概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)課件第三章隨機(jī)向量及其獨(dú)立性02

1、3.4隨機(jī)向量的函數(shù)的分布 設(shè)(X, Y)是二維隨機(jī)變量,z = (x, y)是一個(gè)已知的二元函數(shù),如果當(dāng)(X, Y)取值為(x, y)時(shí), 隨機(jī)變量Z取值為z = (x, y),則稱(chēng)Z是二維隨機(jī)變量的函數(shù),記作Z = (X, Y)問(wèn)題: 已知(X, Y)的分布, 求Z = (X, Y)的分布.一、離散型隨機(jī)向量函數(shù)的分布 例1概率解等價(jià)于概率例2設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布律為求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的分布律.得因?yàn)?X 與 Y 相互獨(dú)立, 所以解可得所以解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,例3X, Y 相互獨(dú)立證明由前面的例題可知例4例5設(shè)X和Y相互獨(dú)立，XB(n1,p)

2、,YB(n2,p),求Z=X+Y 的分布. 我們可以按照前面的方法來(lái)求解，也可以換一種方法. 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋:同樣，Y是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p. 若X B(n1,p),則X 是在n1次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率都為p. 故Z=X+Y 是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù).每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.于是Z是以（n1+n2，p）為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p).解（續(xù)）從問(wèn)題的背景出發(fā)得到的結(jié)果更直接，更容易理解.更一般地，二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布1. 已

3、知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布. 若Z為連續(xù)型隨機(jī)變量,則在f(z)的連續(xù)點(diǎn)處 解例6X,Y相互獨(dú)立設(shè)Z的分布函數(shù)和概率密度分別為例7已知(X,Y) f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.解1由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率密度為例7已知(X,Y) f(x, y)，求Z=X+Y的概率密度.解2由概率密度的定義可知，Z=X+Y的概率密度為推論 設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y). 若X和Y獨(dú)立, 則兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式解例8被積函數(shù)的非零域 10(10,10)(10,20)2020例9解被積函數(shù)的非零域 已知X, Y

4、 相互獨(dú)立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求Z=X+Y的概率密度.解例10若X和Y 獨(dú)立,具有相同的分布N(0,1),則Z=X+Y服從正態(tài)分布N(0,2). 有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布.一個(gè)重要的結(jié)論3.5極大極小值的分布 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函數(shù).M=max(X,Y)FM(z) = PMz = Pmax(X,Y)z= PXz,Yz= PXz PYz= FX(z) FY(z) 類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是=1-PXz,YzFN(z) =PNz =P

5、min(X,Y) z=1 Pmin(X,Y) z=1- PXzPYz= 1-1-FX(z)1-FY(z) 推論例1 下面我們?cè)倥e一例，說(shuō)明當(dāng)X1,X2為離散型隨機(jī)變量時(shí)，如何求Y=max(X1,X2)的分布.解1記1-p=q，則P(Xi=k) = p q k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立,并且有相同的幾何分布P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求Y=max(X1,X2)的分布 .例2P(Y=n) = P(max(X1,X2)=n)= P(X1=n, X2n) + P( X2 =n, X1 n)n=0,1,2,解2 P(Y=n)=P(Yn) - P(Yn-1)=P(max(X1,X2) n ) -