeq blc|(avs4alco1(xf(3,2)4k，)kZ.(2)依題意得

19、，feq f(,8)eq r(2)sineq f(,8)eq f(,4)0，即eq f(,8)eq f(,4)k，kZ，所以8k2.又010，即08k210，所以eq f(1,4)k1.又kZ，所以k0，所以2，所以f(x)eq r(2)sin2xeq f(,4)，故f(x)的最小正周期為.13已知函數(shù)f(x)cos2sin2x.(1)求f的值；(2)若對(duì)于任意的x，都有f(x)c，求實(shí)數(shù)c的取值范圍13解：f(x)eq f(1cos2xf(,3),2)eq f(1cos 2x,2)eq f(1,2)cos2xeq f(,3)cos 2xeq f(1,2)eq f(1,2)cos 2xeq f

20、(r(3),2)sin 2xcos 2xeq f(1,2)eq f(r(3),2)sin 2xeq f(3,2)cos 2xeq f(r(3),2)eq f(1,2)sin 2xeq f(r(3),2)cos 2xeq f(r(3),2)sin2xeq f(,3).(1)feq f(,12)eq f(r(3),2)sineq f(,6)eq f(,3)eq f(r(3),2)sineq f(,2)eq f(r(3),2).(2)由x0，eq f(,2)，知2xeq f(,3)eq f(,3)，eq f(4,3)，所以當(dāng)2xeq f(,3)eq f(,2)，即xeq f(,12)時(shí)，f(x)ma

21、xfeq f(,12)eq f(r(3),2)，所以c的取值范圍為eq f(r(3),2)，.14.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且a2sin A，eq f(cos B,cos C)eq f(2a,c)eq f(b,c)0.(1)求c的值； (2)求ABC面積的最大值14解：(1)eq f(cos B,cos C)eq f(2a,c)eq f(b,c)0，ccos B2acos Cbcos C0，sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos C0，sin A2sin Acos C0.sin A0，cos Ceq f(1,2)，Ceq f(2,3)，ceq f(a

22、,sin A)sin Ceq r(3).(2)cos Ceq f(1,2)eq f(a2b23,2ab)，a2b2ab3，3ab3，即ab1，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)，取等號(hào)，SABCeq f(1,2)absin Ceq f(r(3),4)，ABC面積的最大值為eq f(r(3),4). AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 5在ABC中,a=3,b=2,B=2A.( = 1 * ROMAN I)求cosA的值; ( = 2 * ROMAN II)求c的值.解:( = 1 * ROMAN I)因?yàn)閍=3,b=2,B=2A. 所以在ABC中,由正弦定理得.所以.故. ( = 2

23、* ROMAN II)由( = 1 * ROMAN I)知,所以.又因?yàn)锽=2A,所以.所以. 在ABC中,. 所以. 16已知向量, 設(shè)函數(shù). () 求f(x)的最小正周期. () 求f(x) 在上的最大值和最小值. 解:() =. 最小正周期. 所以最小正周期為. (). . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分別為. 17在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別是,且.(1)求; (2)設(shè),求的值. 由題意得 18已知函數(shù). () 求f(x)的最小正周期; () 求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 19設(shè)向量( = 1 * ROMAN I)若 ( = 2 * ROMAN II)設(shè)函數(shù) AUTONUM

24、* Arabic * MERGEFORMAT 0.已知函數(shù),其中常數(shù);(1)若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;(2)令,將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)的圖像,區(qū)間(且)滿足:在上至少含有30個(gè)零點(diǎn),在所有滿足上述條件的中,求的最小值.(1)因?yàn)?根據(jù)題意有 (2) , 或, 即的零點(diǎn)相離間隔依次為和, 故若在上至少含有30個(gè)零點(diǎn),則的最小值為. 21設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,.( = 1 * ROMAN I)求 ( = 2 * ROMAN II)若,求. 22.在中,角的對(duì)邊分別為,且.()求的值;()若,求向量在方向上的投影.解:由,得 , 即, 則,即 由,得, 由正弦定

25、理,有,所以,. 由題知,則,故. 根據(jù)余弦定理,有, 解得或(舍去). 故向量在方向上的投影為 2 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且,.()求的值; ()求的值.解:()由余弦定理,得, 又,所以,解得,. ()在中, 由正弦定理得 , 因?yàn)?所以為銳角,所以 因此 . 2 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知函數(shù)的最小正周期為.()求的值; ()討論在區(qū)間上的單調(diào)性.解:() .所以 () 所以 2 AUTONUM * Arabic * MERGEFORMAT 已知,.(1)若,求證:;(2)設(shè),若,求的值.解: