復(fù)合材料力學(xué)

1、 第九章復(fù)合材料力學(xué)材料力學(xué)的任務(wù)是研究均勻、各向同性材料在外力作用下的變形、受力和破壞的規(guī)律。為合理設(shè)計(jì)構(gòu)件提供有關(guān)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性分析的基本理論和方法。自20世紀(jì)40年代開(kāi)始，現(xiàn)代復(fù)合材料得到了飛速發(fā)展，這種由兩種或兩種以上組分材料復(fù)合而成的多相材料，其物理、化學(xué)、力學(xué)等性能，滿(mǎn)足了任何單一材料都難以滿(mǎn)足的性能要求。然而，這種復(fù)合材料在外力作用下的變形、受力和破壞的規(guī)律已不同于像傳統(tǒng)金屬材料那樣的規(guī)律，因此復(fù)合材料力學(xué)就是研究這種新型的材料在外力作用下的變形、受力和破壞規(guī)律，為合理設(shè)計(jì)復(fù)合材料構(gòu)件提供有關(guān)強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性分析的基本理論和方法。本章介紹的復(fù)合材料力學(xué)是以纖維和塑料組成的纖

2、維增強(qiáng)復(fù)合材料為主要對(duì)象的，主要介紹連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料在外力作用下的變形、受力和破壞的規(guī)律。各向異性體彈性力學(xué)基礎(chǔ)傳統(tǒng)的金屬材料一般看作是各向同性體，通常在彈性范圍內(nèi)研究其變形和受力采用的是各向同性體彈性力學(xué)。然而纖維增強(qiáng)復(fù)合材料最常用的是層合板結(jié)構(gòu)形式，即由纖維和基體組成一種鋪層（或稱(chēng)單層），并以不同方向?qū)雍隙梢环N多向?qū)雍习澹ㄈ绻环N鋪層都處于同一方向稱(chēng)為單向?qū)雍习澹?。這種層合板成為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件的基本單元，而鋪層是層合板的基本單元。因此本章介紹復(fù)合材料的剛度與強(qiáng)度，是從介紹鋪層的剛度與強(qiáng)度開(kāi)始，然后介紹多向?qū)雍习宓膭偠群蛷?qiáng)度。鋪層是由無(wú)緯布或交織布經(jīng)預(yù)浸膠處理并按實(shí)際結(jié)構(gòu)件的形狀及構(gòu)

3、成多向?qū)雍习逅?guī)定的方向進(jìn)行鋪設(shè)，然后加溫（或常溫）固化制成。所以鋪層、層合板和復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件是一次完成的一般的鋪層（無(wú)論是無(wú)緯布或交織布形成的）是正交各向異性的，即具有兩個(gè)相互垂直的彈性對(duì)稱(chēng)面。因此復(fù)合材料不同于金屬材料，它具有各向異性的彈性特性，為此首先要對(duì)各向異性體彈性力學(xué)作一簡(jiǎn)要介紹。各向異性體彈性力學(xué)與各向同性體彈性力學(xué)的主要差別，僅在于應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的不同，而解決彈性力學(xué)問(wèn)題還需涉及的平衡方程、幾何方程、協(xié)調(diào)方程和邊界條件等，則完全相同。這是由于在這里，假設(shè)鋪層也是連續(xù)的、均勻的（不考慮鋪層組分材料各自的性能差別及其相互作用，而將兩相材料的影響反映在平均的表觀(guān)性能上）、線(xiàn)彈性的和小

4、變形的。所以，本節(jié)只對(duì)各向異性體彈性力學(xué)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系作簡(jiǎn)單的介紹。踐9-1三維應(yīng)力狀慫的應(yīng)力分it各向異性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系一般情況一般情況下，均勻連續(xù)體中的任意一點(diǎn)所取出的單元體具有圖9-1所示的三維應(yīng)力狀態(tài)。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)力分量所確定，而同一點(diǎn)附近的變形狀態(tài)由6個(gè)應(yīng)變分童所確定。由于將鋪層看作是均勻的、連續(xù)的，且在線(xiàn)彈性、小變形情況下，應(yīng)力與應(yīng)變可以取如下線(xiàn)性關(guān)系式，稱(chēng)為應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式為G=呈|6+珀亠S+|宀，Me冷一懇“叭+$t時(shí)，r&川=I占*J壽r丄+&課匚，匕乩億十，皿I-S2,ac卜亠J、=+耳訂巧打r=Sg5j.軋兀十SuTj,-l應(yīng)尹“+幾“F“百：,：6+弘

5、兒J口竹亂心-STrr弘:“廠(chǎng)，=弘兀+算+5s；r,+乩心十吾応=亠2“(&-1)或改寫(xiě)成應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式為 09) 式（9-1）和式（9-2）可分別簡(jiǎn)寫(xiě)成或分別簡(jiǎn)寫(xiě)成張量形式為匕一特-1.2乩卩-引并-CGJ：1,器3仁介心汀幻其中S稱(chēng)為柔量分量，C稱(chēng)為模量分量。TOC o 1-5 h zijij顯然，模量分量構(gòu)成的矩陣與柔量分量構(gòu)成的矩陣是互逆的，即C/-:S-1iFI（9-7）模量分量與柔量分量稱(chēng)為彈性系數(shù)。各向異性體的彈性系數(shù)共有36個(gè)。實(shí)際上，獨(dú)立的彈性系數(shù)只有21個(gè)，因?yàn)槟Ａ炕蛉崃看嬖趯?duì)稱(chēng)性，即c=CS二Sijjiijji面給予簡(jiǎn)要的說(shuō)明。9-8)根據(jù)線(xiàn)彈性假設(shè)，各向異性彈性體在

6、受到應(yīng)力而引起應(yīng)變時(shí)，所儲(chǔ)存的單位體積的彈性應(yīng)變能w為+叫勺卜巧勺+叭十+p5eB）這是用應(yīng)變分量來(lái)表示的單位體積的彈性應(yīng)變能，是的單值連續(xù)函數(shù)，則dw為w的全微分可表達(dá)為另一方面，單位體積上的應(yīng)力-，石，石在應(yīng)變，1261-，-有微小變化d-,d,d-時(shí)，則此單位26126體積的應(yīng)變能增量dw為叭d哥十4-Pjdtj+a4dt4+忑題亠C9-11)將式（9-10）與式（9-11）比較，可得(9-12)=-d-11于是由式（9-2）得由式（9-13）對(duì)不同的應(yīng)變?cè)偃∫淮螌?dǎo)數(shù)，得般來(lái)說(shuō)，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)兩個(gè)變量求導(dǎo)時(shí)，與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān)，即ataTfat,所以，同理也可證明，可見(jiàn)模量分量和柔量分量的矩陣

7、都是對(duì)稱(chēng)的，也就是說(shuō)，獨(dú)立的彈性系數(shù)實(shí)際只有21個(gè)。當(dāng)鋪層在任意坐標(biāo)系卿：下時(shí)（如圖9-2所示）其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系即為此情況。9.1.1.2有一彈性對(duì)稱(chēng)面情況當(dāng)xoy面為彈性對(duì)稱(chēng)面時(shí)，將垂直于彈性對(duì)稱(chēng)面的方向稱(chēng)為材料主方向，或稱(chēng)為彈性主軸，此時(shí)z軸即為彈性主軸。在存在一個(gè)彈性主軸的情況下，利用彈性主軸方向改變彈性性能不變的原理可以證明式（9-1）和式（9-2）中的下列系數(shù)為零因而得到有一彈性對(duì)稱(chēng)面情況的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式為6321或應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式為式（9-16）和式（9-17）中，獨(dú)立的彈性系數(shù)減少為13個(gè)。當(dāng)鋪層面為xoy坐標(biāo)面坐標(biāo)z軸為垂直于鋪層面的坐標(biāo)時(shí)，則xoy平面為彈性對(duì)稱(chēng)面，z軸為彈性

8、主軸時(shí)（如圖9-3）,其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系即為此情況。S9-3在有彈性對(duì)稱(chēng)面情況的鋪層9113正交各向異性的情況正交各向異性系指有三個(gè)互相垂直的彈性對(duì)稱(chēng)面（可以證明，具有兩個(gè)互相垂直的彈性對(duì)稱(chēng)面必存在另一個(gè)與之垂直的彈性對(duì)稱(chēng)面），也即有三個(gè)互相垂直的彈性主軸同樣利用彈性主軸方向改變彈性性能不變的原理可以證明式（9-16）和式（9-17）中的下列系數(shù)為零C越C翱=0（918m=SmS3?=出50（9-19）由于垂直于彈性對(duì)稱(chēng)面的方向?yàn)椴牧现鞣较?，本?jié)情況的坐標(biāo)也正好設(shè)在三個(gè)材料主方向上，根據(jù)一般的習(xí)慣，材料主方向采用1,2,3,故改用坐標(biāo)系1,2,3,彈性系數(shù)的上方也不加“-”，故得正交各向異性悄況

9、的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式如下：2Q)或應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式為T(mén)OC o 1-5 h z九sxt5ia0鈴uS*、0000050000（51）獨(dú)立的彈性系數(shù)減少為-000Q式（9-20）和式（9-21）中，9個(gè)。當(dāng)鋪層的三個(gè)相互垂直的材料主方向以1,2,3為坐標(biāo)時(shí)（如圖9-4所示），其應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系即為此情況。圖卜4在止交各向異性悟況的鋪層9114橫向各向同性的情況若2-3坐標(biāo)面為各向同性面，即在這個(gè)平面的一切方向，彈性性能均相同，則稱(chēng)為橫向各向同性的情況。在此情況下利用在2-3面各向同性時(shí)有關(guān)彈性系數(shù)之間的關(guān)系，可得如下關(guān)系5Ji!Q=44=QflG=CCt!Cjjj/j(9-22)i3Sn=S5&a5h

10、S理=2(5215)C&-23)所以橫向各向同性情況的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式在式(9-20)的基礎(chǔ)上變?yōu)镃Cuct3000CnC?J000qCu匚!7000000Ct；一匸為Q0r310000匸舸04Sit.Lo00007urC&-24）或在式（9-21）的基礎(chǔ)上應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式變?yōu)?000i000卜N斗*jr000000000Q00九0r,%.0Q000S嘰Km（9-25）在式（9-24）和式（9-25）中，獨(dú)立的彈性系數(shù)減少為5個(gè)。鋪層可以由無(wú)緯布或交織布制成的，前面介紹的幾種情況，無(wú)論是無(wú)緯布或交織布形成的鋪層都適用然而橫向各向同性情況，一般只適用于無(wú)緯鋪層的情況，當(dāng)無(wú)緯布鋪層的纖維方向?yàn)?方

11、向時(shí)，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系即為此情況。9.1.1.5各向同性的情況若為各向同性的情況，在橫向各向同性情況基礎(chǔ)上可得如下關(guān)系ILLG*-(&r-Cfifl-(t.nC-j5/2(9-26)比i褊附尸幾S”屍(SbSa)(9-27)所以各向同性情況的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式在式(9-24)的基礎(chǔ)上變?yōu)?00o-ffl】CnC】e*000=CjlCi000fa000(9-28)r,i0000(CLfCj2)/201%.-00Q00CiiCij)/2-.J-或在式(9-25)的基礎(chǔ)上應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式變?yōu)橛蛇B續(xù)纖維增強(qiáng)塑料制成的鋪層很難成為各向同性的。即使在鋪層面內(nèi)可制成具有各向同性彈性性能的，但垂直于鋪層方向的彈

12、性性能一般是不與之相同的。通常，隨機(jī)分布的非連續(xù)纖維增強(qiáng)塑料有可能成為具有各向同性性能的。CVCbP|I|上丄A八工程彈性常數(shù)與模量分量、柔量分量之間的關(guān)系上一節(jié)討論各向異性體應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系時(shí)出現(xiàn)的是用模量分量和柔量分量來(lái)表達(dá)的彈性系數(shù)，工程上還常用工程彈性常數(shù)來(lái)表達(dá)。工程彈性常數(shù)是由簡(jiǎn)單試驗(yàn)(即單軸試驗(yàn)和純剪試驗(yàn))測(cè)得的，他們是簡(jiǎn)單試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的系數(shù)。所以它們?cè)诿枋龈飨虍愋泽w材料剛度性能的物理意義上是比較清楚的。以正交各向異性情況為例，根據(jù)單軸試驗(yàn)和純剪試驗(yàn)可以確定工程彈性常數(shù)與柔量分量之間有如下關(guān)系1石A1鬲丄m二_=P如=一黔旳|=一孌(9-30)吋=一證v=(31)如=_瓷師=_戸9

13、-32)G=石G卅三點(diǎn)(9-33)疋中弗J雖井別為叭2t3主方向上的拉壓弾性模量/切一單軸癥力崔，方向作用時(shí)（即哲以外的應(yīng)力分試均為零引起F方向應(yīng)變的泊松耦合系數(shù)或稱(chēng)泊松出h%GgG誼一分別為茁誨3K1-2平面的剪切i彈性模母口根據(jù)式（98）可以得到1.2,3)=2rt3rtjZ_2Gi2叫血或心=T1M7TTjFfI-JKTj9-泗彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)換方式利用式（9-39）和式（9-40）可以得到如下的彈性系數(shù)的轉(zhuǎn)換公式C丁=（5-4DST=TlgHF丑（942）式中可與同分別對(duì)應(yīng)于x，y，z坐標(biāo)系下的模量矩陣和柔量矩陣；c與卜分別對(duì)應(yīng)于x,y,z坐標(biāo)系下的模量矩陣與柔量矩陣，門(mén)與門(mén)分別由式（9-

14、39）和式（9-40）給出，分別為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣與應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣,門(mén)t與門(mén)t分別為它們各自的轉(zhuǎn)換矩陣。b前已說(shuō)明，各向異性體彈性力學(xué)與各向同性體彈性力學(xué)主要差別僅在于應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的不同，所以較多地介紹了這方面的內(nèi)容。至于完整了解各向異性體彈性力學(xué)，還要給出平衡方程、幾何方程、應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和邊界條件等?？紤]到這涉及結(jié)構(gòu)分析，故在第十章再作介紹。92復(fù)合材料的剛度本節(jié)介紹復(fù)合材料的剛度是指鋪層的剛度和層合板的剛度。由于層合板的剛度是在已知鋪層剛度的基礎(chǔ)上分析的，因此先介紹鋪層剛度后敘述層合板剛度。鋪層的剛度在工程上，通常層合板的厚度與結(jié)構(gòu)的其它尺寸相比較小，因此，在復(fù)合材料分析與設(shè)計(jì)中通常是將鋪層假

15、役為平面應(yīng)力狀態(tài)，即認(rèn)為只考慮。，o，工等面內(nèi)應(yīng)力分量。對(duì)于這種平xyxy面應(yīng)力狀態(tài)情況，9.1.1節(jié)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系將得到較大的簡(jiǎn)化。鋪層的正軸剛度鋪層材料主方向的剛度稱(chēng)為鋪層的正軸剛度。鋪層在正軸下平面應(yīng)力狀態(tài)即為=rI3=r,0（9-44）所以式（9-20）的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可簡(jiǎn)化為式中Qij稱(chēng)為正軸下的平面應(yīng)力狀態(tài)模量，其與式9-20）中的Cij有如下關(guān)系式而式（9-21）的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系式，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，其柔量分量不變，即類(lèi)似于式（9-8），同樣存在對(duì)稱(chēng)性，即 Qrj=QjiStf=S鋪層在正軸下平面應(yīng)力狀態(tài)時(shí)單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力所得應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的系數(shù)即為鋪層的正軸工程彈性常數(shù)。與

16、式（9-30）至式（9-33）類(lèi)似推得E、=l臨=町=亍巴=J-也三込=製0式（9-53）連同式（9-50）稱(chēng)為正交各向異性體材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下的限制條件。綜上所述，鋪層在三維情況下的正軸剛度有三種表達(dá)形式，式（9-20）給出模量分量Cij（i,j=1,2,3,4,5,6），式（9-21）給出柔量分量Sij（i,j=1,2,3,4,5,6），以及式（9-30）至（9-33）給出工程彈性常數(shù)；而鋪層在平面應(yīng)力狀態(tài)下的正軸剛度也有三種表達(dá)形式，式（9-45）給出的模量分量Qij（i，j=1,2,6），式（9-47）給出的柔量分量Sij（i，j=1,2,6），以及式（9-49）給出的工程彈性常數(shù)。

17、事實(shí)上，鋪層的模量分量是Cij,而Qij是在平面應(yīng)力狀態(tài)下的模量分量，它們之間有關(guān)系式（9-46），故Qij也稱(chēng)為折算模量分量。一般鋪層是正交各向異性的，它們有五個(gè)工程彈性常數(shù)，見(jiàn)式（9-49），由于有關(guān)系式（9-50），所以獨(dú)立的工程彈性常數(shù)是4個(gè)，實(shí)際側(cè)試時(shí)只要測(cè)4個(gè)即可。在工程實(shí)際中，還常遇到一種縱向和橫向彈性性能相同的鋪層，如由1：1經(jīng)緯交織布形成的鋪層就是如此，它們還存在如下關(guān)系式：Qu=Q吐=S曄0-54)ft=耳這種鋪層稱(chēng)為正交對(duì)稱(chēng)鋪層。這種材料的獨(dú)立彈性常數(shù)只有3個(gè)。在工程實(shí)際中，還可遇到一種鋪層面內(nèi)任意方向彈性性能均相同的鋪層，如由相同的三股紗彼此相隔60O編織而成的鋪層就是

18、如此，它們又存在如下關(guān)系式：(9-55)2(1+旳)這種鋪層稱(chēng)為準(zhǔn)各向同性鋪層。這種材料的獨(dú)立彈性常數(shù)只有2個(gè)，如同金屬材料。但垂直于鋪層方向的彈性性能并不與鋪層面內(nèi)的彈性性能相同。鋪層的偏軸剛度鋪層的偏軸剛度為鋪層非材料主方向的剛度。如圖9-6所示，1，2為材料的主方向，x，y向稱(chēng)為偏軸向。兩者的夾角稱(chēng)為鋪層角，規(guī)定X軸到1軸，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)。鋪層的偏軸剛度是由偏軸下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系確定的。它是通過(guò)應(yīng)力與應(yīng)變的轉(zhuǎn)換，將正軸下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（或應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系）變?yōu)槠S下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系（或應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系）得到的。圖頭6鋪層的偏軸方向1、應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式在如圖9-6所示的情況下，式

19、（9-39）的應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式就可化簡(jiǎn)為這是由偏軸應(yīng)力求正軸應(yīng)力的公式。復(fù)合材料中的轉(zhuǎn)換通常主要是在正軸與偏軸之間的轉(zhuǎn)換。如果由正軸應(yīng)力求偏軸應(yīng)力則需用如下公式：這里m，n同式（5-57）。 這里還需說(shuō)明的是，上述約定應(yīng)力的符號(hào)規(guī)則是，正面正向或負(fù)面負(fù)向均為正，否則為負(fù)。所謂面的正負(fù)是指該面外法線(xiàn)方向與坐標(biāo)方向同向還是反向。所謂向的正負(fù)是指應(yīng)力方向與坐標(biāo)方向同向還是反向。圖9-6示出的應(yīng)力分量均為正。2、應(yīng)變轉(zhuǎn)換公式在如圖9-6所示的情況下，式（9-40）的應(yīng)變轉(zhuǎn)換公式就可化簡(jiǎn)為式中m，n同式9-57）。同樣，由正軸應(yīng)變求偏軸應(yīng)變的公式為所示的偏軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。這里也需說(shuō)明的是，上述約定應(yīng)變的特號(hào)

20、規(guī)則是，線(xiàn)應(yīng)變伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)，剪應(yīng)變是與兩個(gè)坐標(biāo)方向一致的直角變小為正，變大為負(fù)。3、鋪層的偏軸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如果將式（9-58）中的正軸應(yīng)力用式（9-45）代人，然后再將正軸應(yīng)變用式（9-59）代入，即可得如式（9-61）該式還可簡(jiǎn)寫(xiě)成式中，q（i,j=l,2,6）稱(chēng)為偏軸模量分量。ij4、偏軸模量轉(zhuǎn)換公式如果將式（9-61）中的系數(shù)矩陣作出乘法運(yùn)算，并與式（9-62）中的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)起來(lái)，即可得如式9-63）所示的由正軸模量求偏軸模量的模量轉(zhuǎn)換公*卅AfltVm42min1mVm*+w*4m咕*討ff12耐計(jì)Gnk-*mnwin1manatrnn3wtbt)Lwirt*twmmr2kr

21、rtlnmni)_式中，m=cos0，(9-63)式。n二sin0與前面所述相同。這里Q=Q，ijji即偏軸模量仍具有對(duì)稱(chēng)性，所以式（9-63）中偏軸模量只需列出6個(gè)。圖9-7與圖9-8分別給出碳環(huán)氧材料T3005208的Q的分量隨0的變化曲線(xiàn)。圖中所有值都是關(guān)于對(duì)其最大值作正則化的。Ira施心-曲二昶-s；”?710M9-7T處533僞軸轉(zhuǎn)層的正贈(zèng)化圉*TT3OO/520BtS誦層的正則優(yōu)殆“衛(wèi)”矗劉5、鋪層的偏軸應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系如果將式（9-60）中的正軸應(yīng)變用式（9-57）代入，然后再將正軸應(yīng)力用式（9-56）代入，即可得式（9-64）所示的偏軸應(yīng)變一應(yīng)力關(guān)系。式（9-64）簡(jiǎn)寫(xiě)成式中，S

22、（i,j=1,2,6）稱(chēng)為偏軸柔量分量。ij6、偏軸柔量轉(zhuǎn)換公式如果將式（9-64）中的系數(shù)矩陣作出乘法運(yùn)算，并與式（9-65）中的系數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)起來(lái)，即可得如式（9-66）所示由正軸柔量求偏軸柔量的柔量轉(zhuǎn)換公式。*2mawsmJnJnH*m*11曲護(hù)m*+n*Pl2BfWh14昇一gmFm*-n1)12mJn伽滬2(mnJ一i3h)揭?guī)塶r3n_2mnl2manmn1)nraja一橄沖日_11式中，m二cos0，n二sin0也與前面所述相同。這里S，ijji即偏軸柔量仍具有對(duì)稱(chēng)性，所以式(9-66)中偏軸柔量只需列出6個(gè)。7、偏軸模量與偏軸柔量之間的關(guān)系與正軸時(shí)模量與柔量存在互逆關(guān)系一樣P=Q

23、(9-67)根據(jù)矩陣的求逆規(guī)則，可得Wit=(QilQh-Si)/|Q|陽(yáng)=(QmQmQsiQfli)/01(JJiiQn弘hQ皿屈G/IQIE託=cQiiOwQijQmVIQI1=+2llQiQj一為*一ChQL8、鋪層的偏軸工程彈性常數(shù)鋪層的偏軸工程彈性常數(shù)是鋪層在偏軸下由單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力確定的剛度性能參數(shù)。利用式(9-65給出的偏軸應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系，求偏軸向時(shí)單軸應(yīng)力或純剪應(yīng)力下的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系，即可求得偏軸工程彈性常數(shù)與偏軸柔量之間的關(guān)系式中向的拉壓聲性模量.Gpa：%尹向拉壓尊性樓金，GPafG斗一縱攢剪切彈性摸誥.GPat%工向気起y向的泊松耦合系數(shù)；町y向引起工向的泊松耦合系數(shù)卡

24、可芒向拉剪耦合系數(shù)Iy向拉剪耦合系數(shù)卡Z一記向剪拉耦合累JRi“，向剪拉耦合系數(shù)。由于柔量分量的對(duì)稱(chēng)性，SS,所以偏軸工程彈性常ijji數(shù)具有如下關(guān)系式*，兀久GrtVytftyG巧9、偏軸工程彈性常數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系偏軸工程彈性常數(shù)與正軸工程彈性常數(shù)之間不能得到象式（9-63）那樣的模量轉(zhuǎn)換公式和式（9-66）那樣的柔量轉(zhuǎn)換公式，但可以利用式（9-69）和柔量轉(zhuǎn)換公式（9-66）以及正軸柔量與正軸工程彈性常數(shù)之間的關(guān)系式（9-49）得到如下由正軸工程彈性常數(shù)求偏軸工程彈性常數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系：-omM+誓伽F+皿切-（書(shū)十Q右”ii?恥聊#Wn增+aV)怯十盒右卜in，先甲叫=E占jsinftos1si

25、nafco$一耳=匕7任+瓦(務(wù)一警卜訛丄血加弔+g$in輩(學(xué)”in峽008+-sin4費(fèi)-卜討址曲0+-(sin1+ccs)占鈿一J_tiGn魚(yú)亠空1._L瓦十石耳魚(yú)十型_2(9-71)訂叫百專(zhuān)=町（養(yǎng)+sinftzas3ff式中，m=cos0，1_瓦siiiJfcd50冷亠醫(yī)僉）n=sin0。由于偏軸工程彈性常數(shù)由4個(gè)正軸工程彈性常數(shù)確定，具體材料不同，其4個(gè)常數(shù)般均會(huì)有所變化，因此必須針對(duì)具體材料畫(huà)出其偏軸工程彈性常數(shù)隨0的變化曲線(xiàn)，才能了解其偏軸工程彈性常數(shù)的變化規(guī)律。圖9-9與圖9-10分別給出碳環(huán)氧材料T300/5208的各偏軸工程彈性常數(shù)隨0的變化曲線(xiàn)。圖中的所有值對(duì)其最大值作

26、正則化的。彈性模量Ex在纖維方向是最大的，但隨偏軸方向增大很快下降。這種T300/5208材料的縱向和橫向模量的比值要大于12。剪切模量Gxy變化很小，并且在0=45處達(dá)到它的最大值。泊松比和拉剪耦合系數(shù)H變化很大。泊松比總是xy,x正的，而耳可正可負(fù)，隨偏軸方向而定。對(duì)于T300 xy,x5208，泊松比從0.372的最大值至0.019的最小值 范圍內(nèi)變化。拉剪耦合系縱變化很大，最大值和最xy,x小值則分別為在12。處和2.14。00-7W0.500層合板的剛度本節(jié)介紹層合板剛度是建立在經(jīng)典層合理論基礎(chǔ)上，即假設(shè)層合板由連續(xù)、均勻、正交各向異性的鋪層構(gòu)成的一種連續(xù)性材料，并假設(shè)各鋪層之間是完

27、全緊密粘接的，即忽略層間的影晌，變形符合直法線(xiàn)假設(shè)，且限于線(xiàn)彈性、小變形情況，各鋪層按平面應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算，并忽略。通常在復(fù)合材料設(shè)計(jì)中這樣處x理是合適的。9.2.2.1層合板的應(yīng)變根據(jù)直法線(xiàn)假設(shè)，層合板中面法線(xiàn)變形后仍然為直線(xiàn)并垂直于變形后的中面，而且中面法線(xiàn)的長(zhǎng)度不Yxy變。在這假設(shè)下，離中面任意距離z的應(yīng)變,x為中面應(yīng)變與在x，y向的中面位移u，v有如下0o關(guān)系：而中面曲率與在z向的中面位移w有如下關(guān)系:*-=BV醫(yī)5）9222層合板的內(nèi)力層合板的內(nèi)力包括面內(nèi)力和彎矩（包括扭矩），見(jiàn)圖9-11（xoy面在層合板中面處）。它們的定義如下圖9-11層合扳的厠內(nèi)力和齊審留示方向均為） 層合板的內(nèi)力

28、-應(yīng)變關(guān)系式綜合上述內(nèi)力和應(yīng)變即可給出層合板的內(nèi)力應(yīng)變關(guān)系式：式中，A,B和D中各分量由下式給出:電嚴(yán);drG,；-l.2.6：%I：皿1hJ=ltb?（9-丁心Aij稱(chēng)為面內(nèi)剛度系數(shù)，Bij稱(chēng)為耦合剛度系數(shù)，Dij稱(chēng)為彎曲剛度系數(shù)。Aij=Aji,Bij=Bji,Dij=Djio式（9-83）還可相反地表示成：式申一面內(nèi)柔度矩暉，“r一也（D如的-民n耦合柔度矩陣.fl-aBCDt彎曲柔度矩陣*-面內(nèi)剛童矩陣的逆鉅陣，即&=人-.若鋪層的鋪設(shè)順序關(guān)于中面不是對(duì)稱(chēng)的，則B陣不恒等于零。彎曲和拉伸之間存在耦合作用。例如設(shè)非對(duì)稱(chēng)層合板受有面內(nèi)力N，則得其曲率為忠=少z鋼同樣，僅受有彎矩M會(huì)得到中面

29、應(yīng)變:特殊層合板為了討論方便起見(jiàn)，以下假定構(gòu)成層合板的所有鋪層由同一復(fù)合材料制成，且有相同的厚度。1、對(duì)稱(chēng)層合板對(duì)稱(chēng)層合板從中面向上或向下觀(guān)察各鋪層方向，其鋪設(shè)順序是相同的，即關(guān)于中面是鏡面對(duì)稱(chēng)的。此時(shí)Bij恒等于零，故不存在拉-彎之間的耦合作用，即有:門(mén)(9-82)W打T出9S31于對(duì)稱(chēng)層合板，面內(nèi)行為也可寫(xiě)成如下形式：.e?-3UCS-34)彎曲行為可寫(xiě)成如下形式：亠WWi(985式中d-對(duì)稱(chēng)層合板的考曲柔度矩陣，d=D-1。如同定義鋪層的工程彈性常數(shù)一樣，利用單軸層合板應(yīng)力或純剪層合板應(yīng)力可定義對(duì)稱(chēng)層合板的面內(nèi)工程彈性常數(shù)。為此需先設(shè)y；-零n；-牛.V；,-牛這里帶*的層合板面內(nèi)力稱(chēng)為

30、正則化面內(nèi)力，即為層合板應(yīng)力，它們是應(yīng)力的量綱。這樣，就可得到類(lèi)似于鋪層工程彈性常數(shù)的對(duì)稱(chēng)層合板面內(nèi)工程彈性常數(shù)（右上角冠以0以示與鋪層的區(qū)別）與面內(nèi)柔度系數(shù)之間的關(guān)系式：2、對(duì)稱(chēng)均衡層合板對(duì)稱(chēng)均衡層合板是_e鋪層數(shù)和+e鋪層數(shù)為相同的對(duì)稱(chēng)層合板。在這種情況A和A系數(shù)為零。因?yàn)镼和1626Q16Q關(guān)于e是奇函數(shù)（見(jiàn)圖9-8），它的總和為零。所以,26拉伸和剪切之間無(wú)耦合作用。均衡層合板還可以包含任意量的00和900層。因?yàn)?6分量和26分量對(duì)于這些鋪層方向恒等于零。3、對(duì)稱(chēng)均衡斜交層合板對(duì)稱(chēng)均衡斜交層合板是僅由相同數(shù)量的_e鋪層和+e鋪層的對(duì)稱(chēng)均衡層合板。這類(lèi)層合板能清楚地給出鋪層方向?qū)雍习?/p>

31、性能的影響。圖9-12-圖9-14給出了這類(lèi)層合板工程彈性常數(shù)隨鋪層方向的變化。D.Qirs.oio.oT3OC75208的Ml紬葡民的E腳對(duì)靜cm14rwWJf士外h訂*1oio鈾*心qnnnnrar519-nTaoommwwffl的旳時(shí)耕均厠弭克層含樁的或的H較0.W4、對(duì)稱(chēng)正交層合板對(duì)稱(chēng)正交層合板是指只含有00和900鋪層的對(duì)稱(chēng)層合板。這種層合板除B矩陣為零外，在A和四矩陣中的所有16和26分量均為零，因此層合板無(wú)論在拉伸和彎曲時(shí)均為正交各向異性的，也即面內(nèi)變形的拉伸與剪切之間無(wú)耦合作用，彎曲變形時(shí)彎曲與扭轉(zhuǎn)之間無(wú)耦合作用。5、準(zhǔn)各向同性層合板準(zhǔn)各向同性層合板是指面內(nèi)各個(gè)方向的剛度為相同

32、的對(duì)稱(chēng)層合板。這種層合板的彎曲剛度不是各向同性的。通常，由鋪層體積含量相同的m個(gè)鋪層組（對(duì)稱(chēng)層合板的m以層合板的一半計(jì)數(shù)），且m23時(shí)，將其按間隔為n/m的鋪層方向鋪設(shè)成的對(duì)稱(chēng)層合板即為準(zhǔn)各向同性層合板。無(wú)論m為多少，同一種材料組成的準(zhǔn)各向同性層合板，其面內(nèi)剛度性能是相同的。6、一般n/4層合板各個(gè)鋪層均按00,900，+450,-450方向的一種或幾種鋪設(shè)的對(duì)稱(chēng)層合板稱(chēng)為一般n/4層合板。一般n/4層合板是目前工程上主要應(yīng)用的一類(lèi)層合板。事實(shí)上，前面討論過(guò)的許多層合板，如00,900，+450,-450的單向?qū)雍习?，以?5的對(duì)稱(chēng)均衡層合板，45的對(duì)稱(chēng)均衡斜交層合板，對(duì)稱(chēng)正交層合板，按n/4

33、鋪設(shè)的準(zhǔn)各向同性層合板均屬此類(lèi)層合板。這類(lèi)層合板的不同鋪設(shè)情況，即各定向?qū)影煌w積含量所得的面內(nèi)工程彈性常數(shù)的變化規(guī)律的例子，見(jiàn)圖9-15圖9-17。 J3Q40sfc1話(huà)JM81牡】sT300/*H嚴(yán)/4均術(shù)itf層合換瓷的變ft曲鎌;4V1表明作用應(yīng)力為安全值，具體來(lái)說(shuō)，R-1表明作用應(yīng)力到鋪層失效時(shí)尚可增加的應(yīng)力倍數(shù)；R=1表明作用的應(yīng)力正好達(dá)到極限值；Rl表明作用應(yīng)力超過(guò)極限應(yīng)力，所以沒(méi)有實(shí)際意義，但設(shè)計(jì)計(jì)算中出現(xiàn)Rl仍然是有用的，它表明必須使作用應(yīng)力下降，或加大有關(guān)結(jié)構(gòu)尺寸。2、強(qiáng)度比方程如果應(yīng)力分量使表達(dá)式（9-89）正好滿(mǎn)足，則此應(yīng)力分量為極限應(yīng)力分量，為此利用式（9-90）

34、可使蔡-胡失效準(zhǔn)則表達(dá)式（9-89）變?yōu)槠鋵?duì)應(yīng)的強(qiáng)度比方程（風(fēng)屍趙應(yīng)+F（j夙）FjSi）R-WO盟、此式是一元二次方程，由此可解得兩個(gè)根：一個(gè)是正根，它是對(duì)應(yīng)于給定應(yīng)力分量的；另一個(gè)是負(fù)根按照強(qiáng)度比的定義，強(qiáng)度比是不應(yīng)有負(fù)值的，而這里的負(fù)根，只是表明它的絕對(duì)值是對(duì)應(yīng)于與給定應(yīng)力分盤(pán)大小相同而符號(hào)相反的應(yīng)力分量的強(qiáng)度比。由此再利用強(qiáng)度比的定義式（9-91）即可求得極限應(yīng)力各分量，即該作用應(yīng)力狀態(tài)下按比例加載時(shí)的鋪層強(qiáng)度，或確定極限載荷。層合板的強(qiáng)度層合板有三種不同的失效形式：分層、基體失效和纖維失效，而通常存在多種失效形式，所以確定層合板的強(qiáng)度要比各向同性材料（如金屬）要復(fù)雜得多。通常估算復(fù)合

35、材料層合板強(qiáng)度有兩種可能選擇的方法一種方法是，將層合板看作一個(gè)單一材料，強(qiáng)度性能是通過(guò)層合板試驗(yàn)確定的。因?yàn)橛性S多可能的層合板用這種方法多數(shù)情況是不現(xiàn)實(shí)的，另一種方法是考慮構(gòu)成層合板的各個(gè)鋪層的性能，且確定層合板強(qiáng)度是建立在各個(gè)鋪層基礎(chǔ)上的。本節(jié)就是介紹這種方法在這種方法中，通常按平面應(yīng)力狀態(tài)計(jì)算的結(jié)構(gòu)受載形式下發(fā)生的失效，主要是面內(nèi)失效。因此主要是基體失效和纖維失效，而纖維失效往往對(duì)應(yīng)于層合板的最終失效。層合板通常是由不同方向的鋪層構(gòu)成的，在外力作用下一般是逐層失效的。因此，層合板的強(qiáng)度指標(biāo)一般果用兩個(gè)：在外力作用下，層合板最先一層失效時(shí)的層合板正則化內(nèi)力（即層合板應(yīng)力）稱(chēng)為最先一層失效強(qiáng)度

36、，其對(duì)應(yīng)的載荷稱(chēng)為最先一層失效載荷，而最終失效（即層合板各鋪層全部失效）時(shí)層合板正則化內(nèi)力稱(chēng)為極限強(qiáng)度，其對(duì)應(yīng)的載荷稱(chēng)為極限載荷層合板最先一層的失效強(qiáng)度確定層合板最先一層失效強(qiáng)度必須首先作層合板的鋪層應(yīng)力分析，然后利用強(qiáng)度比方程計(jì)算層合板各個(gè)鋪層的強(qiáng)度比，強(qiáng)度比最小的鋪層最先失效，其對(duì)應(yīng)的層合板正則化內(nèi)力即為所求的最先一層失效強(qiáng)度因此首先要進(jìn)行鋪層的應(yīng)變、應(yīng)力分析。層合板的極限強(qiáng)度1、計(jì)算極限強(qiáng)度的增量法增量法是基于假定層合板失效過(guò)程的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是增量關(guān)系，按照這種增量關(guān)系計(jì)算極限強(qiáng)度的方法稱(chēng)為增量法。用增量法計(jì)算極限強(qiáng)度的框圖如圖9-19所示。2、計(jì)算極限強(qiáng)度的全量法假定層合板失效過(guò)程的

37、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為全量關(guān)系。按照這種全量關(guān)系什算極限強(qiáng)度的方法稱(chēng)為全量法。計(jì)算時(shí)要考慮各層失效的順序，但一旦失效層剛度退化后，其強(qiáng)度直接按退化后的層合板計(jì)算，而無(wú)需考慮失效時(shí)的各層應(yīng)力。所以全量法較為近似，但比增量法簡(jiǎn)便。用全量法計(jì)算極限強(qiáng)度的框圖如圖9-20所示。+；嗟合掘劇度累歡41；總呑（S.總芨？飪柱佛層應(yīng)孌好It，45MSKOJmI,各捕總越聲比；|換度出星小確層據(jù)比res-全量法卄捕舉限強(qiáng)度的松囹3、有限寬層合板測(cè)試?yán)鞆?qiáng)度的修正法層合板的濕熱效應(yīng)及其對(duì)強(qiáng)度的影響1、鋪層的濕熱變形2、鋪層包含濕熱應(yīng)變的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系3、層合板包含濕熱應(yīng)變的內(nèi)力與應(yīng)變關(guān)系4、層合板的濕熱變形5、層合板

38、的殘余應(yīng)變和殘余應(yīng)力6、考慮殘余應(yīng)力的層合板強(qiáng)度計(jì)算復(fù)合材料失效準(zhǔn)則本節(jié)復(fù)合材料失效準(zhǔn)則主要是指鋪層的失效準(zhǔn)則，它是研究因外力作用（應(yīng)力狀態(tài)）和由材料本身固有性質(zhì)所決定的因素來(lái)研究材料的破壞，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果或一定的假設(shè)推演出的材料破壞所遵循的規(guī)律稱(chēng)為強(qiáng)度理論，能反映這一理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式通常為強(qiáng)度準(zhǔn)則或失效準(zhǔn)則。鋪層材料的失效準(zhǔn)則僅僅作為“失效”的判據(jù)，它并不反映材料的破壞機(jī)理與破壞過(guò)程。失效準(zhǔn)則的一般形式是FSe=K儒109】實(shí)際上式（9-109）是應(yīng)力空間中點(diǎn)的軌跡，描繪的是應(yīng)力空間的一個(gè)曲面，在曲面包圍內(nèi)的應(yīng)力狀態(tài)材料是安全的，在曲面上或曲面外的應(yīng)力狀態(tài)將使材料發(fā)生破壞。為了形象的描述失效

39、準(zhǔn)則，通常將準(zhǔn)則方程繪成應(yīng)力空間的幾何圖形，并稱(chēng)為失效包絡(luò)面。最大應(yīng)力失效準(zhǔn)則和最大應(yīng)變失效準(zhǔn)則最大應(yīng)力失效準(zhǔn)則最大應(yīng)力失效準(zhǔn)則可敘述為：當(dāng)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下進(jìn)入破壞是由于其某個(gè)應(yīng)力分量達(dá)到了材料相應(yīng)的基本強(qiáng)度值。最大應(yīng)力失效準(zhǔn)則為jj.l-X,)S一幣N石r加心亦c9-146)式中?L3-：-o.28-J-(S-(4)剪切彈性模最G23(5)式中珀s0弭X-D，百閔泊松比v12-K2.Cu14(3-15v)(6)泊松比v23仏一：肥如“1I訂J0式中內(nèi)一：一09tmI02710劇1-欝)%*ffl外竹復(fù)含封期傷閘虜、強(qiáng)度與増命董聚示童圖9712基體開(kāi)裂剋M帕“野9基體開(kāi)裂是指在面內(nèi)載荷作用

40、下，層合板單向纖維間基體產(chǎn)生的平行于纖維方向的裂紋?；w開(kāi)裂通常是多向?qū)雍习遄钕瘸霈F(xiàn)的破壞損傷。分層分層是指層間應(yīng)力引起的層間分離形式的損傷，它是復(fù)合材料層合板特有的損傷形式。界面脫膠界面脫膠是指纖維與基休結(jié)合面（粘接面）的分離損傷形式。兩者粘接的強(qiáng)弱將直接影響到疲勞損傷的擴(kuò)展。纖維斷裂由于纖維本身存在的缺陷損傷，形成應(yīng)力集中而引起的纖維斷裂。纖維斷裂是軸向載荷作用下，復(fù)合材料破壞的主要損傷形式。疲勞特性復(fù)合材料層合板疲勞特性和金屬材料一樣，通常以交變應(yīng)力與應(yīng)勞壽命（破壞循環(huán)數(shù)）對(duì)應(yīng)關(guān)系曲線(xiàn)（S-N曲線(xiàn)）的形式給出。有時(shí)，也用交變應(yīng)變-疲勞壽命曲線(xiàn)（-N曲線(xiàn)）形式給出。第十章復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)復(fù)

41、合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)是對(duì)由復(fù)合材料構(gòu)成的具體構(gòu)件，以基本力學(xué)性能為基礎(chǔ)，考慮構(gòu)件所c處的邊界條件，計(jì)算其應(yīng)力與應(yīng)坪變的分布規(guī)律。這些內(nèi)容稱(chēng)為復(fù)守合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)。任何一個(gè)結(jié)構(gòu)都是由基本構(gòu)件組合而成的，這些基本構(gòu)件包括桿、梁、板、殼等結(jié)構(gòu)元件，由這些元件可以妙千變?nèi)f化的結(jié)構(gòu)，如圖10-1。復(fù)合材料結(jié)構(gòu)也是這樣。對(duì)復(fù)合材料的構(gòu)件進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，均假定其在載荷用下變形很小，且在彈性變形范圍內(nèi)，因此仍采用彈性力學(xué)的基本方法。10-1結(jié)構(gòu)元件以及由其組成的結(jié)構(gòu)10.1各向異性體彈性力學(xué)基本方程一般來(lái)講，連續(xù)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料是各向異性或正交各向異性的。分析起來(lái)要比各向同性材料復(fù)雜得多，這里仍沿用彈性力學(xué)的基本假設(shè)

42、考慮小變形情況，則基本方程分別由下面給出。1幾何方程設(shè)u,v,w二為直角坐標(biāo)系下的位移分量忙忙,Y,Y,Y為應(yīng)變分量，則在小變形條件xyzyzzxxy勺+婆以及2釜二舟詹3y&下，它們之間的關(guān)系為由于這6個(gè)方程是直接由位移-應(yīng)變關(guān)系導(dǎo)出的，因此它們不是獨(dú)立的，這種方程稱(chēng)為連續(xù)性方程，也叫變形協(xié)調(diào)條件。2平衡方程如圖10-2所示，取單元體dxdydz,設(shè)單位體積力為（P（fxff），其中fxff分別為x,y,z方向上的分量。當(dāng)單元體處于平衡狀態(tài)時(shí)忽略體積力有芬些勿耳一亦+孔-ar芻ar芯一血+窪=0dZ圖10-2單元體的應(yīng)力分量鬲(i,j=l,2,6)稱(chēng)為柔量分量。如果其求逆,、=Y式中，u,(

43、i,j=l，2，6)稱(chēng)為模量分量。對(duì)于一般的C12C13C】4C5、C21C22C23C?4C?5C?6JC31C3iC33C34C35C36JC41C42C43C44C45C46C51C52C53C54C55C56、61Cg?C$3C&4C$5C66)kJ這組方程稱(chēng)為平衡方程。3.物理方程若物體在無(wú)應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)變?yōu)榱慊虍?dāng)應(yīng)變?yōu)榱銜r(shí)應(yīng)力也為零，則在直角坐標(biāo)系下，表示應(yīng)變與應(yīng)力的一般關(guān)系式為式中則得各向異性彈性體，獨(dú)立的材料常數(shù)是21個(gè)，若彈性體中存在有3個(gè)互相垂直的對(duì)稱(chēng)面，這種材料稱(chēng)為正交各向異性材料，此時(shí)材料常數(shù)將減少到9個(gè)，若材料主方向改為1,2,3坐標(biāo)，則應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系變?yōu)閏13000乜

44、、c230005c33000%Y0c002300C0丫31000,P12,般解法4.彈性力學(xué)問(wèn)題的分析彈性體在受力后的狀態(tài)，要求解的是6個(gè)應(yīng)力分量和6個(gè)應(yīng)變分量及3個(gè)位移分量共15個(gè)未知數(shù)，為此就需要有15個(gè)方程聯(lián)立求解。彈性體變形的幾何關(guān)系、物理關(guān)系和平衡關(guān)系恰巧建立了15個(gè)方程，彈性力學(xué)的基本任務(wù)就是在一定的邊界條件下求解包括15個(gè)方程的方程組。在處理問(wèn)題的過(guò)程中，如果把應(yīng)變-位移關(guān)系式代人應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系式,然后代入式平衡方程中，便可得到僅有位移分量u,v,w的偏微分方程，解出位移函數(shù)就能得到問(wèn)題的全部解答。這種方法稱(chēng)為位移法。在解彈性力學(xué)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)求解方法和邊界條件不同，可歸納以下三類(lèi)

45、基本問(wèn)題。第一類(lèi)基本問(wèn)題，在彈性體的全部表面上都給定了外力，要求確定彈性體內(nèi)部及表面任意點(diǎn)上的應(yīng)力和位移。這類(lèi)問(wèn)題的邊界條件可寫(xiě)成如下形式，在S(物體邊界)上Txcos(n,x)+ryjrcos(n,)+rcos(n,z)=Xnrxjrcos(n+acosCn,jr)+rz;ycos(n,)=XnrcosCw,)+ryzcos(n)+礙cos(n,z)=X*式中，n為外力合力所指的方向；X,Y,Z是外力nnn沿坐標(biāo)軸的分量。第二類(lèi)基本問(wèn)題，在彈性體的全部表面上都給定位移，要求確定彈性體的內(nèi)部及表面任意點(diǎn)上的應(yīng)力和位移。這類(lèi)問(wèn)題的邊界條件是，在S上U=U待p=-y*3=(*)表示已知量。第三類(lèi)基

46、本問(wèn)題，在彈性體的一部分表面外力，在其余的表面上給定了位移，要求確定彈及表面任意點(diǎn)上的應(yīng)力和位移。這類(lèi)問(wèn)題邊界法是在S上：v冃St十S*=。6叭=Xi,在S上：u10.2復(fù)合材料桿分析10.2.1一端固定受拉復(fù)合材料桿如圖10-3所示的復(fù)合材料直桿，一端固定另一端作用軸向力P,分析此載荷作用的桿的變形。取固定端剖面形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，若桿截面積為A,則桿上的應(yīng)力分量為當(dāng)桿材料主軸與坐標(biāo)軸不重合時(shí),由廣義虎克定律可得應(yīng)變分量式中，比(i,j=l,2,6)是直桿材料的柔量分量,求解桿單向受拉變形,根據(jù)幾何關(guān)系有63-S=ab-ay+a/-y皿35-5_s=-西為輕ar仏+=吋曲一旳弘心=陥血-創(chuàng)=+a

47、ca色玄圖10-3一端固定一端受拉的復(fù)合材料桿可以求出：=+535z)(To一W2z+w3y+u0v=($23,+Suz)J0w3x十wtz4-v0w=&3W0N+5,+W2x+w0可根據(jù)邊界條件確定。若原點(diǎn)x,y,z=0處的初始轉(zhuǎn)角及位移均為零，即dvdu可得常數(shù)Sr3ydzs=0,學(xué)最后得直桿拉伸的位移自重作用下的復(fù)合材料直桿變形上端固定載荷僅為復(fù)合材料桿的自重,若桿材料密度為Y，則應(yīng)力分量有7(.1z),tx=ay=ryx=r=rry按上節(jié)相似方法，積分幾何方程組和用邊界條件x,y,z=0，u=v=w=0和務(wù)HA?？傻胾=Y2*35Z+(S13H+36/()2*討+&23+2弘工(ZZ)

48、s=了*（g討+S23J2+&6今）+（$3+35工+*S33Z（2Z）由此可見(jiàn)，在這種情況下復(fù)合材料直桿在變形后已不再保持為平面，軸線(xiàn)0z變形為一條曲線(xiàn)，z=l,底面形心處（即x=0,y=0）的位移為/=SiSYl25=s3iyizW/=S3310.3復(fù)合材料梁10.3.1最簡(jiǎn)單的受載情況10.3.1.1受純彎育載荷作用的復(fù)合材料梁一任意截面的復(fù)合材料梁，在一個(gè)截面形心慣性主軸方向僅受彎矩M的作用，如圖10-4,則此梁諸應(yīng)力分量為5了W=弓=ry9=rx=工巧=0其中I為梁橫截面對(duì)y軸的慣性矩,當(dāng)梁材料主軸與所選的幾何坐標(biāo)系不重合時(shí),應(yīng)變分量由物理方程確定10-4受純彎載荷作用的復(fù)合材料梁為

49、解得受彎后復(fù)合材料梁的變形狀態(tài)，通過(guò)幾何方程有：式中，A,B,C為積分常數(shù)，可由梁邊界條件確定。1.懸臂梁的情況如圖10-5，在懸臂梁自由端作用有彎矩M,在固定端的邊界條件是：當(dāng)x=0,y=0,z=0.位移u=0,v=0,w=0，由此得A530竽0.J3=S33琴1、C=0，C?=乳3=0O圖10-5受純彎的懸臂梁于是，受純彎載荷作用的復(fù)合材料懸臂梁其位移分量為可見(jiàn)在彎矩作用下，梁的橫截面變?yōu)槎吻?。如果主軸與幾何坐標(biāo)軸一致時(shí)，弘=弘乜=0,梁彎曲時(shí)不使橫截面變形仍為平面，梁縱軸（x=0,y=0）變形之后：“=oe（o,o,z）=尋弘仃）認(rèn)=。僅有y向呈次曲線(xiàn)。自由端的最大撓度為九x=譏0,

50、0,Q)=務(wù)S332.簡(jiǎn)支梁的情況對(duì)于簡(jiǎn)支梁按圖10-6選擇坐標(biāo)系，在支點(diǎn)處受彎矩載荷（實(shí)際上這相當(dāng)于四點(diǎn)彎曲受載狀態(tài)），邊界條件是當(dāng)x,y,z=0;x,y=0,z=l處，位移u=v=w=0梁中丿Ij八處，轉(zhuǎn)角Y由此可得上種情況中各常數(shù)于是受純彎載荷的復(fù)合材料簡(jiǎn)支梁的位移分量為M27M-27一一=UV10.3.1.2受純剪作用的復(fù)合材料梁處于純剪受力狀態(tài)的梁，取典型受力單元如圖10-7,此時(shí)單元體僅有剪應(yīng)力=!0其余應(yīng)力分量皆為零，于是有善=盼疇=恥。,嚳=恥。善+寫(xiě)=盼磴+豊=恥邂+魯=幾6根據(jù)前面分析，最后得“=(&4工+2*4)r0P(y546x+$2)“vj=(&聲十+$3存)5圖10

51、-7受純剪的復(fù)合材料梁10.3.2Lr-*圖10-8復(fù)合材料梁的使用狀態(tài)10.3.2.1疊層梁的杭彎剛度和應(yīng)力取圖10-8(a)的層合梁受力狀態(tài)，載荷作用在對(duì)稱(chēng)面上，并令梁的變形滿(mǎn)足直法線(xiàn)假設(shè)，且成柱面彎曲，考察梁在x0y平面內(nèi)的變形，可以得到梁的應(yīng)力式中，M可按迭層梁支撐情況求得X10.3.2.2疊層梁的層間剪應(yīng)力除受純彎載荷外，通常在橫向載荷作用下的疊層梁將產(chǎn)生x0z面內(nèi)的剪應(yīng)力，由圖10-9可見(jiàn)層間剪應(yīng)力于是疊層梁層間剪應(yīng)力為層間剪應(yīng)力的典型分布情況見(jiàn)圖10-10。圖10-9疊層梁的層間剪應(yīng)力圖10-10層間剪應(yīng)力分布情況10.3.3復(fù)合材料矩形截面梁分析103.3.1各向異性體平面應(yīng)力

52、基本方程對(duì)于等厚均質(zhì)的各向異性薄板，彈性對(duì)稱(chēng)面平千中面，上下板面無(wú)外力作用，僅在面內(nèi)作用有與中面對(duì)稱(chēng)的外力，且體力也是關(guān)于中面對(duì)稱(chēng)的，因此板不產(chǎn)生彎曲和扭轉(zhuǎn)，僅發(fā)生平面內(nèi)變形，如圖10-11。圖10-11平面應(yīng)力如果各向異性材料有基本方程：dF一eQx3dy+S&6)2幾靄+S“券等正交異性材料，方程簡(jiǎn)化為s22豁+(25,4+5m)+Sn=0平面應(yīng)力問(wèn)題邊界條件的提法是在邊界上有jxcos(n,x)+zyCos(n,y)=Xnrjycos(n,x)+aycos(niy)=Ys10332復(fù)合材料矩形截面梁1自由端受集中載荷作用的懸臂梁圖10-12是要研究的復(fù)合材料矩形截面梁，一端固定、另一自由

53、端上作用集中載荷，且在梁的中面上顯然，這是一個(gè)平面應(yīng)力題，可用應(yīng)力函數(shù)求解?？赏圃O(shè)應(yīng)力函數(shù)為：F(x,y)=Axxy+A2yz+A3y3+Atxy3+A$y*考慮把滿(mǎn)足基本方程和邊界條件，分別得出應(yīng)力分量為：位移分量為=彩一3Sn(2Z一xxy+S“(護(hù)一3)+(2甕_陥-3SMv=缶一25i2(Zx)y2f門(mén)Wb)_y+5(3A2一yl)y+S(3/-x)x2+1弋j21P圖10-12受集中載荷的懸臂梁2受均布載荷的復(fù)合材料梁（1）正交異性簡(jiǎn)支梁圖10-13為受均布載荷q作用的復(fù)合材料矩形截面簡(jiǎn)支梁。各應(yīng)力分量為(5/-3A2)y&=器（廠(chǎng)y+20h滲T）y_(10-63)*巧=澤（b一川）

54、x應(yīng)力分量沿梁高的分布如圖10-13。圖10-3受均布載荷的正交異性簡(jiǎn)支梁2）各向異性簡(jiǎn)支梁滿(mǎn)足圖10-14情形的各應(yīng)力分量：圖10-14各向異性簡(jiǎn)支梁（3）各向異性懸臂梁如圖1-15受均布載荷的臂梁，仍為平面應(yīng)力問(wèn)題，應(yīng)力函數(shù)可為F(.x,y)AiXi-A2Jc2y-A3Jc2y3-Aiy3+Aiy3+Atx+A-tiy2AxyzA9xyKAy-Aiy考慮基本方程和邊界條件，可得應(yīng)力分量:干-節(jié)-皿+韶豎-吐I（3A1_5j2）j_稱(chēng)弟a刃一3b）嚴(yán)缶2y2）yy審訥a亠勢(shì)希（一沏圖10-15各向異性懸臂梁3受任意載荷作用的簡(jiǎn)支梁當(dāng)梁受任意的橫向載荷作用（圖10-16），有時(shí)不一定是連續(xù)載荷，就不能再用多項(xiàng)式求解，此時(shí)可以試用三角級(jí)數(shù)求解。圖10-16受任意載荷的簡(jiǎn)支梁設(shè)應(yīng)力函數(shù)取如下形式：FGr,_y)=sinajr/(j)相應(yīng)的應(yīng)力分量是：d2Fay=乙此sinawCA.+sha原y+8炳cha.y+oxm=lsoCpshamy