晶體宏觀對稱性

1、關(guān)于晶體的宏觀對稱性第一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月2.宏觀對稱性的數(shù)學(xué)描述 晶體的對稱性有宏觀對稱性和微觀對稱性之分，前者指晶體的外形對稱性，后者指晶體微觀結(jié)構(gòu)的對稱性。本節(jié)我們主要學(xué)習(xí)晶體的宏觀對稱性。主要內(nèi)容：1. 宏觀對稱元素4. 群/對稱操作群5.宏觀對稱性與物理性質(zhì)3.三種幾何體的對稱操作1-5 晶體的宏觀對稱性第二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月晶體的對稱性晶體外部形態(tài)的對稱性，稱為宏觀對稱性。晶體外形具有有限的大小，所有的對稱元素都必須相交于晶體內(nèi)部的某一點。因此，宏觀對稱性又叫做點對稱性。（1.5，1.6節(jié)）晶體內(nèi)原子排列的對稱性稱為微觀對稱性，它是晶

2、體內(nèi)部原子無限排列所具有的對稱性。（1.7節(jié)）晶體宏觀對稱性是微觀對稱性的外在表現(xiàn)，晶體微觀對稱性則是宏觀對稱性的基礎(chǔ)。 第三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月對稱是指物體相同部分作有規(guī)律的重復(fù)。不改變物體/圖形中任何兩點的距離而能使圖形復(fù)原的操作叫對稱操作。對稱操作據(jù)以進(jìn)行的幾何要素叫做對稱元素旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)操作：將物體繞通過其中心的軸旋轉(zhuǎn)一定的角度 使物體復(fù)原的操作。能使物體復(fù)原的最小旋轉(zhuǎn)角（0除外）稱 為基準(zhǔn)角；物體旋轉(zhuǎn)一周復(fù)原的次數(shù)稱為旋轉(zhuǎn)軸的軸次n， n=360 / ； 旋轉(zhuǎn)軸的符號為Cn； 晶體只存在C2,C3,C4,C6旋轉(zhuǎn)軸；晶體中可存在一條或多條旋轉(zhuǎn)軸。第四張，PPT共

3、四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月鏡面與反映操作：通過物體中心的一個假想面，將物體平分成互為鏡面反映的兩個相等部分，稱為反映操作；反映操作憑借的平面稱為反映面或鏡面；晶體中可存在一個或多個鏡面。對稱中心與反演操作：若物體中存在一點，使得物體中任意一點向此點引連線并延長到反方向等距離處而能使物體復(fù)原，則這種操作就是反演，這一點稱為反演中心i。晶體中最多可有一個對稱中心。i第五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月旋轉(zhuǎn)-反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：1212345612反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫為In。第六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月7

4、ABDCEFGH正四面體既無四度軸也無對稱心6=3+m12345661234第七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月反軸與旋轉(zhuǎn)反演操作：這是一個復(fù)合操作，即旋轉(zhuǎn)與反演的乘積。反軸寫為In。恒等元素E與恒等操作：即物體不動的操作。第八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1，2，3，4，6 度旋轉(zhuǎn)對稱操作。 1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對稱操作。(3)中心反演：i。(4)鏡象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號表示）點對稱操作：(2)旋轉(zhuǎn)反演對稱操作：(1)旋轉(zhuǎn)對稱操作： 獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i

5、，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 第九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月立方體對稱性(1)立方軸C4：3個立方軸；4個3度軸；(2)體對角線C3：(3)面對角線C2：6個2度軸；第十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月各種對稱操作相當(dāng)于坐標(biāo)變換，可用坐標(biāo)變換矩陣表示對稱操作保持圖形形狀和大小不變的幾何變換為正交變換。概括晶體宏觀對稱性的方法是考察晶體在正交變換下的不變性 三維情況下，正交變換的表示 其中矩陣是正交矩陣宏觀對稱性的數(shù)學(xué)描述第十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月繞z軸轉(zhuǎn)角的正交矩

6、陣 矩陣行列式等于1 中心反演的正交矩陣 矩陣行列式等于1 空間轉(zhuǎn)動加中心反演，矩陣行列式等于1第十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月對稱操作 ：一個物體在某一個正交變換下保持不變的操作例1： 立方體的對稱操作 1) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動 9個對稱操作 物體的對稱操作越多，其對稱性越高第十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 共有6個對稱操作2) 繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動 8個對稱操作3) 繞4個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動4)不動操作第十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 立方體的對稱操作共有48個5) 以上24個對稱操作加中心反演仍是對稱操作第十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于20

7、22年6月例2 正四面體的對稱操作 四個原子位于正四面體的四個頂角上，正四面體的對稱操作包含在立方體操作之中 第十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動 共有3個對稱操作 8個對稱操作2) 繞4個立方體對角線軸轉(zhuǎn)動3)不動操作 1個對稱操作注：立方軸、體對角線、面對角線都是參照立方體的體心為原點的坐標(biāo)系來討論的第十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 6個對稱操作4) 繞三個立方軸轉(zhuǎn)動加中心反演 6個對稱操作5) 繞6條面對角線軸轉(zhuǎn)動加上中心反演正四面體的對稱操作共有24個，包含在正方體中。第十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例3 正六角柱的對稱

8、操作 1) 繞中心軸線轉(zhuǎn)動 5個 3個3) 繞相對面中心連線轉(zhuǎn)動 3個4)不變操作5) 以上12個對稱操作加中心 反演仍是對稱操作 正六面柱的對稱操作有24個2) 繞對棱中點連線轉(zhuǎn)動 1個第二十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月對稱素對稱素：是指一個物體的旋轉(zhuǎn)軸或旋轉(zhuǎn)-反演軸，其簡潔明了地概括了一個物體的對稱性。n重旋轉(zhuǎn)軸：一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸2/n以及它的倍數(shù)不變時，這個軸稱為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作n。n重旋轉(zhuǎn)-反演軸：一個物體繞某一個轉(zhuǎn)軸2/n加上中心反演的聯(lián)合操作以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時，這個軸稱為n重旋轉(zhuǎn)軸，記作 。第二十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月面對角線 為2重

9、軸，計為2例1： 立方體立方軸 為4重軸，計為4同時也是4重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為同時也是2重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為體對角線軸 為3重軸，計為3同時也是3重旋轉(zhuǎn)反演軸，計為第二十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例2： 正四面體體對角線軸是3重軸 不是3重旋轉(zhuǎn)反演軸 立方軸是4重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是4重軸面對角線是2重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是2重軸第二十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月一個特殊的對稱素 ：先繞軸轉(zhuǎn)動，再作中心反演A”點實際上是A點在通過中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像，即對稱素 實際是個鏡面操作，用 表示。一個物體的全部對稱操作的集合，構(gòu)成對稱操作群第二十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作

10、于2022年6月 對稱操作群群：代表一組“元素”的集合，G E, A ,B, C, D 這些“元素”被賦予一定的“乘法法則”，并且滿足下列性質(zhì)1)集合G中任意兩個元素的“乘積”仍為集合內(nèi)的元素 若 A, B G, 則AB=C G. 叫作群的封閉性2)存在單位元素E, 使得所有元素滿足：AE = A3) 對于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E4)元素間的“乘法運算”滿足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C第二十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例1：正實數(shù)群 所有正實數(shù)(0 除外)的集合例2：整數(shù)群 所有整數(shù)的集合注意：一個物體全部對稱操作的集合滿足上述群的定義，其運算法則為

11、連續(xù)操作。以普通乘法為運算法則，1為單位元素，x的逆為1/x。以加法為運算法則。一個物體的全部對稱操作的集合，構(gòu)成對稱操作群第二十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 單位元素 不動操作2. 任意元素的逆元素 繞轉(zhuǎn)軸角度，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；3.連續(xù)進(jìn)行A和B操作 相當(dāng)于C操作A 操作 繞OA軸轉(zhuǎn)動/2 B 操作 繞OC軸轉(zhuǎn)動/2 S上述操作中S和O沒動，而T點轉(zhuǎn)動到T點 相當(dāng)于一個操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動2/3第二十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月上述操作中S和O沒動，而T點轉(zhuǎn)動到T點 相當(dāng)于一個操作C：繞OS軸轉(zhuǎn)動2/3表示為 群的封閉

12、性可以證明 滿足結(jié)合律S第二十八張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月1.已知氯化鈉是立方晶體，其相對分子質(zhì)量為58.46，在室溫下的密度是2.167*103kgm-3,試計算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點陣常數(shù)。2. 硅、鍺半導(dǎo)體材料具有金剛石結(jié)構(gòu)，設(shè)其晶格常數(shù)為a。畫出（110）面二維格子的原胞，并給出它的基矢。3. 對于六角密積結(jié)構(gòu)的晶體，其原胞基矢為試求1.倒格子基矢；2. 晶面簇（210）的面間距。4. 對于立方晶格，密勒指數(shù)為(h1k1l1)和(h2k2l2)的晶面族的兩個平面之間的夾角余弦為第二十九張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月【1】已知氯化鈉是立方晶體，其相對分子質(zhì)量為58.4

13、6，在室溫下的密度是2.167*103kgm-3,試計算氯化鈉結(jié)構(gòu)的點陣常數(shù)。【解】固體密度=Zm/V，其中V是晶胞體積，Z是晶胞中的分子數(shù)，m為分子的質(zhì)量。 每個分子的質(zhì)量m為 于是得到第三十張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月宏觀對稱性與物理性質(zhì)晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對稱性， 對稱性的性質(zhì)也會在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)。介電常數(shù)表示為二階張量電位移對于立方對稱的晶體，其為對角張量因此，介電常數(shù)可看作一個簡單的標(biāo)量第三十一張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十二張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例：立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個標(biāo)量常數(shù)的證明設(shè)對稱操作對應(yīng)的正交變換且有

14、介電常數(shù) 在坐標(biāo)變換下第三十三張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月第三十四張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月例：立方對稱晶體的介電系數(shù)為一個標(biāo)量常數(shù)的證明設(shè)對稱操作對應(yīng)的正交變換且有介電常數(shù) 在坐標(biāo)變換下A為對稱變換xyXY繞z軸逆時針轉(zhuǎn)90第三十五張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月 對于立方晶體，選取對稱操作A為繞Z軸旋轉(zhuǎn)/2代入第三十六張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月進(jìn)一步選取對稱操作B為繞X軸旋轉(zhuǎn)/2，可得最后得到第三十七張，PPT共四十一頁，創(chuàng)作于2022年6月對于n階張量形式的物理量，系數(shù)用n階張量表示在坐標(biāo)變換下如果A為對稱操作 這樣可以簡化n階張量第三十八張，PPT